5. (2025·无锡期末)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y= \frac {1}{2}x+2交x轴于点A$、交$y轴于点B$,直线$y= -\frac {3}{4}x+b经过点A$,且与$y轴交于点C$.
(1)点$A$的坐标为____,$b= $____.(直接写出答案)
(2)若点$Q为y$轴上任意一点.
①连接$AQ$,当$∠QAB= 45^{\circ }$时,请求出点$Q$的坐标;
②若点$P为射线AO$上任意一点,过点$P作x$轴的垂线,分别交直线$AB$,$AC于M$,$N$,当$\triangle QMN$为等腰直角三角形时,直接写出点$P$的坐标.

(1) (−4,0) −3
(2) ①如图①,过点B作BE⊥AQ于E,作EF⊥y轴于F,作AD⊥EF交FE延长线于D,∴∠D=∠BFE=∠AEB=90°,∴∠AED+∠DAE=90°,∠AED+∠BEF=90°,∴∠DAE=∠BEF.∵∠BAQ=45°,∴∠ABE=90°−∠BAQ=45°,∴∠ABE=∠BAQ,∴AE=BE,∴△ADE≌△EFB(AAS),∴AD=EF,BF=DE,设E(x,y),∴−y=−x,2−y=x−(−4),∴x=y=−1,∴E(−1,−1),设直线AQ的表达式为y=mx+n,∴$\begin{cases}−4m+n=0,\\-m+n=−1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=−\frac{1}{3},\\n=−\frac{4}{3},\end{cases}$∴y=−$\frac{1}{3}$x−$\frac{4}{3}$,∴Q(0,−$\frac{4}{3}$);

如图②,同理可得,DE=BF,AD=EF,∴x−(−4)=y−2,y=−x,∴x=−3,y=3,∴E(−3,3),∴$\begin{cases}−4m+n=0,\\-3m+n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=12,\end{cases}$∴y=3x+12,∴Q(0,12).综上所述,点Q的坐标为(0,−$\frac{4}{3}$)或(0,12).
②点P的坐标为(−$\frac{20}{9}$,0)或(−$\frac{20}{13}$,0)或($\frac{20}{3}$,0).解析:设P(t,0)(t≥−4),如图③,当∠NMQ=90°(或∠MNQ=90°)时,MN=($\frac{1}{2}$t+2)−(−$\frac{3}{4}$t−3)=$\frac{5}{4}$t+5,MQ=−t,由MQ=MN得,$\frac{5}{4}$t+5=−t,∴t=−$\frac{20}{9}$,∴点P的坐标为(−$\frac{20}{9}$,0);


如图④,当∠MQN=90°时,由MN=2DQ得,$\frac{5}{4}$t+5=−2t,∴t=−$\frac{20}{13}$,∴点P的坐标为(−$\frac{20}{13}$,0);

如图⑤,当∠MQN=90°时,$\frac{5}{4}$t+5=2t,∴t=$\frac{20}{3}$,∴点P的坐标为($\frac{20}{3}$,0);
当∠NMQ=90°(或∠MNQ=90°)时,$\frac{5}{4}$t+5=t,∴t=−20(舍去).综上所述,点P的坐标为(−$\frac{20}{9}$,0)或(−$\frac{20}{13}$,0)或($\frac{20}{3}$,0).

6. 如图①,一次函数$y= 2x+4的图象与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,点$C在x$轴的正半轴上,且$OC= 2OA$.
(1)求点$A的坐标和直线BC$的函数表达式.
(2)如图②,设点$M是x$轴上的一个动点,过点$M作y$轴的平行线,交直线$AB于点P$,交直线$BC于点Q$.
①若$\triangle PQB的面积为\frac {8}{3}$,求点$M$的坐标;
②当$∠MBC+∠ABO= 45^{\circ }$时,求点$M$的坐标.

(1) 对于一次函数y=2x+4,令y=0,则有0=2x+4,解得x=−2,∴点A(−2,0),∴OA=2.∵OC=2OA=2×2=4,∴C(4,0).对于一次函数y=2x+4,令x=0,则y=4,∴B(0,4).设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),将点B(0,4),C(4,0)代入,可得$\begin{cases}4=b,\\0=4k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=−1,\\b=4,\end{cases}$∴直线BC的表达式为y=−x+4.
(2) ①根据题意,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点P,交直线BC于点Q,当点M在x轴负半轴时,如图①.


可设M(a,0)(a＜0),则P(a,2a+4),则Q(a,−a+4),∴PQ=|2a+4−(−a+4)|=|3a|=−3a.∵△PQB的面积为$\frac{8}{3}$,B(0,4),∴S△PQB=$\frac{1}{2}$PQ·|a|=$\frac{1}{2}$×(−3a)×(−a)=$\frac{3}{2}$a²=$\frac{8}{3}$,解得a=$\frac{4}{3}$(舍去)或a=−$\frac{4}{3}$.此时M(−$\frac{4}{3}$,0).
当点M在x轴正半轴时,如图②.可设M(a,0)(a＞0),则P(a,2a+4),则Q(a,−a+4),∴PQ=|2a+4−(−a+4)|=|3a|=3a.∵△PQB的面积为$\frac{8}{3}$,B(0,4),∴S△PQB=$\frac{1}{2}$PQ·|a|=$\frac{1}{2}$×3a×a=$\frac{3}{2}$a²=$\frac{8}{3}$,解得a=$\frac{4}{3}$或a=−$\frac{4}{3}$(舍去).此时M($\frac{4}{3}$,0).综上所述,点M的坐标为(−$\frac{4}{3}$,0)或($\frac{4}{3}$,0).
②由(1)可知,A(−2,0),B(0,4),C(4,0),∴OB=OC=4.又∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOC)=45°.
可分两种情况讨论:当∠MBO=∠ABO时,如图③,可有∠MBC+∠ABO=∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°.在△ABO和△MBO中,$\begin{cases}\angle ABO=\angle MBO,\\BO=BO,\\\angle AOB=\angle MOB=90^{\circ},\end{cases}$∴△ABO≌△MBO(ASA),∴OM=OA=2,∴M(2,0).


当∠M'BC=∠MBC时,如图④,过点C作CK⊥OM',交BM'于点K.可有∠M'BC+∠ABO=∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°.∵∠M'BC+∠BM'O=∠OCB=45°,∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°,∴∠M'BC+∠BM'O=∠MBC+∠MBO,∴∠BM'O=∠MBO=∠ABO.∵∠BM'O+∠CKM'=∠MBO+∠OMB=90°,∴∠CKM'=∠OMB.∵∠CKM'+∠BKC=∠OMB+∠BMC=180°,∴∠BKC=∠BMC.在△BMC和△BKC中,$\begin{cases}\angle MBC=\angle KBC,\\\angle BMC=\angle BKC,\\BC=BC,\end{cases}$∴△BMC≌△BKC(AAS),∴KC=MC=4−2=2.在△OBM和△CM'K中,$\begin{cases}\angle OBM=\angle CM'K,\\\angle BOM=\angle M'CK=90^{\circ},\\OM=CK=2,\end{cases}$∴△OBM≌△CM'K(AAS),∴CM'=OB=4,∴OM'=OC+CM'=4+4=8,∴M'(8,0).
综上所述,当∠MBC+∠ABO=45°时,点M的坐标为(2,0)或(8,0).