1. 计算$3a^2 · a^3$的结果是 （）

A.$4a^5$
B.$4a^6$
C.$3a^5$
D.$3a^6$

1.C

【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算法则，运算时分为两部分计算：一是系数部分相乘，二是同底数幂部分按照同底数幂乘法法则计算，最后将两部分的结果合并即可得到最终乘积，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
1. 计算系数部分的乘积：$3×1=3$；
2. 计算同底数幂的乘积：根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$；
3. 合并两部分结果，得$3a^2 · a^3=3a^5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查基础运算法则的应用，难度较低，熟练掌握相关运算规则即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9

2. 下列计算错误的是（）

A.$3x^2 · 2x^3 = 6x^5$
B.$-ac^2 · (-7ab^2) = 7ab^2c^2$
C.$5x^2y · (-2xy^5) = -10x^3y^6$
D.$34ax · 2by = 68abxy$

2.B

【分析】
本题考查单项式与单项式相乘的运算，解题思路是先回忆单项式乘单项式的运算法则：将两个单项式的系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加），仅在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起作为积的因式，再逐一计算每个选项的结果，找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们根据单项式乘单项式的法则逐一验证选项：
A选项：$3x^2 · 2x^3$，系数相乘得$3×2=6$，同底数幂运算得$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$，因此结果为$6x^5$，计算正确，不符合题意。
B选项：$-ac^2 · (-7ab^2)$，系数相乘得$(-1)×(-7)=7$，同底数幂运算得$a·a=a^{1+1}=a^2$，剩余因式为$b^2、c^2$，因此结果应为$7a^2b^2c^2$，选项给出的结果漏算$a$的指数，计算错误，符合题意。
C选项：$5x^2y · (-2xy^5)$，系数相乘得$5×(-2)=-10$，同底数幂运算得$x^2·x=x^{2+1}=x^3$，$y·y^5=y^{1+5}=y^6$，因此结果为$-10x^3y^6$，计算正确，不符合题意。
D选项：$34ax · 2by$，系数相乘得$34×2=68$，所有字母均仅出现一次，直接作为积的因式，因此结果为$68abxy$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
单项式与单项式相乘、同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础运算题，解题时要注意三点：一是系数运算时不要弄错符号，二是同底数幂相乘是指数相加而非相乘，三是不要漏乘仅在一个单项式中出现的字母及其指数。
【难度系数】
0.8

3. 计算：
(1) $(-9a^2b^3) · 8ab^2$；
(2) $(-a^2)^3 · (-2a^2)^3$；
(3) $(-3a^2b)^3 · (-\frac{1}{2}a^2)^4 · (-b^2)^5$。

3.解：(1)原式$=[(-9)×8](a^2 · a)·(b^3 · b^2)=-72a^3b^5$。
(2)原式$=-a^6 · (-8a^6)$
$=[(-1)×(-8)](a^6 · a^6)=8a^{12}$。
(3)原式$=-27a^6b^3 · \frac{1}{16}a^8 · (-b^{10})=\frac{27}{16}a^{14}b^{13}$。

【分析】
这三道题属于单项式乘法的基础计算，解题遵循“先乘方、后乘法”的顺序：第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则计算乘方项，注意根据负号的次数判断符号（奇次幂为负、偶次幂为正）；第二步按照单项式乘单项式法则计算：系数相乘作为结果的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，单独出现的因式直接保留到结果中；最后整理系数、字母及指数即可。
【解析】
(1) 直接运用单项式乘单项式法则计算：
系数相乘：$(-9)×8=-72$，
同底数幂分别相乘：$a^2·a=a^{2+1}=a^3$，$b^3·b^2=b^{3+2}=b^5$，
合并得：$-72a^3b^5$。
(2) 先计算乘方，再计算乘法：
根据幂的乘方、积的乘方法则：$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^6$，$(-2a^2)^3=(-2)^3·(a^2)^3=-8a^6$，
计算单项式乘积：系数相乘为$(-1)×(-8)=8$，同底数幂相乘为$a^6·a^6=a^{6+6}=a^{12}$，
合并得：$8a^{12}$。
(3) 先分别计算各乘方项，再计算连乘：
计算各乘方：$(-3a^2b)^3=(-3)^3·(a^2)^3·b^3=-27a^6b^3$，
$(-\frac{1}{2}a^2)^4=(-\frac{1}{2})^4·(a^2)^4=\frac{1}{16}a^8$，
$(-b^2)^5=(-1)^5·(b^2)^5=-b^{10}$，
计算连乘：系数相乘为$(-27)×\frac{1}{16}×(-1)=\frac{27}{16}$，同底数幂相乘为$a^6·a^8=a^{6+8}=a^{14}$，$b^3·b^{10}=b^{3+10}=b^{13}$，
合并得：$\frac{27}{16}a^{14}b^{13}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-72a^3b^5}$；(2) $\boldsymbol{8a^{12}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{27}{16}a^{14}b^{13}}$
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考察幂的运算法则的灵活应用，计算时需重点关注符号判断和指数运算规则，避免出现符号错误、指数混淆的问题。
【难度系数】
0.7

4.已知某种计算机每秒可做$4× 10^{8}$次运算，则它工作$2× 10^{4}$ s运算的次数为 （）

A.$8× 10^{9}$
B.$8× 10^{10}$
C.$8× 10^{11}$
D.$8× 10^{12}$

4.D

【分析】
要计算计算机工作指定时间的总运算次数，首先明确数量关系：总运算次数=每秒运算次数×工作时间。题目中给出的两个量都是科学记数法表示的数，本质是单项式乘单项式的运算，解题时按照单项式乘法法则，先把系数相乘，再计算同底数幂的乘积，最后整理成规范结果即可。
【解析】
根据题意，总运算次数为每秒运算次数乘工作时间，列式得：
$\begin{aligned}&(4× 10^8)×(2× 10^4)\\=&(4×2)×(10^8×10^4) \quad \mathrm{（乘法交换律、结合律）}\\=&8× 10^{8+4} \quad \mathrm{（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）}\\=&8× 10^{12}\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.单项式乘单项式
2.同底数幂的乘法
3.科学记数法
【点评】
本题是整式乘法的实际应用类基础题，解题的关键是找准数量关系列出算式，熟练掌握同底数幂的运算规则，计算时注意区分系数运算和指数运算的不同要求，避免指数计算出错。
【难度系数】
0.8

5.若长方形的宽是$a×10^{3}$ cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为________ cm².

5.$(2a^2×10^6)$

【分析】
解决本题首先要回忆长方形的面积计算公式，第一步根据“长是宽的2倍”求出长方形的长，第二步将长和宽代入面积公式，再运用单项式与单项式相乘的法则、同底数幂的乘法法则计算结果即可。计算单项式乘法时，要分别计算系数的积、相同字母幂的积，最后合并得到最终结果。
【解析】
解：首先计算长方形的长：
已知长方形的宽为$a × 10^3\ \mathrm{cm}$，长是宽的2倍，
因此长$=2×(a × 10^3)=2a × 10^3\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入长和宽得：
$S=(2a × 10^3)×(a × 10^3)$
按照单项式与单项式相乘的法则，分别计算各部分的积：
系数部分：$2×1=2$
字母部分：$a× a=a^2$
幂的部分：$10^3×10^3=10^{3+3}=10^6$
将各部分相乘可得：$S=2a^2×10^6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$2a^2×10^6$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法、长方形面积计算
【点评】
本题是单项式乘法运算的基础应用题型，解题核心是先准确求出长方形的长，再结合面积公式按单项式乘法的运算规则计算即可，运算时注意同底数幂相乘是指数相加，避免出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.8

6.若$2a^3y^2 · (-4a^2y^3)=ma^5y^n$，则$m+n$的值为。

6.-3

【分析】
解题时首先利用单项式与单项式相乘的法则计算等式左侧的乘积，再根据等式两边相同字母的指数对应相等、系数对应相等，分别求出m和n的值，最后代入计算m+n即可。具体思考步骤：①回忆单项式乘法法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘，底数不变指数相加；②计算左侧乘积后和右侧式子对比，得到m、n的取值；③求和得到结果。
【解析】
先计算等式左侧的单项式乘法：
系数部分：$2×(-4)=-8$
$a$的幂次部分：$a^3· a^2=a^{3+2}=a^5$
$y$的幂次部分：$y^2· y^3=y^{2+3}=y^5$
因此左侧乘积为$-8a^5y^5$
已知$2a^3y^2 · (-4a^2y^3)=ma^5y^n$，即$-8a^5y^5=ma^5y^n$
根据等式两边对应系数相等、相同字母的指数相等，可得：
$m=-8$，$n=5$
所以$m+n=-8+5=-3$
【答案】
-3
【知识点】
单项式与单项式相乘；同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握单项式乘法的运算法则，通过等式两边对应项的系数、指数对应相等求解参数，是对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

7.如图，沿大等边三角形的对称轴对折，则互相重合的两个小等边三角形内的单项式的乘积为。

7.$a$或$2a^2b$或$2a^3b$

【分析】
首先回忆等边三角形的性质：等边三角形有3条不同的对称轴，沿不同对称轴对折时，重合的小等边三角形组合不同。我们需要分三种情况，分别找到每次对折后重合的两个带单项式的小三角形，再根据单项式乘单项式的运算法则计算乘积即可。
【解析】
大等边三角形共有3条对称轴，分三种情况讨论：
1. 沿过顶部顶点和底边中点的对称轴对折时，含单项式1和含单项式$2a^2b$的小三角形重合，乘积为：$1×2a^2b=2a^2b$；
2. 沿过左下顶点和对边中点的对称轴对折时，含单项式$a$和含单项式$2a^2b$的小三角形重合，乘积为：$a·2a^2b=2a^3b$；
3. 沿过右下顶点和对边中点的对称轴对折时，含单项式$a$和含单项式$1$的小三角形重合，乘积为：$a×1=a$。
综上，互相重合的两个小等边三角形内的单项式的乘积为$a$或$2a^2b$或$2a^3b$。
【答案】
$a$或$2a^2b$或$2a^3b$
【知识点】
等边三角形的对称性、单项式乘单项式、分类讨论
【点评】
本题将几何图形的对称性和整式乘法运算结合，解题的关键是考虑全面所有对折的情况，避免漏解，同时要熟练掌握单项式乘法的运算规则。
【难度系数】
0.7

8.计算：
(1)$(2x^3y)^2 · x^3y + (-14x^6) · (-xy)^3$；
(2)$(-3a^2b)^3 - (2a^3)^2 · (-b)^3 + 3a · (-5a^5b^3)$。

8.解：(1)原式$=4x^6y^2 · x^3y+14x^6 · x^3y^3=18x^9y^3$。
(2)原式$=-27a^6b^3+4a^6b^3-15a^6b^3=-38a^6b^3$。

【分析】
这两道题属于整式混合运算题，解题遵循“先乘方、再乘法、最后加减”的运算顺序：①第一步先处理乘方运算，运用积的乘方、幂的乘方法则展开乘方式，注意不要漏算系数的乘方，同时准确判断符号；②第二步运用单项式乘单项式法则计算乘法，同底数幂相乘时底数不变、指数相加；③最后合并同类项，只需将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。运算过程中要重点关注负号的处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(2x^3y)^2 = 2^2 · (x^3)^2 · y^2 = 4x^6y^2$，
$(-xy)^3 = (-1)^3 · x^3 · y^3 = -x^3y^3$，
代入原式计算乘法后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^6y^2 · x^3y + (-14x^6) · (-x^3y^3)\\&=4x^{6+3}y^{2+1} + 14x^{6+3}y^3\\&=4x^9y^3 + 14x^9y^3\\&=18x^9y^3\end{aligned}$
(2) 先计算乘方：
$(-3a^2b)^3 = (-3)^3 · (a^2)^3 · b^3 = -27a^6b^3$，
$(2a^3)^2 = 2^2 · (a^3)^2 = 4a^6$，$(-b)^3 = -b^3$，
代入原式计算乘法后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-27a^6b^3 - 4a^6 · (-b^3) + 3a · (-5a^5b^3)\\&=-27a^6b^3 + 4a^6b^3 - 15a^{1+5}b^3\\&=-27a^6b^3 + 4a^6b^3 - 15a^6b^3\\&=-38a^6b^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{18x^9y^3}$；(2) $\boxed{-38a^6b^3}$
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考查幂的运算法则和单项式乘法的运算能力，运算时需注意负号的处理、指数的计算规则，避免出现系数乘方错误、指数相加错算成相乘的问题。
【难度系数】
0.75

9. 先化简,再求值:$3x^2y · (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2$,其中$x=4,y=\frac{1}{4}$.

9.解：原式$=-24x^5y^7+8x^5y^7=-16x^5y^7$。
当$x=4,y=\frac{1}{4}$时，
原式$=-16×4^5×(\frac{1}{4})^7=-1$。

【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的思路解题：第一步先算乘方，依据积的乘方、幂的乘方法则计算式中两个乘方项的结果；第二步算单项式乘法，按照系数相乘、同底数幂分别相加的规则计算两项乘积；第三步合并同类项得到最简整式；最后代入x、y的值计算，代值时可利用积的乘方的逆运算简化计算，避免大数运算出错。
【解析】
解：先计算乘方运算：
$(-2xy^2)^3=(-2)^3·x^3·(y^2)^3=-8x^3y^6$
$(-xy^2)^2=(-1)^2·x^2·(y^2)^2=x^2y^4$
$(2xy)^3=2^3·x^3·y^3=8x^3y^3$
再计算单项式乘法：
$3x^2y · (-8x^3y^6)=3×(-8)·x^{2+3}·y^{1+6}=-24x^5y^7$
$8x^3y^3 · x^2y^4=8×1·x^{3+2}·y^{3+4}=8x^5y^7$
合并同类项得：
原式$=-24x^5y^7+8x^5y^7=-16x^5y^7$
代入$x=4,y=\frac{1}{4}$计算：
原式$=-16×4^5×(\frac{1}{4})^7$
$=-16×4^5×(\frac{1}{4})^5×(\frac{1}{4})^2$
$=-16×(4×\frac{1}{4})^5×\frac{1}{16}$
$=-16×1^5×\frac{1}{16}$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 幂的运算性质 2. 单项式乘单项式 3. 整式化简求值
【点评】
本题侧重考查整式运算的基本规则，需严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，代值时灵活运用幂的运算的逆运算可大幅降低计算量，减少错误概率。
【难度系数】
0.7

10. 已知 $9a^{m+n}b^{n+1}$ 与 $-2a^{2m-1}b^{2m-1}$ 的积与 $5a^6b^6$ 是同类项，求 $m,n$ 的值.

10.解：$9a^{m+n}b^{n+1} · (-2a^{2m-1}b^{2m-1})=-18a^{3m+n-1}b^{2m+n}$。
由题意，得$\begin{cases} 3m+n-1=6, \\ 2m+n=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=1, \\ n=4. \end{cases}$

【分析】
解题时首先要计算出两个单项式的乘积，计算时遵循单项式乘单项式的运算规则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂的指数相加。再根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，可列出关于m、n的二元一次方程组，最后解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
第一步：计算两个单项式的乘积：
$9a^{m+n}b^{n+1} · (-2a^{2m-1}b^{2m-1})$
$= [9×(-2)] · a^{(m+n)+(2m-1)} · b^{(n+1)+(2m-1)}$
$=-18a^{3m+n-1}b^{2m+n}$
第二步：根据题意，该乘积与$5a^6b^6$是同类项，因此相同字母的指数相等，列方程组：
$\begin{cases} 3m+n-1=6 \\ 2m+n=6 \end{cases}$
第三步：解方程组，用第一个方程减去第二个方程：
$(3m+n-1)-(2m+n)=6-6$
化简得$m-1=0$，解得$m=1$
将$m=1$代入$2m+n=6$，得$2×1 +n=6$，解得$n=4$
【答案】
$\begin{cases} m=1 \\ n=4 \end{cases}$
【知识点】
单项式乘单项式、同类项的定义、解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先正确完成单项式的乘法运算，再利用同类项的性质建立方程求解，运算时要注意同底数幂的指数计算不要出错，解方程组时注意消元法的正确使用。
【难度系数】
0.8