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1 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E.若DB=12 cm,则AC= (
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
（第1题图）
（第2题图）
C
)A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. C 【解析】连接 AD，
∵ DE 是 AB 的垂直平分线,
∴ AD = DB = 12 cm,
∴ ∠DAE = ∠B = 15°. 又
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠CAD = 180°-∠C-∠B-∠DAE = 60°,
∴ ∠ADC = 30°. 在直角三角形 ACD 中,AC = 1/2 AD = 6 cm. 故选 C.
2[2026湖北随州期末]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=3$,$∠ BAC=120°$,$E$为$BA$的延长线上一点,$CE ⊥ AB$于点$E$,$EF ⊥ BC$于点$F$,则$EF$的长为(
A.$2$
B.$\dfrac{9}{4}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$3$
B
)A.$2$
B.$\dfrac{9}{4}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$3$
答案
2. B 【解析】
∵ AB = AC = 3, ∠BAC = 120°,
∴ ∠B = (180°-∠BAC)/2 = 30°.
∵ CE ⊥ AB,
∴ ∠AEC = 90°,
∴ ∠ACE = ∠BAC - ∠CEA = 30°,
∴ AE = 1/2 AC = 3/2,
∴ BE = AB + AE = 9/2.
∵ EF ⊥ BC, ∠B = 30°,
∴ EF = 1/2 BE = 9/4, 故选 B.
∵ AB = AC = 3, ∠BAC = 120°,
∴ ∠B = (180°-∠BAC)/2 = 30°.
∵ CE ⊥ AB,
∴ ∠AEC = 90°,
∴ ∠ACE = ∠BAC - ∠CEA = 30°,
∴ AE = 1/2 AC = 3/2,
∴ BE = AB + AE = 9/2.
∵ EF ⊥ BC, ∠B = 30°,
∴ EF = 1/2 BE = 9/4, 故选 B.
3[2026河南周口期末]如图,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=8$,点$M$,$N$在边$OB$上,$PM=PN$,若$MN=2$,则$OM$的长为 (
A.2
B.3
C.4
D.6
(第3题图)
(第4题图)
B
)A.2
B.3
C.4
D.6
(第3题图)
(第4题图)
答案
3. B 【解析】如图,过点 P 作 PC ⊥ OB.
∵ PM = PN, MN = 2,
∴ CM = CN = 1/2 MN = 1. 在Rt△POC 中, ∠AOB = 60°,
∴ ∠OPC = 30°.
∵ OP = 8,
∴ OC = 1/2 OP = 4,
∴ OM = OC - CM = 4 - 1 = 3,故选 B.
4[2025辽宁大连期末]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A$的坐标是$(0,9)$,以$OA$为边在其右侧作等边三角形$OAA_1$,过$A_1$作$x$轴的垂线,垂足为点$O_1$,以$O_1A_1$为边在其右侧作等边三角形$O_1A_1A_2$,过点$A_2$作$x$轴的垂线,垂足为点$O_2$,以$O_2A_2$为边在其右侧作等边三角形$O_2A_2A_3$,…,按此规律继续作下去,得到等边三角形$O_{2025}A_{2025}A_{2026}$,则点$A_{2025}$的纵坐标为
$\dfrac{9}{2^{2025}}$
.答案
4. $\dfrac{9}{2^{2025}}$ 【解析】
∵ 点 A 的坐标是(0,9),以 OA 为边在其右侧作等边三角形 OAA₁,过点 A₁ 作x 轴的垂线,垂足为点 O₁,
∴ ∠A₁OO₁ = 90°-60° = 30°, ∠OO₁A₁ = 90°, OA₁ = OA = 9,
∴ O₁A₁ = 1/2 OA₁ = 9×1/2,
∴ 点 A₁ 的纵坐标是9×1/2.
∵ 以 O₁A₁ 为边在其右侧作等边三角形O₁A₁A₂,过点 A₂ 作 x 轴的垂线,垂足为点 O₂,
∴ ∠A₂O₁O₂ = 90°-60° = 30°, ∠O₁O₂A₂ = 90°,O₁A₂ = O₁A₁ = 9×1/2,
∴ O₂A₂ = 1/2 O₁A₂ = 9×1/2×1/2,
∴ 点 A₂ 的纵坐标是 9×1/2×1/2,即 9×(1/2)².
∵ 以 O₂A₂ 为边在其右侧作等边三角形 O₂A₂A₃,同理,得点 A₃ 的纵坐标是 9×(1/2)³,
∴ 根据规律可知点 A₂₀₂₅ 的纵坐标是9×(1/2)²⁰²⁵ = 9/2²⁰²⁵. 故答案为 9/2²⁰²⁵.
∵ 点 A 的坐标是(0,9),以 OA 为边在其右侧作等边三角形 OAA₁,过点 A₁ 作x 轴的垂线,垂足为点 O₁,
∴ ∠A₁OO₁ = 90°-60° = 30°, ∠OO₁A₁ = 90°, OA₁ = OA = 9,
∴ O₁A₁ = 1/2 OA₁ = 9×1/2,
∴ 点 A₁ 的纵坐标是9×1/2.
∵ 以 O₁A₁ 为边在其右侧作等边三角形O₁A₁A₂,过点 A₂ 作 x 轴的垂线,垂足为点 O₂,
∴ ∠A₂O₁O₂ = 90°-60° = 30°, ∠O₁O₂A₂ = 90°,O₁A₂ = O₁A₁ = 9×1/2,
∴ O₂A₂ = 1/2 O₁A₂ = 9×1/2×1/2,
∴ 点 A₂ 的纵坐标是 9×1/2×1/2,即 9×(1/2)².
∵ 以 O₂A₂ 为边在其右侧作等边三角形 O₂A₂A₃,同理,得点 A₃ 的纵坐标是 9×(1/2)³,
∴ 根据规律可知点 A₂₀₂₅ 的纵坐标是9×(1/2)²⁰²⁵ = 9/2²⁰²⁵. 故答案为 9/2²⁰²⁵.
1[2026甘肃定西期中,中]如图,在$△ ABC$中,$AC=BC=6$,$∠ ACB=4∠ A$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$,点$E$,$F$分别是线段$BD$,$BC$上的动点,则$CE+EF$的最小值为 (
A.$2$
B.$3$
C.$6$
D.$9$
(第1题图)
(第2题图)
B
)A.$2$
B.$3$
C.$6$
D.$9$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. B 【解析】由条件可知∠A = ∠ABC.
∵ ∠ACB = 4∠A, ∠ACB + ∠A + ∠ABC = 180°,
∴ 4∠A + ∠A + ∠A = 180°,
∴ ∠A = 30°.
如图所示,在线段 AB 上截取 BH = BF,连接 EH. 由条件可知∠EBH = ∠EBF, 又∵ BH = BF, BE = BE,
∴ △EBH≌△EBF(SAS),
∴ EH = EF,
∴ CE+EF = CE+EH. 当 C,E,H 三点共线,且 CH ⊥ AB 时,CE+EH 有最小值,即 CE+EF 有最小值,最小值为线段 CH 的长,此时 CH = 1/2 AC = 3,
∴ CE+EF的最小值为 3,故选 B.
2[2026江苏南京期中,中]如图,M,N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON),∠AOB=30°,OM=a,MN=3,若边OB上有且只有1个点P,满足△PMN是等腰三角形,则a的取值范围是
$a=3或a＞6$
.答案
2. $a=3$ 或 $a＞6$ 【解析】①如图,作线段 MN 的垂直平分线交 OB 于点 P,连接PM,PN,则 PM = PN,此时△PMN 是等腰三角形. 过点 M 作 MH ⊥ OB 于点 H,当 MH＞MN 时,满足条件的点 P 恰好只有一个.
∵ MN = 3, ∠AOB = 30°,
∴ 当 MH = 3时,OM = 2MH = 6,
∴ 当 a＞6 时,满足条件的点P 恰好只有一个. ②当△PMN 是等边三角形时,满足条件的点 P 恰好只有一个,此时MN = MP, ∠NMP = 60°.
∵ ∠AOB = 30°,
∴ ∠MPO = 30°,
∴ OM = MP = MN = 3,
∴ a = 3.综上,满足条件的 a 的取值范围是 a=3 或 a＞6,
故答案为 a=3 或 a＞6.3[中]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ B=30°$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动,同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动,运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,解决以下问题:(1)当$t$为何值时,$△ DEC$为等边三角形?(2)当$t$为何值时,$△ DEC$为直角三角形?
答案
3. 【解】(1)根据题意可得 AD = t cm, CE = 2t cm,
∴ CD = (6-t) cm.
∵ ∠A = 90°, ∠B = 30°, AC = 6 cm,
∴ BC = 2AC = 12 cm, ∠C = 90°-∠B = 90°-30° = 60°,
∴ 0≤t≤6.
∵ △DEC 为等边三角形,
∴ CD = CE,
∴ 6-t = 2t,
∴ t = 2,
∴ 当 t 的值为 2 时,△DEC 为等边三角形.
(2)①当∠DEC 为直角时,∠EDC = 30°,
∴ CE = 1/2 DC,
∴ 2t = 1/2 (6-t),
∴ t = 6/5;②当∠EDC 为直角时,∠DEC = 30°,
∴ CD = 1/2 CE,
∴ 6-t = 1/2 ×2t,
∴ t = 3,
∴ 当 t 的值为 6/5 或 3 时,△DEC为直角三角形.
∴ CD = (6-t) cm.
∵ ∠A = 90°, ∠B = 30°, AC = 6 cm,
∴ BC = 2AC = 12 cm, ∠C = 90°-∠B = 90°-30° = 60°,
∴ 0≤t≤6.
∵ △DEC 为等边三角形,
∴ CD = CE,
∴ 6-t = 2t,
∴ t = 2,
∴ 当 t 的值为 2 时,△DEC 为等边三角形.
(2)①当∠DEC 为直角时,∠EDC = 30°,
∴ CE = 1/2 DC,
∴ 2t = 1/2 (6-t),
∴ t = 6/5;②当∠EDC 为直角时,∠DEC = 30°,
∴ CD = 1/2 CE,
∴ 6-t = 1/2 ×2t,
∴ t = 3,
∴ 当 t 的值为 6/5 或 3 时,△DEC为直角三角形.
