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基础知识·预习
问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释平方差公式。
问题2 请你说一说平方差公式的结构特征。
问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释平方差公式。
问题2 请你说一说平方差公式的结构特征。
答案
解：
1. 平方差公式的几何面积解释：
取边长为$a$的正方形，从它的一个角上裁去一个边长为$b$（$a＞b＞0$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。
将剩余部分沿裁剪线剪开，重新拼接为长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
由于拼接前后图形的总面积不变，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，通过面积相等关系验证平方差公式。
2. 平方差公式的结构特征：
① 公式左边是两个二项式的乘积，两个二项式中有一项完全相同，剩余的另一项互为相反数；
② 公式右边是两项的平方差，等于左边两个因式中相同项的平方减去互为相反数的那项的平方；
③ 公式中的字母$a$、$b$可以代表任意具体数，也可以代表单项式、多项式等代数式。
1. 平方差公式的几何面积解释：
取边长为$a$的正方形，从它的一个角上裁去一个边长为$b$（$a＞b＞0$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。
将剩余部分沿裁剪线剪开，重新拼接为长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
由于拼接前后图形的总面积不变，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，通过面积相等关系验证平方差公式。
2. 平方差公式的结构特征：
① 公式左边是两个二项式的乘积，两个二项式中有一项完全相同，剩余的另一项互为相反数；
② 公式右边是两项的平方差，等于左边两个因式中相同项的平方减去互为相反数的那项的平方；
③ 公式中的字母$a$、$b$可以代表任意具体数，也可以代表单项式、多项式等代数式。
解析
【分析】
解决问题1可采用等积变换的思路：先构造边长为a的大正方形裁剪去边长为b的小正方形的模型，计算剩余部分面积，再将剩余部分剪拼为长方形，计算长方形面积，利用拼接前后面积相等的原理即可建立等式解释平方差公式。解决问题2可从三方面梳理：先观察公式左侧两个二项式的项的共性与差异，再分析右侧运算结果的形式，最后明确公式中字母可代表的代数式类型即可。
【解析】
1. 平方差公式的几何面积解释：
取边长为$a$的正方形，从它的一个角上裁去一个边长为$b$（$a＞b＞0$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。
将剩余部分沿裁剪线剪开，重新拼接为长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
由于拼接前后图形的总面积不变，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，通过面积相等关系验证平方差公式。
2. 平方差公式的结构特征：
① 公式左边是两个二项式的乘积，两个二项式中有一项完全相同，剩余的另一项互为相反数；
② 公式右边是两项的平方差，等于左边两个因式中相同项的平方减去互为相反数的那项的平方；
③ 公式中的字母$a$、$b$可以代表任意具体数，也可以代表单项式、多项式等代数式。
【答案】
1. 取边长为$a$的正方形，从它的一个角上裁去一个边长为$b$（$a＞b＞0$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。将剩余部分沿裁剪线剪开，重新拼接为长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。由于拼接前后图形的总面积不变，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
2. ① 公式左边是两个二项式的乘积，两个二项式中有一项完全相同，剩余的另一项互为相反数；② 公式右边是两项的平方差，等于左边两个因式中相同项的平方减去互为相反数的那项的平方；③ 公式中的字母$a$、$b$可以代表任意具体数，也可以代表单项式、多项式等代数式。
【知识点】
平方差公式；等积变换；代数式结构特征
【点评】
本题从几何直观和代数结构两个维度考查平方差公式的基础认知，既要求学生理解公式的推导原理，也要求学生掌握公式的结构特点，为后续运用公式进行简便运算、因式分解等内容打下核心基础。
【难度系数】
0.8
解决问题1可采用等积变换的思路：先构造边长为a的大正方形裁剪去边长为b的小正方形的模型，计算剩余部分面积，再将剩余部分剪拼为长方形，计算长方形面积，利用拼接前后面积相等的原理即可建立等式解释平方差公式。解决问题2可从三方面梳理：先观察公式左侧两个二项式的项的共性与差异，再分析右侧运算结果的形式，最后明确公式中字母可代表的代数式类型即可。
【解析】
1. 平方差公式的几何面积解释：
取边长为$a$的正方形，从它的一个角上裁去一个边长为$b$（$a＞b＞0$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。
将剩余部分沿裁剪线剪开，重新拼接为长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。
由于拼接前后图形的总面积不变，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，通过面积相等关系验证平方差公式。
2. 平方差公式的结构特征：
① 公式左边是两个二项式的乘积，两个二项式中有一项完全相同，剩余的另一项互为相反数；
② 公式右边是两项的平方差，等于左边两个因式中相同项的平方减去互为相反数的那项的平方；
③ 公式中的字母$a$、$b$可以代表任意具体数，也可以代表单项式、多项式等代数式。
【答案】
1. 取边长为$a$的正方形，从它的一个角上裁去一个边长为$b$（$a＞b＞0$）的小正方形，剩余部分的面积为$a^2 - b^2$。将剩余部分沿裁剪线剪开，重新拼接为长为$a+b$、宽为$a-b$的长方形，该长方形的面积为$(a+b)(a-b)$。由于拼接前后图形的总面积不变，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
2. ① 公式左边是两个二项式的乘积，两个二项式中有一项完全相同，剩余的另一项互为相反数；② 公式右边是两项的平方差，等于左边两个因式中相同项的平方减去互为相反数的那项的平方；③ 公式中的字母$a$、$b$可以代表任意具体数，也可以代表单项式、多项式等代数式。
【知识点】
平方差公式；等积变换；代数式结构特征
【点评】
本题从几何直观和代数结构两个维度考查平方差公式的基础认知，既要求学生理解公式的推导原理，也要求学生掌握公式的结构特点，为后续运用公式进行简便运算、因式分解等内容打下核心基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】计算：
(1)$(x+1)(x-1)$；
(2)$(2a-b)(b+2a)$；
(3)$(-2a-3b)(2a-3b)$；
(4)$(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})(m^2+\dfrac{1}{4})$.
思路导引 运用平方差公式计算时，一定要分清谁是公式中的$a$，谁是$b$，不要受字母位置顺序因素干扰.
【解】(1)原式$=x^2-1^2=x^2-1$.
(2)原式$=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2$.
(3)原式$=(-3b)^2-(2a)^2=9b^2-4a^2$.
(4)原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2-\dfrac{1}{4})(m^2+\dfrac{1}{4})=m^4-\dfrac{1}{16}$.
规律方法 平方差公式的常见变形
(1)位置变化：$(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；
(2)符号变化：$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2-b^2=a^2-b^2$；
(3)系数变化：$(2a+3b)(2a-3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$；
(4)指数变化：$(a^3+b^2)(a^3-b^2)=(a^3)^2-(b^2)^2=a^6-b^4$；
(5)项数变化：$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2$.
(1)$(x+1)(x-1)$；
(2)$(2a-b)(b+2a)$；
(3)$(-2a-3b)(2a-3b)$；
(4)$(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})(m^2+\dfrac{1}{4})$.
思路导引 运用平方差公式计算时，一定要分清谁是公式中的$a$，谁是$b$，不要受字母位置顺序因素干扰.
【解】(1)原式$=x^2-1^2=x^2-1$.
(2)原式$=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2$.
(3)原式$=(-3b)^2-(2a)^2=9b^2-4a^2$.
(4)原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2-\dfrac{1}{4})(m^2+\dfrac{1}{4})=m^4-\dfrac{1}{16}$.
规律方法 平方差公式的常见变形
(1)位置变化：$(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；
(2)符号变化：$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2-b^2=a^2-b^2$；
(3)系数变化：$(2a+3b)(2a-3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$；
(4)指数变化：$(a^3+b^2)(a^3-b^2)=(a^3)^2-(b^2)^2=a^6-b^4$；
(5)项数变化：$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2$.
答案
解：
(1) 原式$=x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
(2) 原式$=(2a - b)(2a + b)=(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
(3) 原式$=(-3b - 2a)(-3b + 2a)=(-3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
(4) 原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2 - \dfrac{1}{4})(m^2 + \dfrac{1}{4})$
$=(m^2)^2 - (\dfrac{1}{4})^2$
$=m^4 - \dfrac{1}{16}$
(1) 原式$=x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
(2) 原式$=(2a - b)(2a + b)=(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
(3) 原式$=(-3b - 2a)(-3b + 2a)=(-3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
(4) 原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2 - \dfrac{1}{4})(m^2 + \dfrac{1}{4})$
$=(m^2)^2 - (\dfrac{1}{4})^2$
$=m^4 - \dfrac{1}{16}$
解析
【分析】
这组题目均考查平方差公式的应用，解题核心是先识别两个相乘的多项式中，完全相同的项即为公式中的$a$，互为相反数的项即为公式中的$b$，再套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可。对于多个多项式相乘的题目，先将能套用平方差公式的部分优先计算，再逐步化简：
(1)式中相同项是$x$，相反项是$1$和$-1$；(2)式调整顺序后相同项是$2a$，相反项是$-b$和$b$；(3)式调整顺序后相同项是$-3b$，相反项是$-2a$和$2a$；(4)式先计算前两个多项式的乘积，得到的结果再和第三个多项式组合，二次套用平方差公式即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
(2) 原式$=(2a - b)(2a + b)=(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
(3) 原式$=(-3b - 2a)(-3b + 2a)=(-3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
(4) 原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2 - \dfrac{1}{4})(m^2 + \dfrac{1}{4})$
$=(m^2)^2 - (\dfrac{1}{4})^2$
$=m^4 - \dfrac{1}{16}$
【答案】
(1)$x^2-1$；(2)$4a^2-b^2$；(3)$9b^2-4a^2$；(4)$m^4-\dfrac{1}{16}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，通过不同形式的变形，帮助学生掌握分辨公式中$a$、$b$的方法，不受项的位置、符号影响，多次运用公式时要注意运算顺序，逐步化简可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这组题目均考查平方差公式的应用，解题核心是先识别两个相乘的多项式中，完全相同的项即为公式中的$a$，互为相反数的项即为公式中的$b$，再套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可。对于多个多项式相乘的题目，先将能套用平方差公式的部分优先计算，再逐步化简：
(1)式中相同项是$x$，相反项是$1$和$-1$；(2)式调整顺序后相同项是$2a$，相反项是$-b$和$b$；(3)式调整顺序后相同项是$-3b$，相反项是$-2a$和$2a$；(4)式先计算前两个多项式的乘积，得到的结果再和第三个多项式组合，二次套用平方差公式即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
(2) 原式$=(2a - b)(2a + b)=(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$
(3) 原式$=(-3b - 2a)(-3b + 2a)=(-3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
(4) 原式$=[(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{2})](m^2+\dfrac{1}{4})$
$=(m^2 - \dfrac{1}{4})(m^2 + \dfrac{1}{4})$
$=(m^2)^2 - (\dfrac{1}{4})^2$
$=m^4 - \dfrac{1}{16}$
【答案】
(1)$x^2-1$；(2)$4a^2-b^2$；(3)$9b^2-4a^2$；(4)$m^4-\dfrac{1}{16}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，通过不同形式的变形，帮助学生掌握分辨公式中$a$、$b$的方法，不受项的位置、符号影响，多次运用公式时要注意运算顺序，逐步化简可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
