2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(1,4),B(2,1),C(4,2).
（1）作出与△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁.
（2）作出△A₁B₁C₁向右平移6个单位长度得到的△A₂B₂C₂.
（3）△ABC内一点P(m,n)经过第(1)问和第(2)问的两次变换,对应的点P₂的坐标是.

(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)$(-m+6,-n)$

【分析】
解决这道题我们按以下思路分步推导：
1. 第(1)问：利用关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均为原坐标的相反数，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
2. 第(2)问：图形向右平移6个单位时，所有点的横坐标加6、纵坐标不变，据此求出△A₁B₁C₁三个顶点平移后的坐标，顺次连接得到△A₂B₂C₂。
3. 第(3)问：按照变换顺序逐步推导点P的坐标变化，先应用原点对称的坐标变换规律，再应用平移的坐标变换规律，即可得到最终对应点P₂的坐标。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得$A(1,4)$的对称点$A_1(-1,-4)$，$B(2,1)$的对称点$B_1(-2,-1)$，$C(4,2)$的对称点$C_1(-4,-2)$，在坐标系中描出三点并顺次连接，得到△$A_1B_1C_1$。
(2) 根据平移规律：点向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，可得$A_1(-1,-4)$平移后为$A_2(5,-4)$，$B_1(-2,-1)$平移后为$B_2(4,-1)$，$C_1(-4,-2)$平移后为$C_2(2,-2)$，描点后顺次连接得到△$A_2B_2C_2$。
(3) 首先将点$P(m,n)$做关于原点对称变换，得到的对应点坐标为$(-m,-n)$；再将该点向右平移6个单位，横坐标加6、纵坐标不变，最终得到点$P_2$的坐标为$(-m+6,-n)$。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)$(-m+6,-n)$

【知识点】
关于原点对称的点的坐标；坐标与图形平移变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的对称和平移变换，解题关键是熟练掌握两种变换对应的坐标变化规律，作图时需注意描点准确、连线规范。
【难度系数】
0.8

1. 在平面直角坐标系中，与点$P(-2,1)$关于原点对称的点$P_1$的坐标是 （）

A.$(-1,-2)$
B.$(1,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$

C

【分析】
拿到这道题首先明确考查的是关于原点对称的点的坐标性质，接下来回忆对应规律：平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们只需要将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对称点$P_1$的坐标，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。
已知点$P(-2,1)$，
横坐标$-2$的相反数为$2$，纵坐标$1$的相反数为$-1$，
因此点$P$关于原点对称的点$P_1$的坐标是$(2,-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，主要考查对原点对称点坐标规律的识记和简单应用，牢记对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 在平面直角坐标系中，与点$M(3,-4)$关于原点对称的点为$N$，连接$MN$，则线段$MN$的长是（）

A.6
B.8
C.10
D.12

C

【分析】
解题思路可分为两步：首先回忆关于原点对称的点的坐标规律，求出点N的坐标；其次利用两点间距离公式（或结合对称性质，利用勾股定理计算OM长度再翻倍）求出线段MN的长度。思考时要注意：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，且原点是对称点连线的中点，因此MN长度等于点M到原点距离的2倍，也可以简化计算。
【解析】
步骤1：求点N的坐标
关于原点对称的点的坐标特征为：横、纵坐标均互为相反数。
已知点$M(3,-4)$，则其关于原点对称的点N的坐标为$(-3,4)$。
步骤2：计算线段MN的长度
方法一：用两点间距离公式。若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
代入$M(3,-4)$和$N(-3,4)$得：
$MN=\sqrt{[3-(-3)]^2+(-4-4)^2}=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
方法二：利用对称性质简化计算。
先求点M到原点的距离：由勾股定理得$OM=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
因为点M、N关于原点对称，所以原点是MN的中点，$ON=OM=5$，因此$MN=OM+ON=5+5=10$。
【答案】
C
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 两点间距离公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查平面直角坐标系中原点对称的坐标性质，以及距离计算的相关方法，掌握基本性质即可快速解答，利用对称性质转化为求点到原点的距离可简化运算过程。
【难度系数】
0.8

3.若点A(a,－5)和点B(4,b)关于原点对称,则点P(a,b)在第象限.

二

【分析】
首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质先求出a、b的值，再根据平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点P(a,b)所在的象限。
【解析】
∵ 关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
点A(a,－5)和点B(4,b)关于原点对称，
∴ a = -4，b = -(-5) = 5，
∴ 点P的坐标为(-4,5)。
∵ 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，(-4,5)符合该特征，
∴ 点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，掌握原点对称的坐标变化规律，结合象限的坐标符号特点即可快速求解，考查对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.9

4.若一元二次方程$x^2 - x - 12 = 0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则与点$(m,n)$关于原点对称的点的坐标是.

$(-1,12)$

【分析】
解题思路分为两步：第一步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和m、两根之积n，得到点(m,n)的坐标；第二步根据关于原点对称的点的坐标特征，计算出对称点的坐标。计算时要注意韦达定理中两根之和的公式是$-\frac{b}{a}$，避免符号出错，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，两个坐标都要变号。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 12 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-12$。
根据根与系数的关系：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-12}{1}=-12$，
因此点$(m,n)$的坐标为$(1,-12)$。
根据关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，
所以点$(1,-12)$关于原点对称的点的坐标为$(-1,12)$。
【答案】
$(-1,12)$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质与平面直角坐标系中点的对称性质结合考查，只要熟练掌握两个基础知识点，注意符号计算即可得分。
【难度系数】
0.8

5. 在平面直角坐标系中，$Q(2,-3),M(-1,2)$.若$PQ// x$轴，$PM// y$轴，则与点$P$关于原点对称的点的坐标是.

$(1,3)$

【分析】
解题时首先明确两个核心规律：①平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等；②关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数。首先根据平行于坐标轴的点的坐标特征求出点P的坐标，再根据原点对称的坐标规律计算对称点坐标即可。
【解析】
1. 求点P的坐标：

∵ PQ//x轴，Q点坐标为(2,-3)，平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，

∴ 点P的纵坐标$y_P = -3$；

∵ PM//y轴，M点坐标为(-1,2)，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，

∴ 点P的横坐标$x_P = -1$；
即点P的坐标为$(-1,-3)$。
2. 求点P关于原点对称的点的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，
因此点$(-1,-3)$关于原点对称的点的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-(-3)=3$，即坐标为$(1,3)$。
【答案】
$(1,3)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，解题的关键是先根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特点确定点P的坐标，再代入原点对称的坐标规律计算即可，注意不要混淆各类对称的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8

6.如图,已知点$A(-3,\sqrt{3}),B(-1,-\sqrt{3})$,菱形ABCD的对角线相交于原点.
(1)求C,D两点的坐标.
(2)求菱形ABCD的面积.

(1)
∵菱形ABCD的对角线相交于原点，
∴点$A(-3,\sqrt{3})$与点C关于原点对称，点$B(-1,-\sqrt{3})$与点D关于原点对称.
∴点C的坐标为$(3,-\sqrt{3})$,点D的坐标为$(1,\sqrt{3})$.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=2AO· OD$.
∵$A(-3,\sqrt{3}),D(1,\sqrt{3})$,
∴$AO=\sqrt{(-3-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=2\sqrt{3}$,$OD=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=2$.
∴$S_{菱形ABCD}=2AO· OD=2×2\sqrt{3}×2=8\sqrt{3}$.

【分析】
（1）求解C、D坐标：首先结合菱形的性质，菱形对角线互相平分，已知对角线交于原点，因此点A与点C、点B与点D均关于原点对称；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可直接写出C、D的坐标。
（2）求解菱形面积：首先回忆菱形面积公式，菱形面积等于对角线乘积的一半；由于对角线被原点平分，因此可先计算点A到原点的距离AO、点D到原点的距离OD，进而得到两条对角线AC=2AO、BD=2OD，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1)
∵菱形ABCD的对角线相交于原点，
∴点$A(-3,\sqrt{3})$与点C关于原点对称，点$B(-1,-\sqrt{3})$与点D关于原点对称，
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，
∴点C的坐标为$(3,-\sqrt{3})$，点D的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，菱形面积等于对角线乘积的一半，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD$，
又
∵原点平分对角线，
∴$AC=2AO$，$BD=2OD$，即$S_{菱形ABCD}=2AO· OD$，
根据两点间距离公式，$AO=\sqrt{(-3-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$，
$OD=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+3}=2$，
代入得$S_{菱形ABCD}=2×2\sqrt{3}×2=8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $C(3,-\sqrt{3})$，$D(1,\sqrt{3})$
(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；菱形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系与菱形性质的结合应用，解题的核心是利用菱形对角线互相平分的性质得到顶点关于原点对称的关系，再结合对应的坐标规律和面积公式求解，计算时注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.7