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3.已知y关于x的二次函数$y=x^2+2x+m$的图象与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是
$m＜1$
。答案
3. $m＜1$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系。解题思路如下：首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点个数，等价于对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数；若图象与x轴有两个公共点，说明方程有两个不相等的实数根，此时判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。接下来只需确定二次函数各项的系数a、b、c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2+2x+m$的图象与x轴有两个公共点
∴对应的一元二次方程$x^2+2x+m=0$有两个不相等的实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=2$，$c=m$，代入得：
$2^2 - 4×1× m ＞ 0$
$4 - 4m ＞ 0$
移项化简得：$m ＜ 1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二次函数与x轴交点、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关联，牢记交点个数和判别式符号的对应关系是解题的关键，掌握该知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系。解题思路如下：首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点个数，等价于对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数；若图象与x轴有两个公共点，说明方程有两个不相等的实数根，此时判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$。接下来只需确定二次函数各项的系数a、b、c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2+2x+m$的图象与x轴有两个公共点
∴对应的一元二次方程$x^2+2x+m=0$有两个不相等的实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=2$，$c=m$，代入得：
$2^2 - 4×1× m ＞ 0$
$4 - 4m ＞ 0$
移项化简得：$m ＜ 1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二次函数与x轴交点、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关联，牢记交点个数和判别式符号的对应关系是解题的关键，掌握该知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 二次函数$y=-x^2+2x+q$的部分图象如图所示.若关于$x$的一元二次方程$-x^2+2x+q=0$的一个解为$x_1=-1$,则另一个解为$x_2=$
$3$
.答案
4. 3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：一元二次方程$-x^2+2x+q=0$的解就是对应二次函数$y=-x^2+2x+q$的图象与$x$轴交点的横坐标，且抛物线与$x$轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称。我们可以先求出抛物线的对称轴，再利用对称性计算另一个解；也可以直接用一元二次方程根与系数的关系求解。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-1$，$b=2$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
设方程的另一个解为$x_2$，因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，所以两个交点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=1$
将$x_1=-1$代入得：$\frac{-1+x_2}{2}=1$，解得$x_2=3$。
方法二：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
方程$-x^2+2x+q=0$中$a=-1$，$b=2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{2}{-1}=2$
已知$x_1=-1$，则$x_2=2-(-1)=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，结合二次函数图象考查二次函数性质和一元二次方程的相关知识点，解题方法灵活，既可以用图象性质求解，也可以用代数公式直接计算，要求学生熟练掌握两类知识点的关联应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确：一元二次方程$-x^2+2x+q=0$的解就是对应二次函数$y=-x^2+2x+q$的图象与$x$轴交点的横坐标，且抛物线与$x$轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称。我们可以先求出抛物线的对称轴，再利用对称性计算另一个解；也可以直接用一元二次方程根与系数的关系求解。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=-1$，$b=2$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
设方程的另一个解为$x_2$，因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，所以两个交点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=1$
将$x_1=-1$代入得：$\frac{-1+x_2}{2}=1$，解得$x_2=3$。
方法二：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
方程$-x^2+2x+q=0$中$a=-1$，$b=2$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{2}{-1}=2$
已知$x_1=-1$，则$x_2=2-(-1)=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，结合二次函数图象考查二次函数性质和一元二次方程的相关知识点，解题方法灵活，既可以用图象性质求解，也可以用代数公式直接计算，要求学生熟练掌握两类知识点的关联应用。
【难度系数】
0.8
【典型例题3】如图，把一张长10 cm、宽8 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)。
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm²，则剪去的每个正方形的边长为多少？
(2)折成的长方体盒子的侧面积有最大的情况吗？如果有，请你求出最大侧面积和此时剪去的每个正方形的边长；如果没有，请你说明理由。
思路导引 (1)设剪去的每个正方形的边长为x cm，则折成一个无盖的长方体盒子时，盒子底面的长和宽均减小2x cm。
(2)要注意盒子共有四个侧面，且相对的两个侧面完全相同。因为要求侧面积的最大值，所以应设出变量列函数解析式，运用二次函数的知识解决问题。
【解】(1)设剪去的每个正方形的边长为x cm。
由题意，得$(10-2x)(8-2x)=48$，即$x^2 -9x +8=0$。
解得$x_1=8$(不合题意，舍去)，$x_2=1$。
∴剪去的每个正方形的边长为1 cm。
(2)侧面积有最大的情况。
设折成的长方体盒子的侧面积为$y$ cm²。
∴$y=2x(10-2x)+2x(8-2x)$，即$y=-8x^2 +36x=-8(x-\frac{9}{4})^2 +\frac{81}{2}$。
∴当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{81}{2}$。
∴当剪去的每个正方形的边长为$\frac{9}{4}$ cm时，折成的长方体盒子的侧面积最大，最大侧面积为$\frac{81}{2}$ cm²。
规律方法 解决此类问题的一般步骤：
(1)审题：明确几何图形的变化，确定变量与常量。
(2)建模：结合几何图形列出函数解析式，注意自变量的取值范围。
(3)求最值：利用二次函数的解析式求最值，注意图象顶点的横坐标是否在自变量范围内。
(4)比较：若有多种方案，则需分别计算最值后再比较大小。
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm²，则剪去的每个正方形的边长为多少？
(2)折成的长方体盒子的侧面积有最大的情况吗？如果有，请你求出最大侧面积和此时剪去的每个正方形的边长；如果没有，请你说明理由。
思路导引 (1)设剪去的每个正方形的边长为x cm，则折成一个无盖的长方体盒子时，盒子底面的长和宽均减小2x cm。
(2)要注意盒子共有四个侧面，且相对的两个侧面完全相同。因为要求侧面积的最大值，所以应设出变量列函数解析式，运用二次函数的知识解决问题。
【解】(1)设剪去的每个正方形的边长为x cm。
由题意，得$(10-2x)(8-2x)=48$，即$x^2 -9x +8=0$。
解得$x_1=8$(不合题意，舍去)，$x_2=1$。
∴剪去的每个正方形的边长为1 cm。
(2)侧面积有最大的情况。
设折成的长方体盒子的侧面积为$y$ cm²。
∴$y=2x(10-2x)+2x(8-2x)$，即$y=-8x^2 +36x=-8(x-\frac{9}{4})^2 +\frac{81}{2}$。
∴当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{81}{2}$。
∴当剪去的每个正方形的边长为$\frac{9}{4}$ cm时，折成的长方体盒子的侧面积最大，最大侧面积为$\frac{81}{2}$ cm²。
规律方法 解决此类问题的一般步骤：
(1)审题：明确几何图形的变化，确定变量与常量。
(2)建模：结合几何图形列出函数解析式，注意自变量的取值范围。
(3)求最值：利用二次函数的解析式求最值，注意图象顶点的横坐标是否在自变量范围内。
(4)比较：若有多种方案，则需分别计算最值后再比较大小。
答案
解：
(1) 设剪去的每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则折成的长方体盒子底面的长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
由题意，得
$(10-2x)(8-2x)=48$
整理得：$x^2-9x+8=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
由$8-2x＞0$得$x＜4$，故$x=8$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 剪去的每个正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
(2) 折成的长方体盒子的侧面积有最大的情况。
设折成的长方体盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，其中自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$。
由题意得：
$y=2x(10-2x)+2x(8-2x)$
整理得：
$y=-8x^2+36x=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}$
$\because -8＜0$，且$0＜\frac{9}{4}＜4$，
$\therefore$ 当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{81}{2}$。
即当剪去的每个正方形的边长为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$时，折成的长方体盒子的侧面积最大，最大侧面积为$\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 设剪去的每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则折成的长方体盒子底面的长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
由题意，得
$(10-2x)(8-2x)=48$
整理得：$x^2-9x+8=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
由$8-2x＞0$得$x＜4$，故$x=8$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 剪去的每个正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
(2) 折成的长方体盒子的侧面积有最大的情况。
设折成的长方体盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，其中自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$。
由题意得：
$y=2x(10-2x)+2x(8-2x)$
整理得：
$y=-8x^2+36x=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}$
$\because -8＜0$，且$0＜\frac{9}{4}＜4$，
$\therefore$ 当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{81}{2}$。
即当剪去的每个正方形的边长为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$时，折成的长方体盒子的侧面积最大，最大侧面积为$\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先设剪去的正方形边长为x cm，折成无盖长方体后，底面的长是原长减去2倍的x（左右各剪去一个正方形），底面的宽是原宽减去2倍的x，再根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际情况（长方体的长宽必须为正，即8-2x＞0，得x＜4）舍去不合题意的根，得到正确结果。
(2) 求解第二问时，明确无盖长方体的侧面积是4个侧面的面积和：两个侧面的面积为“底面长×高(x)”，另外两个为“底面宽×高(x)”，据此列出侧面积关于x的二次函数解析式，将解析式配方成顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量x的取值范围，即可求出侧面积的最大值和对应的x值。
【解析】
(1) 设剪去的每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则折成的长方体盒子底面的长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
由题意，得
$(10-2x)(8-2x)=48$
整理得：$x^2-9x+8=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
由$8-2x＞0$得$x＜4$，故$x=8$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 剪去的每个正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
(2) 折成的长方体盒子的侧面积有最大的情况。
设折成的长方体盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，其中自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$。
由题意得：
$y=2x(10-2x)+2x(8-2x)$
整理得：
$y=-8x^2+36x=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}$
$\because -8＜0$，且$0＜\frac{9}{4}＜4$，
$\therefore$ 当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{81}{2}$。
即当剪去的每个正方形的边长为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$时，折成的长方体盒子的侧面积最大，最大侧面积为$\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪去的每个正方形的边长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；
(2) 有最大侧面积，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}}$时，最大侧面积为$\boldsymbol{\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，长方体侧面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题，将图形折叠问题转化为方程和函数问题求解，解题时需注意结合实际几何意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，能有效提升学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先设剪去的正方形边长为x cm，折成无盖长方体后，底面的长是原长减去2倍的x（左右各剪去一个正方形），底面的宽是原宽减去2倍的x，再根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际情况（长方体的长宽必须为正，即8-2x＞0，得x＜4）舍去不合题意的根，得到正确结果。
(2) 求解第二问时，明确无盖长方体的侧面积是4个侧面的面积和：两个侧面的面积为“底面长×高(x)”，另外两个为“底面宽×高(x)”，据此列出侧面积关于x的二次函数解析式，将解析式配方成顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量x的取值范围，即可求出侧面积的最大值和对应的x值。
【解析】
(1) 设剪去的每个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则折成的长方体盒子底面的长为$(10-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$。
由题意，得
$(10-2x)(8-2x)=48$
整理得：$x^2-9x+8=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$。
由$8-2x＞0$得$x＜4$，故$x=8$不符合题意，舍去。
$\therefore$ 剪去的每个正方形的边长为$1\ \mathrm{cm}$。
(2) 折成的长方体盒子的侧面积有最大的情况。
设折成的长方体盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，其中自变量$x$的取值范围是$0＜x＜4$。
由题意得：
$y=2x(10-2x)+2x(8-2x)$
整理得：
$y=-8x^2+36x=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}$
$\because -8＜0$，且$0＜\frac{9}{4}＜4$，
$\therefore$ 当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{81}{2}$。
即当剪去的每个正方形的边长为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$时，折成的长方体盒子的侧面积最大，最大侧面积为$\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪去的每个正方形的边长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；
(2) 有最大侧面积，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}}$时，最大侧面积为$\boldsymbol{\frac{81}{2}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，长方体侧面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型应用题，将图形折叠问题转化为方程和函数问题求解，解题时需注意结合实际几何意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，能有效提升学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
