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14. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次都是正面朝上，则第4次正面朝上的概率
（
A.小于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.大于$\frac{1}{2}$
D.无法确定
（
B
）A.小于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.大于$\frac{1}{2}$
D.无法确定
答案
14.B
解析
【分析】
解题时首先要明确两点：一是质地均匀的硬币抛掷后，正面朝上和反面朝上是两种等可能的结果，单次抛掷正面朝上的概率可通过等可能事件概率公式计算；二是每次抛硬币的试验是相互独立的，前几次的结果不会影响后续试验的概率。因此不需要考虑前3次的结果，直接计算单次抛掷正面朝上的概率即可。
【解析】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只可能出现正面朝上、反面朝上两种等可能的结果，因此单次抛掷正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
由于每次抛硬币的结果相互独立，前3次的试验结果不会对第4次的结果产生影响，因此第4次正面朝上的概率仍然等于$\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算；独立事件的概率
【点评】
本题属于易错题，容易受之前试验结果的干扰误选其他选项，解题的关键是明确独立事件的特点：各次试验的结果互不影响，单次试验的概率固定不变。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两点：一是质地均匀的硬币抛掷后，正面朝上和反面朝上是两种等可能的结果，单次抛掷正面朝上的概率可通过等可能事件概率公式计算；二是每次抛硬币的试验是相互独立的，前几次的结果不会影响后续试验的概率。因此不需要考虑前3次的结果，直接计算单次抛掷正面朝上的概率即可。
【解析】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只可能出现正面朝上、反面朝上两种等可能的结果，因此单次抛掷正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
由于每次抛硬币的结果相互独立，前3次的试验结果不会对第4次的结果产生影响，因此第4次正面朝上的概率仍然等于$\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算；独立事件的概率
【点评】
本题属于易错题，容易受之前试验结果的干扰误选其他选项，解题的关键是明确独立事件的特点：各次试验的结果互不影响，单次试验的概率固定不变。
【难度系数】
0.7
15.分别转动如图所示的A、B两个转盘，两个转盘的指针指向红色区域的概率分别为$P_A$、$P_B$，则下列说法正确的是（
A.$P_A ＞ P_B$
B.$P_A ＜ P_B$
C.$P_A = P_B$
D.$P_A ≥ P_B$
C
）A.$P_A ＞ P_B$
B.$P_A ＜ P_B$
C.$P_A = P_B$
D.$P_A ≥ P_B$
答案
15.C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确转盘类几何概率的计算逻辑：指针指向某颜色区域的概率，只和该颜色区域面积占对应转盘总面积的比例有关，和转盘的整体大小无关。接下来分别观察两个转盘：转盘A和B都被平均分成红、蓝两个面积相等的区域，红色区域均占各自转盘总面积的一半，因此分别计算两个概率再比较大小即可。
【解析】
根据几何概率的计算规则，指针指向红色区域的概率 = 红色区域面积÷转盘总面积。
转盘A被平均分为2等份，红色区域占1份，因此$P_A=\frac{1}{2}$；
转盘B被平均分为2等份，红色区域占1份，因此$P_B=\frac{1}{2}$。
由此可得$P_A=P_B$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算，概率的意义
【点评】
本题易错点是被两个转盘的大小差异误导，要明确几何概率的核心是区域面积的占比，而非整体的面积大小，掌握这一本质就能快速判断结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确转盘类几何概率的计算逻辑：指针指向某颜色区域的概率，只和该颜色区域面积占对应转盘总面积的比例有关，和转盘的整体大小无关。接下来分别观察两个转盘：转盘A和B都被平均分成红、蓝两个面积相等的区域，红色区域均占各自转盘总面积的一半，因此分别计算两个概率再比较大小即可。
【解析】
根据几何概率的计算规则，指针指向红色区域的概率 = 红色区域面积÷转盘总面积。
转盘A被平均分为2等份，红色区域占1份，因此$P_A=\frac{1}{2}$；
转盘B被平均分为2等份，红色区域占1份，因此$P_B=\frac{1}{2}$。
由此可得$P_A=P_B$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算，概率的意义
【点评】
本题易错点是被两个转盘的大小差异误导，要明确几何概率的核心是区域面积的占比，而非整体的面积大小，掌握这一本质就能快速判断结果。
【难度系数】
0.9
16.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程$ax^2 + 4x + c = 0$无实数解的概率为
$\frac{1}{2}$
。答案
16.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路分三步：第一步，先确定从4个数中选两个不同的数分别作为a、c的所有等可能结果总数，注意a和c位置不同属于不同结果；第二步，根据一元二次方程无实数根的条件，推导得出a、c需要满足的数量关系；第三步，筛选出符合条件的(a,c)组合数，最后利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
1. 计算总等可能情况数：从1、2、3、4中随机选取两个不同的数分别记为a、c，所有可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共12种，每种结果出现的可能性相等。
2. 推导方程无实根的条件：关于x的一元二次方程$ax^2 +4x +c=0$无实数根，需满足判别式$\Delta ＜0$，且$a≠ 0$（本题a取值为1~4，均满足$a≠0$）。
代入判别式公式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 -4ac =16-4ac ＜0$，化简得$ac＞4$。
3. 筛选符合条件的结果：逐一计算上述12种情况的ac值，满足$ac＞4$的结果有：(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,4)、(4,2)、(4,3)，共6种。
4. 计算概率：$P(\mathrm{方程无实数根}) = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
3. 概率计算公式
【点评】
本题属于小综合题型，既考查了一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，又考查了等可能事件概率的计算，解题时要注意a、c是有序的不同取值，避免混淆排列与组合导致计数错误。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路分三步：第一步，先确定从4个数中选两个不同的数分别作为a、c的所有等可能结果总数，注意a和c位置不同属于不同结果；第二步，根据一元二次方程无实数根的条件，推导得出a、c需要满足的数量关系；第三步，筛选出符合条件的(a,c)组合数，最后利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
1. 计算总等可能情况数：从1、2、3、4中随机选取两个不同的数分别记为a、c，所有可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共12种，每种结果出现的可能性相等。
2. 推导方程无实根的条件：关于x的一元二次方程$ax^2 +4x +c=0$无实数根，需满足判别式$\Delta ＜0$，且$a≠ 0$（本题a取值为1~4，均满足$a≠0$）。
代入判别式公式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 -4ac =16-4ac ＜0$，化简得$ac＞4$。
3. 筛选符合条件的结果：逐一计算上述12种情况的ac值，满足$ac＞4$的结果有：(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,4)、(4,2)、(4,3)，共6种。
4. 计算概率：$P(\mathrm{方程无实数根}) = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
3. 概率计算公式
【点评】
本题属于小综合题型，既考查了一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，又考查了等可能事件概率的计算，解题时要注意a、c是有序的不同取值，避免混淆排列与组合导致计数错误。
【难度系数】
0.6
17.(洛阳市新安县期末)小军与小玲共同发明了一种“字母棋”进行比胜负的游戏.他们用四个字母做成10枚棋子(如图所示),其中A棋子1枚,B棋子2枚,C棋子3枚,D棋子4枚.
“字母棋”的游戏规则为:
①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛,先摸者摸出的棋子不放回;
②A棋子胜B棋子、C棋子;B棋子胜C棋子、D棋子;C棋子胜D棋子;D棋子胜A棋子;
③相同棋子不分胜负.
(1)若小玲先摸,问小玲摸到C棋子的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了C棋子,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,问这一轮中小玲胜小军的概率是多少?
(3)已知小玲先摸一枚棋子,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,问这一轮中小玲摸到哪种棋子会使她胜小军的概率最大?
“字母棋”的游戏规则为:
①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛,先摸者摸出的棋子不放回;
②A棋子胜B棋子、C棋子;B棋子胜C棋子、D棋子;C棋子胜D棋子;D棋子胜A棋子;
③相同棋子不分胜负.
(1)若小玲先摸,问小玲摸到C棋子的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了C棋子,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,问这一轮中小玲胜小军的概率是多少?
(3)已知小玲先摸一枚棋子,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,问这一轮中小玲摸到哪种棋子会使她胜小军的概率最大?
答案
(1)解:$P$(小玲摸到C棋子)$=\frac{3}{10}$.
(2)$P$(小玲在这一轮中胜小军)$=\frac{4}{9}$.
(3)①若小玲摸到A棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{5}{9}$;
②若小玲摸到B棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{7}{9}$;
③若小玲摸到C棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{4}{9}$;
④若小玲摸到D棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{1}{9}$.由此可见,小玲摸到B棋子会使她胜小军的概率最大.
(2)$P$(小玲在这一轮中胜小军)$=\frac{4}{9}$.
(3)①若小玲摸到A棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{5}{9}$;
②若小玲摸到B棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{7}{9}$;
③若小玲摸到C棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{4}{9}$;
④若小玲摸到D棋子,$P$(小玲胜小军)$=\frac{1}{9}$.由此可见,小玲摸到B棋子会使她胜小军的概率最大.
解析
【分析】
(1)第一问是基础古典概型问题，先确定总棋子数为所有等可能结果的总数，再统计C棋子的数量为符合条件的结果数，代入概率公式即可求解。
(2)第二问已知小玲摸到C棋子，先结合游戏规则明确小玲胜小军的条件是小军摸到D棋子，再统计剩余9枚棋子中D棋子的数量，用符合条件的结果数除以剩余总棋子数得到获胜概率。
(3)第三问采用分类讨论思路：分别假设小玲摸到A、B、C、D四类棋子，结合规则对应找出每种情况下小玲胜小军时小军摸到的棋子类型，统计剩余9枚棋子中对应类型的总数量，分别计算四类情况的获胜概率，最终比较概率大小得出结论。
【解析】
(1)共有10枚棋子，其中C棋子共3枚，小玲随机摸1枚的所有等可能结果共10种，摸到C棋子的结果共3种，因此：
$P$(小玲摸到C棋子)$=\frac{3}{10}$。
(2)小玲摸到C棋子后，剩余9枚棋子，根据规则C胜D，即小军摸到D棋子时小玲胜，剩余棋子中D共4枚，所有等可能的摸棋结果共9种，小玲获胜的结果共4种，因此：
$P$(小玲在这一轮中胜小军)$=\frac{4}{9}$。
(3)分四类情况计算：
①若小玲摸到A棋子，根据规则A胜B、C，剩余棋子中B有2枚、C有3枚，共5枚符合获胜条件，因此$P$(小玲胜小军)$=\frac{2+3}{9}=\frac{5}{9}$；
②若小玲摸到B棋子，根据规则B胜C、D，剩余棋子中C有3枚、D有4枚，共7枚符合获胜条件，因此$P$(小玲胜小军)$=\frac{3+4}{9}=\frac{7}{9}$；
③若小玲摸到C棋子，同(2)可得$P$(小玲胜小军)$=\frac{4}{9}$；
④若小玲摸到D棋子，根据规则D胜A，剩余棋子中A有1枚符合获胜条件，因此$P$(小玲胜小军)$=\frac{1}{9}$。
比较得$\frac{7}{9}＞\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}＞\frac{1}{9}$，因此小玲摸到B棋子时胜小军的概率最大。
【答案】
(1)$P$(小玲摸到C棋子)$=\frac{3}{10}$
(2)$P$(小玲在这一轮中胜小军)$=\frac{4}{9}$
(3)小玲摸到B棋子会使她胜小军的概率最大
【知识点】
概率公式、古典概型、分类讨论
【点评】
本题以游戏情境为载体考查概率的实际应用，解题核心是准确理解胜负规则，正确统计各类符合条件的结果数，解题时需注意摸棋不放回的前提，避免统计剩余棋子数量时出错，整体侧重对信息提取和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)第一问是基础古典概型问题，先确定总棋子数为所有等可能结果的总数，再统计C棋子的数量为符合条件的结果数，代入概率公式即可求解。
(2)第二问已知小玲摸到C棋子，先结合游戏规则明确小玲胜小军的条件是小军摸到D棋子，再统计剩余9枚棋子中D棋子的数量，用符合条件的结果数除以剩余总棋子数得到获胜概率。
(3)第三问采用分类讨论思路：分别假设小玲摸到A、B、C、D四类棋子，结合规则对应找出每种情况下小玲胜小军时小军摸到的棋子类型，统计剩余9枚棋子中对应类型的总数量，分别计算四类情况的获胜概率，最终比较概率大小得出结论。
【解析】
(1)共有10枚棋子，其中C棋子共3枚，小玲随机摸1枚的所有等可能结果共10种，摸到C棋子的结果共3种，因此：
$P$(小玲摸到C棋子)$=\frac{3}{10}$。
(2)小玲摸到C棋子后，剩余9枚棋子，根据规则C胜D，即小军摸到D棋子时小玲胜，剩余棋子中D共4枚，所有等可能的摸棋结果共9种，小玲获胜的结果共4种，因此：
$P$(小玲在这一轮中胜小军)$=\frac{4}{9}$。
(3)分四类情况计算：
①若小玲摸到A棋子，根据规则A胜B、C，剩余棋子中B有2枚、C有3枚，共5枚符合获胜条件，因此$P$(小玲胜小军)$=\frac{2+3}{9}=\frac{5}{9}$；
②若小玲摸到B棋子，根据规则B胜C、D，剩余棋子中C有3枚、D有4枚，共7枚符合获胜条件，因此$P$(小玲胜小军)$=\frac{3+4}{9}=\frac{7}{9}$；
③若小玲摸到C棋子，同(2)可得$P$(小玲胜小军)$=\frac{4}{9}$；
④若小玲摸到D棋子，根据规则D胜A，剩余棋子中A有1枚符合获胜条件，因此$P$(小玲胜小军)$=\frac{1}{9}$。
比较得$\frac{7}{9}＞\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}＞\frac{1}{9}$，因此小玲摸到B棋子时胜小军的概率最大。
【答案】
(1)$P$(小玲摸到C棋子)$=\frac{3}{10}$
(2)$P$(小玲在这一轮中胜小军)$=\frac{4}{9}$
(3)小玲摸到B棋子会使她胜小军的概率最大
【知识点】
概率公式、古典概型、分类讨论
【点评】
本题以游戏情境为载体考查概率的实际应用，解题核心是准确理解胜负规则，正确统计各类符合条件的结果数，解题时需注意摸棋不放回的前提，避免统计剩余棋子数量时出错，整体侧重对信息提取和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
