基础知识·预习
问题1 类比实数的混合运算顺序，说一说分式的混合运算顺序是什么。
问题2 结合实例思考分式的混合运算在解决实际问题时应注意些什么。

解：
问题1：分式的混合运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的，同级运算按照从左到右的顺序依次进行。
问题2：实例：一项工程，甲队单独完成需要$2a$天，乙队单独完成需要$3a$天，求两队合作完成这项工程的时间，可列算式$1÷(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a})$，计算得结果为$\frac{6a}{5}$天。
解决实际问题时的注意事项：
1. 运算过程严格遵循分式混合运算顺序，可合理利用运算律简化计算，避免运算错误；
2. 保证所有分式在实际情境中有意义，即分式的分母不能为0，同时字母的取值要符合实际问题的现实意义；
3. 最终运算结果必须化为最简分式或者整式的形式；
4. 若需要代入数值计算，选取的数值要使原式中所有分母都不为零，不能选取使分式无意义的数值。

【典型例题1】计算：
(1) $\frac{a^2 + 3a}{a^2 - 3a} - \frac{a - 3}{a} · ( \frac{2a}{a - 3} )^2$；
(2) $( \frac{m^2 - 3m + 1}{m} + 1 ) ÷ \frac{m^2 - 1}{m}$；
(3) $\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ ( a + \frac{b^2 - 2ab}{a} )$。

(1)原式$=\frac{a+3}{a-3}-\frac{a-3}{a}·\frac{4a^2}{(a-3)^2}$
$=\frac{a+3}{a-3}-\frac{4a}{a-3}$
$=\frac{3-3a}{a-3}.$
(2)原式$=\frac{m^2-3m+1+m}{m}÷\frac{m^2-1}{m}=$
$\frac{(m-1)^2}{m}·\frac{m}{(m+1)(m-1)}=\frac{m-1}{m+1}.$
(3)原式$=\frac{a^2-b^2}{a}÷(\frac{a^2}{a}+\frac{b^2-2ab}{a})$
$=\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{a^2-2ab+b^2}{a}$
$=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}.$
规律方法 1. 进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算。
2. 运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程变简单。
3. 运算结果应是最简分式或整式。