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14. (2024·安徽)解方程:$x^2 - 2x = 3.$
答案
解：$\because x^{2}-2x = 3，$ $\therefore x^{2}-2x + 1 = 3 + 1，$ $\therefore(x - 1)^{2}=4，$ $\therefore x - 1 = 2$或$x - 1=-2，$ $\therefore x_{1}=3，$$x_{2}=-1。$
15. (2024·青海)(1)解一元二次方程:$x^2 - 4x + 3 = 0$.
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
答案
解：
(1)$\because x^{2}-4x=-3，$ $\therefore x^{2}-4x + 4=-3 + 4，$ $\therefore(x - 2)^{2}=1，$ $\therefore x - 2 = 1$或$x - 2=-1，$ $\therefore x_{1}=1，$$x_{2}=3。$ (2)当3是直角三角形的斜边时，第三边为$\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=2\sqrt{2}；$ 当1和3是直角三角形的直角边时，第三边为$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}。$ $\therefore$第三边的长为$2\sqrt{2}$或$\sqrt{10}。$
(1)$\because x^{2}-4x=-3，$ $\therefore x^{2}-4x + 4=-3 + 4，$ $\therefore(x - 2)^{2}=1，$ $\therefore x - 2 = 1$或$x - 2=-1，$ $\therefore x_{1}=1，$$x_{2}=3。$ (2)当3是直角三角形的斜边时，第三边为$\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=2\sqrt{2}；$ 当1和3是直角三角形的直角边时，第三边为$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}。$ $\therefore$第三边的长为$2\sqrt{2}$或$\sqrt{10}。$
16. (2024·南充)已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$，且$k$、$x_1$、$x_2$都是整数，求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$，且$k$、$x_1$、$x_2$都是整数，求$k$的值.
答案
解：
(1)$\because$原方程有两个不相等的实数根， $\therefore b^{2}-4ac=(-2k)^{2}-4\times1\times(k^{2}-k + 1)=4k^{2}-4k^{2}+4k - 4 = 4k - 4＞0，$ 解得$k＞1。$ (2)$\because 1＜k＜5，$$\therefore$整数$k$的值为2、3、4， 当$k = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=3；$ 当$k = 3$或4时，此时方程的根不为整数。 综上所述，$k$的值为2。
(1)$\because$原方程有两个不相等的实数根， $\therefore b^{2}-4ac=(-2k)^{2}-4\times1\times(k^{2}-k + 1)=4k^{2}-4k^{2}+4k - 4 = 4k - 4＞0，$ 解得$k＞1。$ (2)$\because 1＜k＜5，$$\therefore$整数$k$的值为2、3、4， 当$k = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=3；$ 当$k = 3$或4时，此时方程的根不为整数。 综上所述，$k$的值为2。
17. (2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量$y$(件)与每件售价$x$(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示:
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.(不要求写出自变量$x$的取值范围)
(2)该商品日销售额能否达到2 600元? 如果能,求出每件售价;如果不能,请说明理由.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.(不要求写出自变量$x$的取值范围)
(2)该商品日销售额能否达到2 600元? 如果能,求出每件售价;如果不能,请说明理由.
答案
解：
(1)根据题意，设一次函数的关系式为$y = kx + b，$ 又$\because$图像过$(45,55)$、$(55,45)，$ $\therefore\begin{cases}45k + b = 55\\55k + b = 45\end{cases}，$ 两式相减得：$10k=-10，$解得$k=-1，$ 把$k=-1$代入$45k + b = 55，$得$-45 + b = 55，$解得$b = 100。$ $\therefore$所求函数关系式为$y=-x + 100。$ (2)根据题意，得$x(-x + 100)=-x^{2}+100x = 2600，$ $\therefore x^{2}-100x + 2600 = 0。$ $\therefore b^{2}-4ac=(-100)^{2}-4\times2600=10000 - 10400=-400＜0。$ $\therefore$方程没有实数根，故该商品日销售额不能达到2600元。
(1)根据题意，设一次函数的关系式为$y = kx + b，$ 又$\because$图像过$(45,55)$、$(55,45)，$ $\therefore\begin{cases}45k + b = 55\\55k + b = 45\end{cases}，$ 两式相减得：$10k=-10，$解得$k=-1，$ 把$k=-1$代入$45k + b = 55，$得$-45 + b = 55，$解得$b = 100。$ $\therefore$所求函数关系式为$y=-x + 100。$ (2)根据题意，得$x(-x + 100)=-x^{2}+100x = 2600，$ $\therefore x^{2}-100x + 2600 = 0。$ $\therefore b^{2}-4ac=(-100)^{2}-4\times2600=10000 - 10400=-400＜0。$ $\therefore$方程没有实数根，故该商品日销售额不能达到2600元。
18. (2024·遂宁)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 $。
(1)求证:无论$ m $取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2)如果方程的两个实数根为$ x_1 $、$ x_2 $,且$ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求$ m $的值。
(1)求证:无论$ m $取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2)如果方程的两个实数根为$ x_1 $、$ x_2 $,且$ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求$ m $的值。
答案
解：
(1)证明：$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0，$这里$a = 1，$$b=-(m + 2)，$$c = m - 1，$ $\therefore b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4\times1\times(m - 1)=m^{2}+4m + 4 - 4m + 4=m^{2}+8。$ $\because m^{2}\geq0，$$\therefore b^{2}-4ac＞0。$ $\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)根据题意，得$x_{1}+x_{2}=m + 2，$$x_{1}x_{2}=m - 1。$ $\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9，$即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9，$ $\therefore(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9。$ 整理，得$m^{2}+4m + 4 - 3m + 3 = 9，$ $m^{2}+m - 2 = 0。$ $\therefore(m + 2)(m - 1)=0。$ 解得$m_{1}=-2，$$m_{2}=1。$ $\therefore m$的值为$-2$或1。
(1)证明：$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0，$这里$a = 1，$$b=-(m + 2)，$$c = m - 1，$ $\therefore b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4\times1\times(m - 1)=m^{2}+4m + 4 - 4m + 4=m^{2}+8。$ $\because m^{2}\geq0，$$\therefore b^{2}-4ac＞0。$ $\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)根据题意，得$x_{1}+x_{2}=m + 2，$$x_{1}x_{2}=m - 1。$ $\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9，$即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9，$ $\therefore(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9。$ 整理，得$m^{2}+4m + 4 - 3m + 3 = 9，$ $m^{2}+m - 2 = 0。$ $\therefore(m + 2)(m - 1)=0。$ 解得$m_{1}=-2，$$m_{2}=1。$ $\therefore m$的值为$-2$或1。
