3. 2024 年我国某县 GDP 约为 99 亿元,如果以后每年按相同的增长率增长,三年后该县 GDP 约达 125 亿元,若将增长率记作 $ x $,可列方程为 ( )

A.$ 99 + 99x + 99x^{2}= 125 $
B.$ 99(1 + x)^{3}= 125 $
C.$ 99(1 + x)^{2}= 125 $
D.$ 99 + 99(1 + x)+99(1 + x)^{2}= 125 $

B

2024年GDP为99亿元，增长率为$x$，则2025年GDP为$99(1 + x)$亿元，2026年GDP为$99(1 + x)^2$亿元，2027年（三年后）GDP为$99(1 + x)^3$亿元，依题意可列方程为$99(1 + x)^3 = 125$。
B

4. 若 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是方程 $ x^{2}= 57 $ 的两根,则 $ x_{1}+x_{2} $ 的值是______。

0

方程$x^{2}=57$可化为$x^{2}-57=0$。对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。此方程中$a=1$，$b=0$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{0}{1}=0$。
0

5. 方程 $ 3(x - 1)^{2}-27 = 0 $ 的解是______。

x₁=-2, x₂=4

解：$3(x - 1)^{2}-27 = 0$
$3(x - 1)^{2}=27$
$(x - 1)^{2}=9$
$x - 1=\pm 3$
$x - 1=3$ 或 $x - 1=-3$
$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$
$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$

6. 若二次三项式 $ x^{2}+4x + m $ 是一个完全平方式,则 $ m = $______。

4

因为完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，对于二次三项式$x^2 + 4x + m$，其中$a = x$，$2ab = 4x$，则$2x \cdot b = 4x$，解得$b = 2$，所以$m = b^2 = 2^2 = 4$。
4

7. 解下列方程：
(1) $ 9x^{2}= 1 $；
(2) $ 81x^{2}-1 = 0 $；
(3) $ (x - 2)^{2}-25 = 0 $；
(4) $ 2(x - 1)^{2}= 2.88 $；
(5) $ 3(2x + 3)^{2}-75 = 0 $；
(6) $ (x + \sqrt{2})^{2}= (1 - \sqrt{2})^{2} $。
]

(1)x₁=$\frac{1}{3}$, x₂=-$\frac{1}{3}$;
(2)x₁=-$\frac{1}{9}$, x₂=$\frac{1}{9}$;
(3)x₁=7, x₂=-3;
(4)x₁=2, x₂=-0.2;
(5)x₁=1, x₂=-4;
(6)x₁=-1, x₂=1-2$\sqrt{2}$

1. 若 $ a $ 为方程 $ (x - \sqrt{19})^{2}= 81 $ 的一根,$ b $ 为方程 $ (y - 4)^{2}= 19 $ 的一根,且 $ ab\lt0 $,则 $ a + b $ 的值为 ( )

A.$ 13 $ 或 $ 13 + 2\sqrt{19} $
B.$ -5 $ 或 $ -5 + 2\sqrt{19} $
C.$ -5 $ 或 $ 13 + 2\sqrt{19} $
D.$ 13 $ 或 $ -5 + 2\sqrt{19} $

D

解方程$(x - \sqrt{19})^{2}= 81$，得$x - \sqrt{19} = \pm 9$，即$x = \sqrt{19} + 9$或$x = \sqrt{19} - 9$，所以$a = \sqrt{19} + 9$或$a = \sqrt{19} - 9$。
解方程$(y - 4)^{2}= 19$，得$y - 4 = \pm \sqrt{19}$，即$y = 4 + \sqrt{19}$或$y = 4 - \sqrt{19}$，所以$b = 4 + \sqrt{19}$或$b = 4 - \sqrt{19}$。
因为$ab\lt0$，所以分两种情况：
情况一：$a = \sqrt{19} + 9$（此时$a\gt0$），则$b\lt0$，$b = 4 - \sqrt{19}$（$\sqrt{19}\approx4.358$，$4 - \sqrt{19}\lt0$），$a + b = (\sqrt{19} + 9) + (4 - \sqrt{19}) = 13$。
情况二：$a = \sqrt{19} - 9$（此时$a\lt0$），则$b\gt0$，$b = 4 + \sqrt{19}$（$4 + \sqrt{19}\gt0$），$a + b = (\sqrt{19} - 9) + (4 + \sqrt{19}) = -5 + 2\sqrt{19}$。
综上，$a + b$的值为$13$或$-5 + 2\sqrt{19}$。
D

2. 若把代数式 $ x^{2}-2x - 3 $ 化为 $ (x - m)^{2}+k $ 的形式,其中 $ m $,$ k $ 为常数,则 $ m + k = $______。

-3

$x^{2}-2x-3$
$=x^{2}-2x+1-1-3$
$=(x-1)^{2}-4$
所以$m=1$，$k=-4$，则$m + k=1+(-4)=-3$
$-3$

1. 数学课上,数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程,让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程,每人负责完成一个步骤(如图),第一位同学完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算……依次进行,最后完成计算。规则是每人只能看到前一名同学的计算结果。接力计算中,出现错误的同学是( )


A.张
B.王
C.李
D.陈

B

解：原方程为$2x^{2}+4x - 1=0$。
张同学：移项得$2x^{2}+4x=1$，正确。
王同学：方程两边同除以2，得$x^{2}+2x=\frac{1}{2}$，而非$x^{2}+2x=1$，错误。
答案：B