登录
1.下图是小岩、小轩、小颖做课间操时的位置，老师建立了一个平面直角坐标系。如果用坐标$(3,5)$表示小岩的位置，坐标$(2,3)$表示小轩的位置，那么小颖的位置用坐标表示为(
A.$(4,3)$
B.$(4,2)$
C.$(-4,2)$
D.$(0,2)$
B
)A.$(4,3)$
B.$(4,2)$
C.$(-4,2)$
D.$(0,2)$
答案
B
解析
【分析】
要确定小颖的坐标，首先需根据已知两点的坐标明确平面直角坐标系的正方向和单位长度：平面直角坐标系中，横坐标表示点到y轴的水平距离，向右为正方向，纵坐标表示点到x轴的竖直距离，向上为正方向。已知小岩坐标为$(3,5)$、小轩坐标为$(2,3)$，对比两点的坐标差和方格中的位置差，可得出每个方格的边长对应1个单位长度。接下来可以小轩的位置为参考，判断小颖相对小轩的水平、竖直偏移量，就能计算出小颖的坐标。
【解析】
解：由已知的两个点坐标可知，该坐标系x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，每个方格边长代表1个单位长度。
观察方格中位置：
小颖在小轩的右侧2个单位，故横坐标为$2+2=4$；
小颖在小轩的下方1个单位，故纵坐标为$3-1=2$。
因此小颖的位置坐标为$(4,2)$。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系；用坐标表示位置；点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，解题核心是明确坐标的定义，根据已知点确定坐标系的单位长度和正方向，再结合点的相对位置计算未知点坐标，解题时也可先定位原点再数坐标，方法灵活。
【难度系数】
0.8
要确定小颖的坐标，首先需根据已知两点的坐标明确平面直角坐标系的正方向和单位长度：平面直角坐标系中，横坐标表示点到y轴的水平距离，向右为正方向，纵坐标表示点到x轴的竖直距离，向上为正方向。已知小岩坐标为$(3,5)$、小轩坐标为$(2,3)$，对比两点的坐标差和方格中的位置差，可得出每个方格的边长对应1个单位长度。接下来可以小轩的位置为参考，判断小颖相对小轩的水平、竖直偏移量，就能计算出小颖的坐标。
【解析】
解：由已知的两个点坐标可知，该坐标系x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，每个方格边长代表1个单位长度。
观察方格中位置：
小颖在小轩的右侧2个单位，故横坐标为$2+2=4$；
小颖在小轩的下方1个单位，故纵坐标为$3-1=2$。
因此小颖的位置坐标为$(4,2)$。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系；用坐标表示位置；点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，解题核心是明确坐标的定义，根据已知点确定坐标系的单位长度和正方向，再结合点的相对位置计算未知点坐标，解题时也可先定位原点再数坐标，方法灵活。
【难度系数】
0.8
2.在同一平面内，若以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(1,5)；若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为(
A.$(-1,-5)$
B.$(-1,5)$
C.$(1,-5)$
D.$(1,5)$
A
)A.$(-1,-5)$
B.$(-1,5)$
C.$(1,-5)$
D.$(1,5)$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确：同一平面内两个点的相对位置是固定的，不会随坐标系原点的改变而变化。第一步先理解以B为原点时点A坐标(1,5)的含义：表示点A在点B的x轴正方向1个单位长度、y轴正方向5个单位长度处；第二步推导以A为原点时点B的位置：点B相对点A的方向与A相对B的方向完全相反，对应横、纵坐标都取相反数，即可得到点B的坐标。
【解析】
当以点B为坐标原点时，点A的坐标为(1,5)，说明点A在点B的右侧（x轴正方向）1个单位长度，上方（y轴正方向）5个单位长度。
若以点A为坐标原点建立坐标系，点B的位置相对于点A，是在左侧（x轴负方向）1个单位长度，下方（y轴负方向）5个单位长度，因此点B的横坐标为-1，纵坐标为-5，即坐标为$(-1,-5)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标特征
【点评】
这道题是平面直角坐标系的基础应用题，解题核心是抓住两点相对位置不随原点变化的特点，也可通过画草图的方式直观得出答案，解题思路灵活，能很好地考查对坐标含义的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：同一平面内两个点的相对位置是固定的，不会随坐标系原点的改变而变化。第一步先理解以B为原点时点A坐标(1,5)的含义：表示点A在点B的x轴正方向1个单位长度、y轴正方向5个单位长度处；第二步推导以A为原点时点B的位置：点B相对点A的方向与A相对B的方向完全相反，对应横、纵坐标都取相反数，即可得到点B的坐标。
【解析】
当以点B为坐标原点时，点A的坐标为(1,5)，说明点A在点B的右侧（x轴正方向）1个单位长度，上方（y轴正方向）5个单位长度。
若以点A为坐标原点建立坐标系，点B的位置相对于点A，是在左侧（x轴负方向）1个单位长度，下方（y轴负方向）5个单位长度，因此点B的横坐标为-1，纵坐标为-5，即坐标为$(-1,-5)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标特征
【点评】
这道题是平面直角坐标系的基础应用题，解题核心是抓住两点相对位置不随原点变化的特点，也可通过画草图的方式直观得出答案，解题思路灵活，能很好地考查对坐标含义的理解。
【难度系数】
0.8
3.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=8。
(1)请根据此图建立平面直角坐标系,并写出三个顶点的坐标。
(2)求△ABC的面积。
(1)请根据此图建立平面直角坐标系,并写出三个顶点的坐标。
(2)求△ABC的面积。
答案
(1)如图，$A(0,3)$，$B(-4,0)$，$C(4,0)$。（答案不唯一）
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OA=\frac{1}{2}×8×3=12$。
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OA=\frac{1}{2}×8×3=12$。
解析
【分析】
(1) 建立平面直角坐标系时，结合等腰三角形轴对称的特性，选择最简便的建系方案：将底边BC放在x轴上，取BC的中点为坐标原点，BC的垂直平分线为y轴，此时B、C关于原点对称，A在y轴上，可借助等腰三角形三线合一性质和勾股定理快速计算各点坐标，简化运算。
(2) 求三角形面积时，已知底BC的长度，只需要确定BC边上的高，结合(1)中建系得到的A点纵坐标就是高的长度，直接代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 以线段BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，此时BC的中点为坐标原点O。
∵ BC=8，
∴ OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=4，因此B点坐标为$(-4,0)$，C点坐标为$(4,0)$。
∵ AB=AC=5，AO⊥BC，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
又
∵ 点A在y轴正半轴上，
∴ A点坐标为$(0,3)$。
（建系方式不唯一，对应坐标合理即可）
(2) 由(1)可知，$△ ABC$的底$BC=8$，BC边上的高为$OA=3$，代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × OA = \frac{1}{2} × 8 × 3=12$
【答案】
(1) 示例：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，$A(0,3)$，$B(-4,0)$，$C(4,0)$（答案不唯一）
(2) $12$
【知识点】
平面直角坐标系建立；等腰三角形性质；三角形面积公式
【点评】
本题考查几何图形与平面直角坐标系的结合应用，利用等腰三角形的轴对称性选择最优建系方式是简化计算的关键，同时要求熟练掌握勾股定理和三角形面积公式的基础应用，建系时优先将特殊点（如中点、顶点）放在坐标轴或原点上可降低计算难度。
【难度系数】
0.8
(1) 建立平面直角坐标系时，结合等腰三角形轴对称的特性，选择最简便的建系方案：将底边BC放在x轴上，取BC的中点为坐标原点，BC的垂直平分线为y轴，此时B、C关于原点对称，A在y轴上，可借助等腰三角形三线合一性质和勾股定理快速计算各点坐标，简化运算。
(2) 求三角形面积时，已知底BC的长度，只需要确定BC边上的高，结合(1)中建系得到的A点纵坐标就是高的长度，直接代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 以线段BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，此时BC的中点为坐标原点O。
∵ BC=8，
∴ OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=4，因此B点坐标为$(-4,0)$，C点坐标为$(4,0)$。
∵ AB=AC=5，AO⊥BC，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
又
∵ 点A在y轴正半轴上，
∴ A点坐标为$(0,3)$。
（建系方式不唯一，对应坐标合理即可）
(2) 由(1)可知，$△ ABC$的底$BC=8$，BC边上的高为$OA=3$，代入三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × OA = \frac{1}{2} × 8 × 3=12$
【答案】
(1) 示例：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，$A(0,3)$，$B(-4,0)$，$C(4,0)$（答案不唯一）
(2) $12$
【知识点】
平面直角坐标系建立；等腰三角形性质；三角形面积公式
【点评】
本题考查几何图形与平面直角坐标系的结合应用，利用等腰三角形的轴对称性选择最优建系方式是简化计算的关键，同时要求熟练掌握勾股定理和三角形面积公式的基础应用，建系时优先将特殊点（如中点、顶点）放在坐标轴或原点上可降低计算难度。
【难度系数】
0.8
4. 提升题 如图,在以点 O 为原点的平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为$(a,0),(a,b)$,点 C 在 y 轴上,且 $BC// x$轴,$a,b$满足$|a-3|+\sqrt{b-4}=0$。点 P 从原点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿着 $OA→AB→BC→CO$ 的路线运动,回到点 O 时运动停止。
(1)直接写出点 A,B,C 的坐标。
(2)当点 P 运动 3 s 时,求出点 P 的坐标。
(3)点 P 运动 $t\ \mathrm{s}(t≠0)$后,是否存在点 P 到 x 轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。
(1)直接写出点 A,B,C 的坐标。
(2)当点 P 运动 3 s 时,求出点 P 的坐标。
(3)点 P 运动 $t\ \mathrm{s}(t≠0)$后,是否存在点 P 到 x 轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
(1)$A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$。
(2)当点P运动3 s时，点P运动了6个单位长度。
因为$AO=3$，$AB=4$，
所以点P运动3 s时，点P在线段AB上，
且$AP=3$，
所以点P的坐标是$(3,3)$。
(3)存在。点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。
(2)当点P运动3 s时，点P运动了6个单位长度。
因为$AO=3$，$AB=4$，
所以点P运动3 s时，点P在线段AB上，
且$AP=3$，
所以点P的坐标是$(3,3)$。
(3)存在。点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。
解析
【分析】
1. 求解第(1)问时，利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0则各自等于0，即可求出a、b的值，再结合BC平行于x轴、C在y轴上的特征推出C点坐标。
2. 求解第(2)问时，先计算出点P3秒运动的总路程，再对比OA、AB的长度判断点P所在的线段，进而计算对应坐标。
3. 求解第(3)问时，按点P在OA、AB、BC、CO四段运动的情况分类讨论，根据不同路段上点P到x轴距离的表达式列方程求解，舍去不符合取值范围的解，即可得到对应坐标。
【解析】
(1) 因为$\vert a-3\vert+\sqrt{b-4}=0$，且$\vert a-3\vert≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，所以$\vert a-3\vert=0$，$\sqrt{b-4}=0$，解得$a=3$，$b=4$。
因此$A(3,0)$，$B(3,4)$，又因为$BC// x$轴，点C在y轴上，所以C点纵坐标与B点相等，横坐标为0，即$C(0,4)$。
(2) 点P的运动速度为每秒2个单位长度，运动3s的总路程为$2×3=6$。
已知$OA=3$，$AB=4$，$OA+AB=7＞6$，说明点P在线段AB上。走OA段用时$3÷2=1.5\mathrm{s}$，则在AB段运动的路程为$2×(3-1.5)=3$，即P点纵坐标为3，横坐标与A、B一致为3，所以$P(3,3)$。
(3) 存在，分情况讨论：
① 当P在OA段（$0＜t≤1.5$）时，P在x轴上，到x轴距离为0，令$0=\frac{1}{2}t$得$t=0$，不符合$t≠0$，舍去；
② 当P在AB段（$1.5＜t≤3.5$）时，P到x轴的距离等于其纵坐标，即$2t-3$，令$2t-3=\frac{1}{2}t$，解得$t=2$，符合取值范围，此时P的纵坐标为$\frac{1}{2}×2=1$，坐标为$(3,1)$；
③ 当P在BC段（$3.5＜t≤5$）时，P到x轴的距离恒为4，令$4=\frac{1}{2}t$得$t=8$，不在取值范围内，舍去；
④ 当P在CO段（$5＜t≤7$）时，P到x轴的距离等于其纵坐标，即$4-(2t-10)=14-2t$，令$14-2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合取值范围，此时P的纵坐标为$\frac{1}{2}×\frac{28}{5}=\frac{14}{5}$，坐标为$(0,\frac{14}{5})$。
综上符合条件的点P坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。
【答案】
(1)$A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$
(2)$(3,3)$
(3)存在，点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$
【知识点】
非负数的性质，平面直角坐标系点坐标，动点分类讨论
【点评】
本题结合了代数非负数性质和平面直角坐标系动点问题，核心解题思路是分类讨论动点位置，根据不同位置的坐标特征列方程求解，同时要注意验证解是否符合对应路段的取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问时，利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0则各自等于0，即可求出a、b的值，再结合BC平行于x轴、C在y轴上的特征推出C点坐标。
2. 求解第(2)问时，先计算出点P3秒运动的总路程，再对比OA、AB的长度判断点P所在的线段，进而计算对应坐标。
3. 求解第(3)问时，按点P在OA、AB、BC、CO四段运动的情况分类讨论，根据不同路段上点P到x轴距离的表达式列方程求解，舍去不符合取值范围的解，即可得到对应坐标。
【解析】
(1) 因为$\vert a-3\vert+\sqrt{b-4}=0$，且$\vert a-3\vert≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，所以$\vert a-3\vert=0$，$\sqrt{b-4}=0$，解得$a=3$，$b=4$。
因此$A(3,0)$，$B(3,4)$，又因为$BC// x$轴，点C在y轴上，所以C点纵坐标与B点相等，横坐标为0，即$C(0,4)$。
(2) 点P的运动速度为每秒2个单位长度，运动3s的总路程为$2×3=6$。
已知$OA=3$，$AB=4$，$OA+AB=7＞6$，说明点P在线段AB上。走OA段用时$3÷2=1.5\mathrm{s}$，则在AB段运动的路程为$2×(3-1.5)=3$，即P点纵坐标为3，横坐标与A、B一致为3，所以$P(3,3)$。
(3) 存在，分情况讨论：
① 当P在OA段（$0＜t≤1.5$）时，P在x轴上，到x轴距离为0，令$0=\frac{1}{2}t$得$t=0$，不符合$t≠0$，舍去；
② 当P在AB段（$1.5＜t≤3.5$）时，P到x轴的距离等于其纵坐标，即$2t-3$，令$2t-3=\frac{1}{2}t$，解得$t=2$，符合取值范围，此时P的纵坐标为$\frac{1}{2}×2=1$，坐标为$(3,1)$；
③ 当P在BC段（$3.5＜t≤5$）时，P到x轴的距离恒为4，令$4=\frac{1}{2}t$得$t=8$，不在取值范围内，舍去；
④ 当P在CO段（$5＜t≤7$）时，P到x轴的距离等于其纵坐标，即$4-(2t-10)=14-2t$，令$14-2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合取值范围，此时P的纵坐标为$\frac{1}{2}×\frac{28}{5}=\frac{14}{5}$，坐标为$(0,\frac{14}{5})$。
综上符合条件的点P坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$。
【答案】
(1)$A(3,0)$，$B(3,4)$，$C(0,4)$
(2)$(3,3)$
(3)存在，点P的坐标为$(3,1)$或$(0,\frac{14}{5})$
【知识点】
非负数的性质，平面直角坐标系点坐标，动点分类讨论
【点评】
本题结合了代数非负数性质和平面直角坐标系动点问题，核心解题思路是分类讨论动点位置，根据不同位置的坐标特征列方程求解，同时要注意验证解是否符合对应路段的取值范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
