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19. 某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取。他们的各项成绩（单项满分$100$分）如下表所示：
|候选人|文化水平|艺术水平|组织能力|
|----|----|----|----|
|甲|$80$分|$87$分|$82$分|
|乙|$80$分|$96$分|$76$分|
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照$20\%$，$20\%$，$60\%$的比例计入综合成绩，应该录取谁？
|候选人|文化水平|艺术水平|组织能力|
|----|----|----|----|
|甲|$80$分|$87$分|$82$分|
|乙|$80$分|$96$分|$76$分|
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照$20\%$，$20\%$，$60\%$的比例计入综合成绩，应该录取谁？
答案
(1)∵ EB = CF,∴ EB + EC = CF + EC,∴ BC = EF. 又∵ AB = DF,AC = DE,∴ △ABC ≌ △DFE(SSS),∴ ∠ABC = ∠DFE,∴ AB // DF,
∴ 四边形ABDF是平行四边形. (2)如图,连接AD交BF于点O. ∵ 四边形ABDF是平行四边形,∴ OB = OF. ∵ BE = CF,∴ OB - BE = OF - CF,∴ OE = OC. ∵ AE = AC,∴ AO⊥EC,∴ 四边形ABDF是菱形,∴ AB = DB.
20. 为了提高节能意识，某中学对全校的耗电情况进行了统计，他们抽查了$10$天中全校每天的耗电量，数据如下表：（单位：度）
|度数|$900$|$920$|$950$|$1010$|$1050$|$1100$|
|----|----|----|----|----|----|----|
|天数|$1$|$1$|$2$|$3$|$1$|$2$|
（1）写出学校这$10$天耗电量的众数和平均数；
（2）若每度电的定价是$0.8$元，由（1）中获得的数据，估计该校每月应付电费是多少；（每月按$30$天计）
（3）如果做到人走电关，学校每天就可节省电量$1\%$，按照每度电$0.8$元计算，写出该校节省电费$y$（单位：元）与天数$x$（取正整数）之间的函数关系式。
|度数|$900$|$920$|$950$|$1010$|$1050$|$1100$|
|----|----|----|----|----|----|----|
|天数|$1$|$1$|$2$|$3$|$1$|$2$|
（1）写出学校这$10$天耗电量的众数和平均数；
（2）若每度电的定价是$0.8$元，由（1）中获得的数据，估计该校每月应付电费是多少；（每月按$30$天计）
（3）如果做到人走电关，学校每天就可节省电量$1\%$，按照每度电$0.8$元计算，写出该校节省电费$y$（单位：元）与天数$x$（取正整数）之间的函数关系式。
答案
(1)∵ DE⊥BC,∴ ∠DFB = 90°. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ACB = ∠DFB,∴ AC // DE. ∵ MN // AB,即CE // AD,∴ 四边形ADEC是平行四边形,∴ CE = AD. (2)四边形BECD是菱形. 理由如下:∵ D为AB的中点,∴ AD = BD. ∵ CE = AD,∴ BD = CE. ∵ BD // CE,∴ 四边形BECD是平行四边形. ∵ ∠ACB = 90°,D为AB中点,∴ CD = BD,∴ 四边形BECD是菱形. (3)当∠A = 45°时,四边形BECD是正方形. 理由如下:∵ ∠ACB = 90°,∠A = 45°,∴ ∠ABC = ∠A = 45°,∴ AC = BC. ∵ D为AB的中点,∴ CD⊥AB,∴ ∠CDB = 90°. ∵ 四边形BECD是菱形,∴ 四边形BECD是正方形,即当∠A = 45°时,四边形BECD是正方形.
21. 设$5 - \sqrt{3}$的小数部分为$a$，$5 + \sqrt{3}$的小数部分为$b$，求$(a - 1)(b + 2)$的值。
答案
【解析】：
本题可先根据$\sqrt{3}$的取值范围，分别确定$5 - \sqrt{3}$和$5 + \sqrt{3}$的取值范围，进而得到它们的整数部分，再根据小数部分的定义求出$a$、$b$的值，最后代入$(a - 1)(b + 2)$求值。
- **步骤一：确定$\sqrt{3}$的取值范围**
因为$1\lt 3\lt 4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大，可得$\sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4}$，即$1\lt \sqrt{3}\lt 2$。
- **步骤二：分别确定$5 - \sqrt{3}$和$5 + \sqrt{3}$的取值范围**
对于$5 - \sqrt{3}$，由$1\lt \sqrt{3}\lt 2$，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-2\lt -\sqrt{3}\lt -1$，再在不等式两边同时加上$5$，可得$5 - 2\lt 5 - \sqrt{3}\lt 5 - 1$，即$3\lt 5 - \sqrt{3}\lt 4$。
对于$5 + \sqrt{3}$，由$1\lt \sqrt{3}\lt 2$，在不等式两边同时加上$5$，可得$5 + 1\lt 5 + \sqrt{3}\lt 5 + 2$，即$6\lt 5 + \sqrt{3}\lt 7$。
- **步骤三：分别求出$a$、$b$的值**
因为$3\lt 5 - \sqrt{3}\lt 4$，所以$5 - \sqrt{3}$的整数部分是$3$，根据小数部分的定义：一个数减去它的整数部分就是它的小数部分，可得$a = 5 - \sqrt{3} - 3 = 2 - \sqrt{3}$。
因为$6\lt 5 + \sqrt{3}\lt 7$，所以$5 + \sqrt{3}$的整数部分是$6$，同理可得$b = 5 + \sqrt{3} - 6 = \sqrt{3} - 1$。
- **步骤四：计算$(a - 1)(b + 2)$的值**
将$a = 2 - \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3} - 1$代入$(a - 1)(b + 2)$可得：
$\begin{aligned}&(2 - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1 + 2)\\=&(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)\\=&1^2 - (\sqrt{3})^2\\=&1 - 3\\=& - 2\end{aligned}$
【答案】：$-2$
本题可先根据$\sqrt{3}$的取值范围，分别确定$5 - \sqrt{3}$和$5 + \sqrt{3}$的取值范围，进而得到它们的整数部分，再根据小数部分的定义求出$a$、$b$的值，最后代入$(a - 1)(b + 2)$求值。
- **步骤一：确定$\sqrt{3}$的取值范围**
因为$1\lt 3\lt 4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大，可得$\sqrt{1}\lt \sqrt{3}\lt \sqrt{4}$，即$1\lt \sqrt{3}\lt 2$。
- **步骤二：分别确定$5 - \sqrt{3}$和$5 + \sqrt{3}$的取值范围**
对于$5 - \sqrt{3}$，由$1\lt \sqrt{3}\lt 2$，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$-2\lt -\sqrt{3}\lt -1$，再在不等式两边同时加上$5$，可得$5 - 2\lt 5 - \sqrt{3}\lt 5 - 1$，即$3\lt 5 - \sqrt{3}\lt 4$。
对于$5 + \sqrt{3}$，由$1\lt \sqrt{3}\lt 2$，在不等式两边同时加上$5$，可得$5 + 1\lt 5 + \sqrt{3}\lt 5 + 2$，即$6\lt 5 + \sqrt{3}\lt 7$。
- **步骤三：分别求出$a$、$b$的值**
因为$3\lt 5 - \sqrt{3}\lt 4$，所以$5 - \sqrt{3}$的整数部分是$3$，根据小数部分的定义：一个数减去它的整数部分就是它的小数部分，可得$a = 5 - \sqrt{3} - 3 = 2 - \sqrt{3}$。
因为$6\lt 5 + \sqrt{3}\lt 7$，所以$5 + \sqrt{3}$的整数部分是$6$，同理可得$b = 5 + \sqrt{3} - 6 = \sqrt{3} - 1$。
- **步骤四：计算$(a - 1)(b + 2)$的值**
将$a = 2 - \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3} - 1$代入$(a - 1)(b + 2)$可得：
$\begin{aligned}&(2 - \sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1 + 2)\\=&(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)\\=&1^2 - (\sqrt{3})^2\\=&1 - 3\\=& - 2\end{aligned}$
【答案】：$-2$
