10. (2025·编写) 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象交于点 $ A(1,3) $,$ B(3,n) $。
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 请结合图象直接写出不等式 $ kx + b \geq \frac{m}{x} $ 的解集。

【解】将点 $A(1,3)$ 代入反比例函数 $y=\frac{m}{x}$，
得 $m = 1×3 = 3$，
∴反比例函数的表达式为 $y=\frac{3}{x}$。
将 $B(3,n)$ 代入 $y=\frac{3}{x}$ 中，得 $n = 1$，∴$B(3,1)$。
将 $A(1,3)$，$B(3,1)$ 代入一次函数 $y = kx + b$ 中，
得 $\begin{cases}k + b = 3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -1 \\ b = 4 \end{cases}$，
∴一次函数的表达式为 $y = -x + 4$。
(2) 根据图象可知，不等式 $kx + b \geqslant \frac{m}{x}$ 的解集是 $1 \leqslant x \leqslant 3$ 或 $x ＜ 0$。

11. (2025·编写) 如图,$ A $ 是反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象上一点,$ AB // y $ 轴交 $ x $ 轴于点 $ B $,$ AD // BC $,$ S_{四边形ABCD} = $______。

3

12. (2025·编写) 如图,一次函数 $ y = x $ 与反比例函数 $ y = \frac{1}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A $,过点 $ A $ 作 $ AB \perp OA $,交 $ x $ 轴于点 $ B $,作 $ BA_{1} // OA $,交反比例函数图象于点 $ A_{1} $,过点 $ A_{1} $ 作 $ A_{1}B_{1} \perp A_{1}B $ 交 $ x $ 轴于点 $ B $,再作 $ B_{1}A_{2} // BA_{1} $,交反比例函数图象于点 $ A_{2} $,依次进行下去,……则点 $ A_{2021} $ 的横坐标为______。

$\sqrt{2022}+\sqrt{2021}$

13. (2024·武侯) 对于平面直角坐标系 $ xOy $ 中的图形 $ M $ 和直线 $ m $,给出如下定义：若图形 $ M $ 上有点到直线 $ m $ 的距离为 $ d $,则称这个点为图形 $ M $ 到直线 $ m $ 的“$ d $ 距点”。如图,双曲线 $ C:y = \frac{4}{x}(x ＞ 0) $ 和直线 $ l:y = -x + n $,若图形 $ C $ 到直线 $ l $ 的“$ \sqrt{2} $ 距点”只有 $ 2 $ 个,则 $ n $ 的取值范围是______。

$2 ＜ n ＜ 6$