3. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十二两.问金、银一枚各重几何?”.大意是:现有甲袋子中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋子中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋子比乙袋子轻了12两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两? 请解决这个问题.
答案
黄金每枚33两，白银每枚27两。
解析
设每枚黄金重$x$两，每枚白银重$y$两。
由题意得：
1. $9x = 11y$（两袋初始重量相等）
2. $(10y + x) - (8x + y) = 12$（交换后甲袋比乙袋轻12两）
化简第二个方程：$9y - 7x = 12$。
由第一个方程得$x = \frac{11y}{9}$，代入$9y - 7x = 12$：
$9y - 7×\frac{11y}{9} = 12$，
两边乘9：$81y - 77y = 108$，
$4y = 108$，解得$y = 27$。
代入$9x = 11y$：$9x = 11×27$，解得$x = 33$。
由题意得：
1. $9x = 11y$（两袋初始重量相等）
2. $(10y + x) - (8x + y) = 12$（交换后甲袋比乙袋轻12两）
化简第二个方程：$9y - 7x = 12$。
由第一个方程得$x = \frac{11y}{9}$，代入$9y - 7x = 12$：
$9y - 7×\frac{11y}{9} = 12$，
两边乘9：$81y - 77y = 108$，
$4y = 108$，解得$y = 27$。
代入$9x = 11y$：$9x = 11×27$，解得$x = 33$。
1. (2025洛阳一模)方程组$\begin{cases}x + y = 1,\\3x - y = 3\end{cases}$的解是 ______.
答案
$\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$（（或写为$x = 1$，$y = 0$））
解析
$\begin{cases}x + y = 1 \quad ①,\\3x - y = 3\quad ②.\end{cases}$
$① + ②$，得$x+y+3x - y=1+3$，
$4x=4$，
$x = 1$，
把$x = 1$代入$①$得$1 + y = 1$，$y = 0$，
因此，方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$
$① + ②$，得$x+y+3x - y=1+3$，
$4x=4$，
$x = 1$，
把$x = 1$代入$①$得$1 + y = 1$，$y = 0$，
因此，方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$
2. (2025郑州三模)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何? 译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元,问共有多少人? 这个物品的价格是多少? 设共有$x$人,则可列方程为(
A.$8x + 3 = 7x - 4$
B.$8x - 3 = 7x + 4$
C.$\frac{x - 3}{8}=\frac{x + 4}{7}$
D.$\frac{x + 3}{8}=\frac{x - 4}{7}$
B
)A.$8x + 3 = 7x - 4$
B.$8x - 3 = 7x + 4$
C.$\frac{x - 3}{8}=\frac{x + 4}{7}$
D.$\frac{x + 3}{8}=\frac{x - 4}{7}$
答案
B
解析
设共有$x$人，根据题意，每人出8元时，总金额为$8x$元，盈余3元，所以物品价格为$8x - 3$元；每人出7元时，总金额为$7x$元，不足4元，所以物品价格为$7x + 4$元。由于物品价格不变，因此可列方程：$8x - 3 = 7x + 4$。
3. (2025长沙)为落实科技兴农政策,某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求,该食品企业将收购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售,已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元,销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元?
(2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16000元,则至少需加工A等级农产品多少千克?
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元?
(2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16000元,则至少需加工A等级农产品多少千克?
答案
(1)A等级12元/千克，B等级10元/千克；(2)2000千克
解析
(1)设每千克A等级农产品销售单价为x元，每千克B等级农产品销售单价为y元。
根据题意，得：
$\begin{cases}6x + 4y = 112 \\4x + 2y = 68\end{cases}$
由第二个方程得：$2x + y = 34$，即$y = 34 - 2x$。
将$y = 34 - 2x$代入第一个方程：$6x + 4(34 - 2x) = 112$，解得$x = 12$。
则$y = 34 - 2×12 = 10$。
(2)设加工A等级农产品m千克，则加工B等级农产品(6000 - m)千克。
利润 = (12 - 8)m + (10 - 8)(6000 - m) = 4m + 2(6000 - m) = 2m + 12000。
由题意得：$2m + 12000 \geq 16000$，解得$m \geq 2000$。
根据题意，得：
$\begin{cases}6x + 4y = 112 \\4x + 2y = 68\end{cases}$
由第二个方程得：$2x + y = 34$，即$y = 34 - 2x$。
将$y = 34 - 2x$代入第一个方程：$6x + 4(34 - 2x) = 112$，解得$x = 12$。
则$y = 34 - 2×12 = 10$。
(2)设加工A等级农产品m千克，则加工B等级农产品(6000 - m)千克。
利润 = (12 - 8)m + (10 - 8)(6000 - m) = 4m + 2(6000 - m) = 2m + 12000。
由题意得：$2m + 12000 \geq 16000$，解得$m \geq 2000$。
