三、解答题(共64分)
10.(18分)如图,已知C为线段AB上一点,AC=12,CB=8,D,E分别是AC,AB的中点.
(1)求AD,BE的长度；
(2)求DE的长度.

解：
(1) 已知AC=12，CB=8，
所以AB = AC + CB = 12 + 8 = 20。
因为D是AC的中点，
所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$。
因为E是AB的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10$。
(2) 因为E是AB的中点，
所以$AE=\frac{1}{2}AB=10$，
所以$DE = AE - AD = 10 - 6 = 4$。
综上，AD的长度为6，BE的长度为10，DE的长度为4。

11. (22分) 如图，$EF // CD$，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
(1) 判断GD与CA的位置关系，并说明理由.
(2) 若CD平分$∠ ACB$，DG平分$∠ CDB$，且$∠ A = 40°$，求$∠ ACB$的度数.

解：
(1) $GD// CA$，理由如下：
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ 2$（同角的补角相等），
$\therefore GD// CA$（内错角相等，两直线平行）。
(2) $\because GD// CA$，
$\therefore ∠ BDG = ∠ A = 40°$，$∠ ACD = ∠ 2$。
$\because DG$平分$∠ CDB$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ BDG = 40°$，
$\therefore ∠ ACD = 40°$。
又$\because CD$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACB = 2∠ ACD = 2×40° = 80°$。
答：$∠ ACB$的度数为$80°$。

12. (24分)以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=30°,将三角板的直角顶点放在O处,即∠DOE=90°.
(1) 如图①,若三角板DOE的一边OE放在射线OA上,则∠COD=.
(2) 如图②,将三角板DOE绕点O按顺时针方向转动到某个位置.
① 若OE恰好平分∠AOC,则∠COD=;
② 若OD在∠BOC内部,请直接写出∠BOD与∠COE的数量关系:.
(3) 将三角板DOE绕点O按顺时针方向转动(当OD与OB重合时停止)的过程中,恰好有∠COD=$\frac{1}{5}$∠AOE,求此时∠BOD的度数.

解：
(1) ∵ OE在射线OA上，∠DOE=90°，
∴ ∠BOD=90°，
又∵ ∠BOC=30°，
∴ ∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-30°=60°。
答案：$\boldsymbol{60°}$
(2) ① ∵ ∠BOC=30°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=150°，
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°，
又∵ ∠DOE=90°，
∴ ∠COD=∠DOE-∠COE=90°-75°=15°。
答案：$\boldsymbol{15°}$
② ∵ ∠DOE=90°，∠BOC=30°，
∴ ∠COE=90°-∠COD，∠BOD=30°-∠COD，
两式相减得∠COE-∠BOD=60°。
答案：$\boldsymbol{∠ COE - ∠ BOD = 60°}$
(3) 分两种情况求解：
情况1：当OD在∠BOC内部时：
∠COD = 30° - ∠BOD，∠AOE = 180° - 90° - ∠BOD = 90° - ∠BOD，
代入$∠ COD=\frac{1}{5}∠ AOE$得：
$30° - ∠ BOD = \frac{1}{5}(90° - ∠ BOD)$
解得：$∠ BOD=15°$。
情况2：当OC在OD和OB之间时：
∠COD = ∠BOD - 30°，∠AOE = 90° - ∠BOD，
代入$∠ COD=\frac{1}{5}∠ AOE$得：
$∠ BOD - 30° = \frac{1}{5}(90° - ∠ BOD)$
解得：$∠ BOD=40°$。
综上，此时∠BOD的度数为$15°$或$40°$。