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15. 计算：
(1) $-2^3 ÷ (-3)^2$；
(2) $-(-3)^2 × (-2)^3$；
(3) $(-0.25)^3 × (-4)^3$。
(1) $-2^3 ÷ (-3)^2$；
(2) $-(-3)^2 × (-2)^3$；
(3) $(-0.25)^3 × (-4)^3$。
答案
15. (1) 原式$=-8÷9=-\frac{8}{9}$.
(2) 原式$=-9×(-8)=72$.
(3) 原式$=(-\frac{1}{4})^3×(-4)^3=-\frac{1}{64}×(-64)=1$.
(2) 原式$=-9×(-8)=72$.
(3) 原式$=(-\frac{1}{4})^3×(-4)^3=-\frac{1}{64}×(-64)=1$.
16. 为了求$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100}$的值，可令$M=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100}$，则$3M=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{101}$，所以$3M-M=3^{101}-1$，所以$M=\frac{3^{101}-1}{2}$，即$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{100}=\frac{3^{101}-1}{2}$。仿照以上方法，求$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}$的值。
答案
16. 令$N=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}$,则$5N=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{2027}$,所以 $5N-N=5^{2027}-1$,所以$N=\frac{5^{2027}-1}{4}$,即$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}=\frac{5^{2027}-1}{4}$.
17. 观察下列算式：$7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401,7^5=16807,\dots$. 根据上述算式中的规律可知$7^{2026}$的个位数字是 （
A.7
B.9
C.3
D.1
B
）A.7
B.9
C.3
D.1
答案
17. B
解析:由题意,得$7^1,7^2,7^3,7^4,7^5,\dots$的个位数字依次是7,9,3,1,7,…,每4个为一组依次循环.因为$2026÷4=506······2$,所以$7^{2026}$的个位数字是 9.
解析:由题意,得$7^1,7^2,7^3,7^4,7^5,\dots$的个位数字依次是7,9,3,1,7,…,每4个为一组依次循环.因为$2026÷4=506······2$,所以$7^{2026}$的个位数字是 9.
18.（2026·江苏徐州期末）阅读下面的材料，并解答问题.
一般地，$n$个相同的因数$a$相乘：$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个a}$记为$a^n$，如：$2^3=8$，此时3叫作以2为底8的对数，记为$\log_2 8$（即$\log_2 8=3$）. 一般地，若$a^n = b$（$a＞0$且$a≠1$，$b＞0$），则$n$叫作以$a$为底$b$的对数，记为$\log_a b$（即$\log_a b = n$），则$\log_2 4$，$\log_2 16$，$\log_2 64$之间满足的关系式为
一般地，$n$个相同的因数$a$相乘：$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个a}$记为$a^n$，如：$2^3=8$，此时3叫作以2为底8的对数，记为$\log_2 8$（即$\log_2 8=3$）. 一般地，若$a^n = b$（$a＞0$且$a≠1$，$b＞0$），则$n$叫作以$a$为底$b$的对数，记为$\log_a b$（即$\log_a b = n$），则$\log_2 4$，$\log_2 16$，$\log_2 64$之间满足的关系式为
$\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$
.答案
18. $\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$
解析: 因为 $2^2=4$, 所以 $\log_2 4=2$. 因为 $2^4=16$, 所以 $\log_2 16=4$. 因为 $2^6=64$, 所以 $\log_2 64=6$. 因为 $2+4=6$, 所以 $\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$.
解析: 因为 $2^2=4$, 所以 $\log_2 4=2$. 因为 $2^4=16$, 所以 $\log_2 16=4$. 因为 $2^6=64$, 所以 $\log_2 64=6$. 因为 $2+4=6$, 所以 $\log_2 4 + \log_2 16 = \log_2 64$.
19. 新趋势 学科融合 在生物学中,生物链中的能量流动有“逐级递减”的特点,一个营养级中的能量只有10%～20%能被下一个营养级所利用.在如图所示的生物链中($H_n$表示第$n$营养级),若$H_1$中输入了1 000千焦能量,流动过程中每一个营养级中只有10%的能量被下一营养级所利用,求$H_4$获得的能量.
$H_1→H_2→H_3→H_4$
$H_1→H_2→H_3→H_4$
答案
19. 由题意,得$1\ 000×(\frac{1}{10})^3=1$(千焦). 故 $H_4$ 获得的能量为 1 千焦.
20. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的数是二进制数（只有数字0和1），它们两者之间可以互相换算，如将$(101)_2$，$(1011)_2$换算成十进制数结果如下：$(101)_2 = 1×2^2 + 0×2^1 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5$；$(1011)_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$. 按此方式，将二进制数$(1001)_2$换算成十进制数是多少？
答案
20. 由题意,得$(1001)_2=1×2^3+0×2^2+0×2^1+1=8+0+0+1=9$. 故二进制数$(1001)_2$换算成十进制数是 9.
