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母题:(教材P94例1原题呈现)如图,一块铁皮呈锐角三角形,它的边BC=80 cm,高AD=60 cm.要把该铁皮加工成矩形零件,使矩形的两边之比为2:1,且矩形长的一边位于边BC上,另两个顶点分别在边AB,AC上.求这个矩形零件的边长.
答案
解:设AD与PQ交于点E.设PS=x cm,则PQ=2x cm.
∵PQ//BC,
∴△APQ∽△ABC.
∴PQ/BC=AE/AD,即2x/80=(60-x)/60,解得x=24.
∴2x=48. 答:这个矩形零件的边长分别为48 cm和24 cm.
∵PQ//BC,
∴△APQ∽△ABC.
∴PQ/BC=AE/AD,即2x/80=(60-x)/60,解得x=24.
∴2x=48. 答:这个矩形零件的边长分别为48 cm和24 cm.
解析
【分析】
已知矩形的长在BC上，可得PQ平行于BC，由此可推出△APQ与△ABC相似；根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，这是建立方程的核心依据。我们可结合矩形邻边2:1的比例关系设未知数，将相似比、对应高的比用含未知数的式子表示，建立方程求解即可得到矩形的边长。
【解析】
设AD与PQ交于点E，设矩形较短边PS=x cm，则较长边PQ=2x cm。
∵四边形PQRS是矩形，
∴PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC。
∵AD是△ABC的高，AE是△APQ的高，
∴相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{PQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$。
其中AE=AD-PS=60-x，代入数据得：$\frac{2x}{80}=\frac{60-x}{60}$，
交叉相乘得：$120x=80×(60-x)$，
整理得：$200x=4800$，
解得$x=24$，则$2x=48$。
【答案】
这个矩形零件的边长分别为48 cm和24 cm。
【知识点】
1. 相似三角形判定
2. 相似三角形性质
3. 方程思想应用
【点评】
本题是三角形内接四边形的典型基础题，解题关键是由平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，通过列方程求解未知边长，该模型是相似三角形实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
已知矩形的长在BC上，可得PQ平行于BC，由此可推出△APQ与△ABC相似；根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，这是建立方程的核心依据。我们可结合矩形邻边2:1的比例关系设未知数，将相似比、对应高的比用含未知数的式子表示，建立方程求解即可得到矩形的边长。
【解析】
设AD与PQ交于点E，设矩形较短边PS=x cm，则较长边PQ=2x cm。
∵四边形PQRS是矩形，
∴PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC。
∵AD是△ABC的高，AE是△APQ的高，
∴相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{PQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$。
其中AE=AD-PS=60-x，代入数据得：$\frac{2x}{80}=\frac{60-x}{60}$，
交叉相乘得：$120x=80×(60-x)$，
整理得：$200x=4800$，
解得$x=24$，则$2x=48$。
【答案】
这个矩形零件的边长分别为48 cm和24 cm。
【知识点】
1. 相似三角形判定
2. 相似三角形性质
3. 方程思想应用
【点评】
本题是三角形内接四边形的典型基础题，解题关键是由平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，通过列方程求解未知边长，该模型是相似三角形实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
【变式题1】内在条件改变:内接矩形→正方形
如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm.把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是 mm.
（变式题1图）
（变式题2图）
如图,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm.把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是 mm.
（变式题1图）
（变式题2图）
答案
解：设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{mm}$。
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$。
∵ $AD$是$△ ABC$的高，$AD⊥ BC$，
∴ $AD⊥ EF$，即$△ AEF$的对应高为$(80 - x)\ \mathrm{mm}$。
由相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{80 - x}{AD}$
将$EF=x$，$BC=120$，$AD=80$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$
交叉相乘得：
$80x = 120(80 - x)$
整理得：
$200x = 9600$
解得$x=48$。
答：这个正方形零件的边长是$\boldsymbol{48}$ mm。
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$。
∵ $AD$是$△ ABC$的高，$AD⊥ BC$，
∴ $AD⊥ EF$，即$△ AEF$的对应高为$(80 - x)\ \mathrm{mm}$。
由相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{80 - x}{AD}$
将$EF=x$，$BC=120$，$AD=80$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$
交叉相乘得：
$80x = 120(80 - x)$
整理得：
$200x = 9600$
解得$x=48$。
答：这个正方形零件的边长是$\boldsymbol{48}$ mm。
解析
【分析】
题目要求求解锐角三角形内接正方形的边长，首先观察到正方形有一组对边平行于BC，可推出正方形上方截得的小三角形与原三角形ABC相似。根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，我们设正方形边长为x，用原三角形的高减去正方形边长表示出小三角形的高，列出比例方程求解即可得到正方形边长。
【解析】
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{mm}$。
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$。
∵ $AD$是$△ ABC$的高，$AD⊥ BC$，
∴ $AD⊥ EF$，即$△ AEF$的对应高为$(80 - x)\ \mathrm{mm}$。
由相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{80 - x}{AD}$
将$EF=x$，$BC=120$，$AD=80$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$
交叉相乘得：
$80x = 120(80 - x)$
整理得：
$200x = 9600$
解得$x=48$。
【答案】
48
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形实际应用的常见题型，解题的核心是利用平行线得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，掌握相似三角形的性质是解决这类内接图形问题的关键。
【难度系数】
0.7
题目要求求解锐角三角形内接正方形的边长，首先观察到正方形有一组对边平行于BC，可推出正方形上方截得的小三角形与原三角形ABC相似。根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，我们设正方形边长为x，用原三角形的高减去正方形边长表示出小三角形的高，列出比例方程求解即可得到正方形边长。
【解析】
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{mm}$。
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $EF// BC$，
∴ $△ AEF ∽ △ ABC$。
∵ $AD$是$△ ABC$的高，$AD⊥ BC$，
∴ $AD⊥ EF$，即$△ AEF$的对应高为$(80 - x)\ \mathrm{mm}$。
由相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{80 - x}{AD}$
将$EF=x$，$BC=120$，$AD=80$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80 - x}{80}$
交叉相乘得：
$80x = 120(80 - x)$
整理得：
$200x = 9600$
解得$x=48$。
【答案】
48
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形实际应用的常见题型，解题的核心是利用平行线得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，掌握相似三角形的性质是解决这类内接图形问题的关键。
【难度系数】
0.7
【变式题2】条件弱化，求矩形的最大面积
如图，$△ ABC$是一块锐角三角形材料，$BC=200\ \mathrm{mm}$，高$AD=150\ \mathrm{mm}$.要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上.
(1)设$PN=x\ \mathrm{mm}$，矩形$PQMN$的面积为$S\ \mathrm{mm}^2$，则$S$关于$x$的函数表达式为
(2)当$x$为
如图，$△ ABC$是一块锐角三角形材料，$BC=200\ \mathrm{mm}$，高$AD=150\ \mathrm{mm}$.要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上.
(1)设$PN=x\ \mathrm{mm}$，矩形$PQMN$的面积为$S\ \mathrm{mm}^2$，则$S$关于$x$的函数表达式为
$S=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$
，$x$的取值范围为$0＜x＜200$
；(2)当$x$为
$100$
时，矩形$PQMN$的面积最大，最大面积是$7\ 500$
$\mathrm{mm}^2$.答案
(1)$S=-\dfrac{3}{4}x^2+150x\ \ 0＜x＜200$
(2)100 7 500
(2)100 7 500
解析
【分析】
本题是三角形内接矩形的面积最值问题，解题思路如下：
1. 求函数表达式：首先观察到矩形的上边PN平行于BC，可得△APN与△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比，用x表示出矩形的另一边长，再根据矩形面积公式即可得到S与x的函数关系式，结合x的实际意义确定取值范围；
2. 求面积最大值：得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，开口向下，利用二次函数顶点处取最值的性质，代入计算即可得到最大面积及对应的x值。
【解析】
(1) 设矩形的边$PQ=y\ \mathrm{mm}$，设AD交PN于点E。
∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ $PN// BC$，$ED=PQ=y$，
∴ $△ APN ∽ △ ABC$，
又
∵ AD是$△ ABC$的高，
∴ AE是$△ APN$的高，$AE=AD-ED=150-y$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$，即$\dfrac{x}{200}=\dfrac{150-y}{150}$，
整理得：$y=150-\dfrac{3}{4}x$。
矩形面积$S=PN· PQ=x(150-\dfrac{3}{4}x)=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$。
∵ x是矩形的边长，
∴ $0＜x＜200$。
(2) 对于二次函数$S=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$，其中$a=-\dfrac{3}{4}＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{150}{2×(-\dfrac{3}{4})}=100$时，S取得最大值，
将$x=100$代入函数得：$S_{\mathrm{max}}=-\dfrac{3}{4}×100^2+150×100=7500$。
【答案】
(1)$S=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$；$0＜x＜200$
(2)$100$；$7500$
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题核心是利用相似三角形的性质建立边长之间的关系，再构建二次函数模型求解最值，熟练掌握相似三角形性质和二次函数最值求法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内接矩形的面积最值问题，解题思路如下：
1. 求函数表达式：首先观察到矩形的上边PN平行于BC，可得△APN与△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于相似比，用x表示出矩形的另一边长，再根据矩形面积公式即可得到S与x的函数关系式，结合x的实际意义确定取值范围；
2. 求面积最大值：得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，开口向下，利用二次函数顶点处取最值的性质，代入计算即可得到最大面积及对应的x值。
【解析】
(1) 设矩形的边$PQ=y\ \mathrm{mm}$，设AD交PN于点E。
∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ $PN// BC$，$ED=PQ=y$，
∴ $△ APN ∽ △ ABC$，
又
∵ AD是$△ ABC$的高，
∴ AE是$△ APN$的高，$AE=AD-ED=150-y$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$，即$\dfrac{x}{200}=\dfrac{150-y}{150}$，
整理得：$y=150-\dfrac{3}{4}x$。
矩形面积$S=PN· PQ=x(150-\dfrac{3}{4}x)=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$。
∵ x是矩形的边长，
∴ $0＜x＜200$。
(2) 对于二次函数$S=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$，其中$a=-\dfrac{3}{4}＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{150}{2×(-\dfrac{3}{4})}=100$时，S取得最大值，
将$x=100$代入函数得：$S_{\mathrm{max}}=-\dfrac{3}{4}×100^2+150×100=7500$。
【答案】
(1)$S=-\dfrac{3}{4}x^2+150x$；$0＜x＜200$
(2)$100$；$7500$
【知识点】
相似三角形的性质；二次函数的最值；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题核心是利用相似三角形的性质建立边长之间的关系，再构建二次函数模型求解最值，熟练掌握相似三角形性质和二次函数最值求法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
【变式题3】本质不变，背景改变：$△ ABC$为锐角三角形→直角三角形
一块直角三角形木板$ABC$的直角边$BC$的长为1.5 m，$AB$的长为2 m. 要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法分别如图①，图②所示. 请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法符合要求.（加工损耗忽略不计）
一块直角三角形木板$ABC$的直角边$BC$的长为1.5 m，$AB$的长为2 m. 要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法分别如图①，图②所示. 请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法符合要求.（加工损耗忽略不计）
答案
解:设图①中的正方形的边长为$x$ m,则$DE=BD=x$ m,$CD=(1.5-x)$ m. $\because DE// AB,\therefore △ CDE∽△ CBA. \therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}$,即$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1.5-x}{1.5}$,解得$x=\dfrac{6}{7}$. 如图②,过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$,交$DE$于点$N$. 由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2.5$ m. $\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BM· AC=\dfrac{1}{2}BC· AB,\therefore BM=\dfrac{AB· BC}{AC}=1.2$ m. 设图②中的正方形的边长为$y$ m,则$DE=DG=y$ m. 易得四边形$DGMN$为矩形,$\therefore MN=DG=y$ m. $\therefore BN=BM-MN=(1.2-y)$ m. $\because DE// AC,\therefore △ BDE∽△ BCA. \therefore \dfrac{BN}{BM}=\dfrac{DE}{AC}$,即$\dfrac{1.2-y}{1.2}=\dfrac{y}{2.5}$,解得$y=\dfrac{30}{37}. \because \dfrac{6}{7}＞\dfrac{30}{37},\therefore$图①中的正方形的面积更大. $\therefore$甲同学的加工方法符合要求.
解析
【分析】
要判断哪种加工方法符合要求，本质是比较两种加工方案得到的正方形面积大小，正方形面积由边长决定，因此只需分别求出两个正方形的边长再比较大小即可。对于图①，由$DE// AB$可推出$△ CDE∽△ CBA$，根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解边长$x$；对于图②，先通过勾股定理求出斜边$AC$的长度，再用等面积法求出斜边上的高$BM$，接着由$DE// AC$推出$△ BDE∽△ BCA$，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解边长$y$，最后比较$x$和$y$的大小，边长更大的正方形面积更大，对应的加工方法符合要求。
【解析】
解：设图①中的正方形的边长为$x$ m，则$DE=BD=x$ m，$CD=(1.5-x)$ m。
$\because DE// AB$，$\therefore △ CDE∽△ CBA$。
$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}$，即$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1.5-x}{1.5}$，解得$x=\dfrac{6}{7}$。
如图②，过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$，交$DE$于点$N$。
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5$ m。
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BM· AC=\dfrac{1}{2}BC· AB$，$\therefore BM=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{2×1.5}{2.5}=1.2$ m。
设图②中的正方形的边长为$y$ m，则$DE=DG=y$ m。
易得四边形$DGMN$为矩形，$\therefore MN=DG=y$ m，$\therefore BN=BM-MN=(1.2-y)$ m。
$\because DE// AC$，$\therefore △ BDE∽△ BCA$。
$\therefore \dfrac{BN}{BM}=\dfrac{DE}{AC}$，即$\dfrac{1.2-y}{1.2}=\dfrac{y}{2.5}$，解得$y=\dfrac{30}{37}$。
$\because \dfrac{6}{7}=\dfrac{222}{259}$，$\dfrac{30}{37}=\dfrac{210}{259}$，$\therefore \dfrac{6}{7}＞\dfrac{30}{37}$，即图①中的正方形的面积更大。
【答案】
甲同学的加工方法符合要求。
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题结合实际加工场景考查几何知识的应用，解题核心是利用相似三角形的性质建立方程求解正方形边长，需要熟练掌握相似三角形相似比与对应边、对应高的关系，同时要掌握用等面积法求直角三角形斜边上高的方法，能有效锻炼将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
要判断哪种加工方法符合要求，本质是比较两种加工方案得到的正方形面积大小，正方形面积由边长决定，因此只需分别求出两个正方形的边长再比较大小即可。对于图①，由$DE// AB$可推出$△ CDE∽△ CBA$，根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解边长$x$；对于图②，先通过勾股定理求出斜边$AC$的长度，再用等面积法求出斜边上的高$BM$，接着由$DE// AC$推出$△ BDE∽△ BCA$，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解边长$y$，最后比较$x$和$y$的大小，边长更大的正方形面积更大，对应的加工方法符合要求。
【解析】
解：设图①中的正方形的边长为$x$ m，则$DE=BD=x$ m，$CD=(1.5-x)$ m。
$\because DE// AB$，$\therefore △ CDE∽△ CBA$。
$\therefore \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}$，即$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1.5-x}{1.5}$，解得$x=\dfrac{6}{7}$。
如图②，过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$，交$DE$于点$N$。
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5$ m。
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BM· AC=\dfrac{1}{2}BC· AB$，$\therefore BM=\dfrac{AB· BC}{AC}=\dfrac{2×1.5}{2.5}=1.2$ m。
设图②中的正方形的边长为$y$ m，则$DE=DG=y$ m。
易得四边形$DGMN$为矩形，$\therefore MN=DG=y$ m，$\therefore BN=BM-MN=(1.2-y)$ m。
$\because DE// AC$，$\therefore △ BDE∽△ BCA$。
$\therefore \dfrac{BN}{BM}=\dfrac{DE}{AC}$，即$\dfrac{1.2-y}{1.2}=\dfrac{y}{2.5}$，解得$y=\dfrac{30}{37}$。
$\because \dfrac{6}{7}=\dfrac{222}{259}$，$\dfrac{30}{37}=\dfrac{210}{259}$，$\therefore \dfrac{6}{7}＞\dfrac{30}{37}$，即图①中的正方形的面积更大。
【答案】
甲同学的加工方法符合要求。
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题结合实际加工场景考查几何知识的应用，解题核心是利用相似三角形的性质建立方程求解正方形边长，需要熟练掌握相似三角形相似比与对应边、对应高的关系，同时要掌握用等面积法求直角三角形斜边上高的方法，能有效锻炼将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
