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10.如图①是长方形纸带，∠CFE=55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是
15°
。答案
10.15°
解析
【分析】
解题首先利用长方形对边平行的性质，结合平行线内错角相等求出原图中∠DEF的度数；折叠问题的核心是折叠前后对应角相等，第一次沿EF折叠可得∠GEF=∠DEF，第二次沿GE折叠后，平角180°范围内共包含3个与原∠DEF相等的角，用平角减去3个∠DEF的度数即可得到所求角度。
【解析】
解：
∵长方形纸带的对边AD//BC，
∴根据两直线平行，内错角相等，可得∠DEF=∠CFE=55°。
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等：
第一次沿EF折叠成图②时，∠GEF=∠DEF=55°；
第二次沿GE折叠成图③时，对应角依然相等，此时平角180°内共包含3个55°的角，
∴图③中∠DEF=180° - 3×55°=180°-165°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题，解题的关键是理解折叠前后对应角相等，结合平行线的性质梳理清楚每次折叠后角的数量关系即可求解，需要注意不要漏算折叠后重叠的角的个数。
【难度系数】
0.6
解题首先利用长方形对边平行的性质，结合平行线内错角相等求出原图中∠DEF的度数；折叠问题的核心是折叠前后对应角相等，第一次沿EF折叠可得∠GEF=∠DEF，第二次沿GE折叠后，平角180°范围内共包含3个与原∠DEF相等的角，用平角减去3个∠DEF的度数即可得到所求角度。
【解析】
解：
∵长方形纸带的对边AD//BC，
∴根据两直线平行，内错角相等，可得∠DEF=∠CFE=55°。
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等：
第一次沿EF折叠成图②时，∠GEF=∠DEF=55°；
第二次沿GE折叠成图③时，对应角依然相等，此时平角180°内共包含3个55°的角，
∴图③中∠DEF=180° - 3×55°=180°-165°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；平角定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题，解题的关键是理解折叠前后对应角相等，结合平行线的性质梳理清楚每次折叠后角的数量关系即可求解，需要注意不要漏算折叠后重叠的角的个数。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 阅读下列文字，并完成证明.
如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间.连接EG和EF，∠2=∠3，∠1+∠4=180°，求证：AB//CD.
证明：∵∠2=∠3(已知)，
∴
∴∠1=
∵∠1+∠4=180°(已知)，
∴∠AKH+
∴AB//CD(
11. 阅读下列文字，并完成证明.
如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间.连接EG和EF，∠2=∠3，∠1+∠4=180°，求证：AB//CD.
证明：∵∠2=∠3(已知)，
∴
GE
//HK
(内错角相等,两直线平行
)，∴∠1=
∠AKH
(两直线平行,同位角相等
)，∵∠1+∠4=180°(已知)，
∴∠AKH+
∠4
=180°(等量代换
)，∴AB//CD(
同旁内角互补,两直线平行
).答案
11.GE;HK;内错角相等,两直线平行;∠AKH;两直线平行,同位角相等;∠4;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.
解析
【分析】
本题是平行线判定的证明题，解题思路如下：首先观察已知条件∠2=∠3，这两个角是直线GE和HK被EF所截形成的内错角，根据内错角相等可判定两条直线平行；得到GE//HK后，根据平行线的性质，同位角相等，可得∠1和∠AKH相等；再结合已知∠1+∠4=180°，通过等量代换就能得到∠AKH与∠4的和为180°，这两个角是直线AB和CD被KH所截的同旁内角，根据同旁内角互补即可判定AB//CD。
【解析】
证明：
∵∠2=∠3(已知)，
∴ GE // HK ( 内错角相等，两直线平行 )，
∴∠1= ∠AKH ( 两直线平行，同位角相等 )，
∵∠1+∠4=180°(已知)，
∴∠AKH+ ∠4 =180°( 等量代换 )，
∴AB//CD( 同旁内角互补，两直线平行 )。
【答案】
GE;HK;内错角相等,两直线平行;∠AKH;两直线平行,同位角相等;∠4;等量代换;同旁内角互补,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用类题目，解题的核心是准确识别不同位置关系的角，结合平行线的性质与判定定理逐步推导，主要考查基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
本题是平行线判定的证明题，解题思路如下：首先观察已知条件∠2=∠3，这两个角是直线GE和HK被EF所截形成的内错角，根据内错角相等可判定两条直线平行；得到GE//HK后，根据平行线的性质，同位角相等，可得∠1和∠AKH相等；再结合已知∠1+∠4=180°，通过等量代换就能得到∠AKH与∠4的和为180°，这两个角是直线AB和CD被KH所截的同旁内角，根据同旁内角互补即可判定AB//CD。
【解析】
证明：
∵∠2=∠3(已知)，
∴ GE // HK ( 内错角相等，两直线平行 )，
∴∠1= ∠AKH ( 两直线平行，同位角相等 )，
∵∠1+∠4=180°(已知)，
∴∠AKH+ ∠4 =180°( 等量代换 )，
∴AB//CD( 同旁内角互补，两直线平行 )。
【答案】
GE;HK;内错角相等,两直线平行;∠AKH;两直线平行,同位角相等;∠4;等量代换;同旁内角互补,两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用类题目，解题的核心是准确识别不同位置关系的角，结合平行线的性质与判定定理逐步推导，主要考查基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
12. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界.2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元.
(1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价；
(2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案(即销售了多少副春联和多少个灯笼).
(1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价；
(2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案(即销售了多少副春联和多少个灯笼).
答案
12.解:(1)设1副春联的售价为x元,1个灯笼的售价为y元,
由题意得:$\begin{cases}2x+y=24, \\x+3y=42,\end{cases}$
解得,$\begin{cases}x=6, \\y=12.\end{cases}$
答:1副春联的售价为6元,1个灯笼的售价为12元;
(2)该商家在这个时段内销售了春联a副,销售了灯笼b个,由题意得:$3a+5b=40$,
整理得:$a=\dfrac{40-5b}{3}$
∵a,b都是正整数,
∴该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种:
①销售春联5副,灯笼5个;
②销售春联10副,灯笼2个.
由题意得:$\begin{cases}2x+y=24, \\x+3y=42,\end{cases}$
解得,$\begin{cases}x=6, \\y=12.\end{cases}$
答:1副春联的售价为6元,1个灯笼的售价为12元;
(2)该商家在这个时段内销售了春联a副,销售了灯笼b个,由题意得:$3a+5b=40$,
整理得:$a=\dfrac{40-5b}{3}$
∵a,b都是正整数,
∴该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种:
①销售春联5副,灯笼5个;
②销售春联10副,灯笼2个.
解析
【分析】
（1）本题包含两个未知量：1副春联的售价、1个灯笼的售价，题目给出了两组总价的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解。首先根据“2副春联的总售价+1个灯笼的售价=24元”、“1副春联的售价+3个灯笼的总售价=42元”列出方程组，再解方程组即可得到两个商品的售价。
（2）已知春联和灯笼的单个盈利及总盈利，我们可以设销售春联a副、灯笼b个，根据总盈利列二元一次方程，由于销售数量必须是正整数，因此只需求出该方程的所有正整数解，即可得到所有销售方案。
【解析】
(1) 设1副春联的售价为x元，1个灯笼的售价为y元，
由题意得：$\begin{cases}2x+y=24 \\x+3y=42\end{cases}$
将第一个方程变形为$y=24-2x$，代入第二个方程：
$x+3(24-2x)=42$
$x+72-6x=42$
$-5x=-30$，解得$x=6$
把$x=6$代入$y=24-2x$，得$y=24-2×6=12$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=12\end{cases}$
(2) 设该时段内销售了春联a副，灯笼b个（a、b均为正整数），
由题意得：$3a+5b=40$
整理得：$a=\dfrac{40-5b}{3}$
因为a、b都是正整数，所以$40-5b$需为正且能被3整除：
当$b=2$时，$40-5×2=30$，$a=30÷3=10$，符合要求；
当$b=5$时，$40-5×5=15$，$a=15÷3=5$，符合要求；
当$b≥8$时，$40-5b≤0$，a不为正整数，其余正整数b均无法让$40-5b$被3整除。
因此符合条件的销售方案共2种。
【答案】
(1) 1副春联的售价为6元，1个灯笼的售价为12元；
(2) 共有2种销售方案：①销售春联5副，灯笼5个；②销售春联10副，灯笼2个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程的正整数解
【点评】
本题结合传统文化热点创设生活场景，考查方程思想在实际问题中的应用，解题时要注意挖掘“销售数量为正整数”的隐含条件，求解不定方程时需逐一验证，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
（1）本题包含两个未知量：1副春联的售价、1个灯笼的售价，题目给出了两组总价的等量关系，我们可以通过设两个未知数，列二元一次方程组求解。首先根据“2副春联的总售价+1个灯笼的售价=24元”、“1副春联的售价+3个灯笼的总售价=42元”列出方程组，再解方程组即可得到两个商品的售价。
（2）已知春联和灯笼的单个盈利及总盈利，我们可以设销售春联a副、灯笼b个，根据总盈利列二元一次方程，由于销售数量必须是正整数，因此只需求出该方程的所有正整数解，即可得到所有销售方案。
【解析】
(1) 设1副春联的售价为x元，1个灯笼的售价为y元，
由题意得：$\begin{cases}2x+y=24 \\x+3y=42\end{cases}$
将第一个方程变形为$y=24-2x$，代入第二个方程：
$x+3(24-2x)=42$
$x+72-6x=42$
$-5x=-30$，解得$x=6$
把$x=6$代入$y=24-2x$，得$y=24-2×6=12$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=12\end{cases}$
(2) 设该时段内销售了春联a副，灯笼b个（a、b均为正整数），
由题意得：$3a+5b=40$
整理得：$a=\dfrac{40-5b}{3}$
因为a、b都是正整数，所以$40-5b$需为正且能被3整除：
当$b=2$时，$40-5×2=30$，$a=30÷3=10$，符合要求；
当$b=5$时，$40-5×5=15$，$a=15÷3=5$，符合要求；
当$b≥8$时，$40-5b≤0$，a不为正整数，其余正整数b均无法让$40-5b$被3整除。
因此符合条件的销售方案共2种。
【答案】
(1) 1副春联的售价为6元，1个灯笼的售价为12元；
(2) 共有2种销售方案：①销售春联5副，灯笼5个；②销售春联10副，灯笼2个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程的正整数解
【点评】
本题结合传统文化热点创设生活场景，考查方程思想在实际问题中的应用，解题时要注意挖掘“销售数量为正整数”的隐含条件，求解不定方程时需逐一验证，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
