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5.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF.求证:△DEF为等腰直角三角形.
答案
证明:如图,连接 AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D 为 BC 的中点,
∴AD 平分∠BAC,∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∴∠B=∠BAD=∠CAD.
∴BD=AD.
在△BDE 和△ADF 中,
∵$\begin{cases}BD=AD,\\∠B=∠FAD,\\BE=AF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF.(SAS)
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°.
∴△DEF 为等腰直角三角形.
解析
【分析】
要证明△DEF为等腰直角三角形，需要同时证明两条边相等（DE=DF）且两边的夹角为90°（∠EDF=90°）。题目给出等腰直角△ABC且D是BC中点，遇到等腰直角三角形斜边中点的条件时，常作辅助线连接斜边中线AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到相等的边与角，再结合已知BE=AF，可证明△BDE与△ADF全等，通过全等的性质得到边相等和角相等，进一步推导∠EDF为直角，即可完成证明。
【解析】
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，
∴BD=AD。
在△BDE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}BD=AD\\ ∠ B=∠ FAD\\ BE=AF\end{array} $
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF。
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形。
【答案】
证明:如图,连接 AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D 为 BC 的中点,
∴AD 平分∠BAC,∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∴∠B=∠BAD=∠CAD.
∴BD=AD.
在△BDE 和△ADF 中,
∵$\begin{cases}BD=AD,\\∠B=∠FAD,\\BE=AF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF.(SAS)
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°.
∴△DEF 为等腰直角三角形.
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.全等三角形的SAS判定
3.等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形相关证明的典型题型，解题核心是掌握“等腰直角三角形遇斜边中点，连接斜边中线”这一常用辅助线技巧，通过构造全等三角形转化边和角的等量关系，进而完成结论证明。
【难度系数】
0.7
要证明△DEF为等腰直角三角形，需要同时证明两条边相等（DE=DF）且两边的夹角为90°（∠EDF=90°）。题目给出等腰直角△ABC且D是BC中点，遇到等腰直角三角形斜边中点的条件时，常作辅助线连接斜边中线AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到相等的边与角，再结合已知BE=AF，可证明△BDE与△ADF全等，通过全等的性质得到边相等和角相等，进一步推导∠EDF为直角，即可完成证明。
【解析】
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，
∴BD=AD。
在△BDE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}BD=AD\\ ∠ B=∠ FAD\\ BE=AF\end{array} $
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF。
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形。
【答案】
证明:如图,连接 AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D 为 BC 的中点,
∴AD 平分∠BAC,∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∴∠B=∠BAD=∠CAD.
∴BD=AD.
在△BDE 和△ADF 中,
∵$\begin{cases}BD=AD,\\∠B=∠FAD,\\BE=AF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF.(SAS)
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°.
∴△DEF 为等腰直角三角形.
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.全等三角形的SAS判定
3.等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形相关证明的典型题型，解题核心是掌握“等腰直角三角形遇斜边中点，连接斜边中线”这一常用辅助线技巧，通过构造全等三角形转化边和角的等量关系，进而完成结论证明。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=3∠ C$，AD平分$∠ BAC$交BC于点D，$BE⊥ AD$于点E.求证：$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.
答案
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(ASA)
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC-AB).
解析
【分析】
要证明$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$，首先观察到已知条件中有AD平分∠BAC，且BE⊥AD，这类“角平分线+边上的垂线”的结构，通常采用延长垂线构造全等三角形的思路：延长BE交AC于点F。首先通过ASA证明$△ ABE ≌ △ AFE$，即可得到$AB=AF$，$BE=EF$，此时$AC-AB$可转化为$AC-AF=CF$，接下来只需证明$BF=CF$，且$BE$是$BF$的一半即可。再结合已知$∠ ABC=3∠ C$，利用三角形外角的性质推导角的等量关系，证明$∠ CBF=∠ C$，得到$BF=CF$，即可完成推导。
【解析】
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(ASA)
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC-AB).
【答案】
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(ASA)
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC-AB).
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何辅助线应用的典型题型，解题核心是利用“角平分线遇垂线，延长构造全等三角形”的常用技巧，实现线段和角的等量转化，能够有效考查学生对几何条件的整合能力和辅助线构造的应用能力。
【难度系数】
0.6
要证明$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$，首先观察到已知条件中有AD平分∠BAC，且BE⊥AD，这类“角平分线+边上的垂线”的结构，通常采用延长垂线构造全等三角形的思路：延长BE交AC于点F。首先通过ASA证明$△ ABE ≌ △ AFE$，即可得到$AB=AF$，$BE=EF$，此时$AC-AB$可转化为$AC-AF=CF$，接下来只需证明$BF=CF$，且$BE$是$BF$的一半即可。再结合已知$∠ ABC=3∠ C$，利用三角形外角的性质推导角的等量关系，证明$∠ CBF=∠ C$，得到$BF=CF$，即可完成推导。
【解析】
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(ASA)
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC-AB).
【答案】
证明:如图,延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE 和△AFE 中,
∵$\begin{cases}∠AEB=∠AEF,\\AE=AE,\\∠BAE=∠FAE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE.(ASA)
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=$\frac{1}{2}$(AC-AB).
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何辅助线应用的典型题型，解题核心是利用“角平分线遇垂线，延长构造全等三角形”的常用技巧，实现线段和角的等量转化，能够有效考查学生对几何条件的整合能力和辅助线构造的应用能力。
【难度系数】
0.6
7.[一题多解]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点D,且$∠ ABC=2∠ C$.求证:$CD=AB+BD$.
答案
证法一:(截长法)如图①,在 DC 上取 DE=BD,连接 AE.
∵AD⊥BC,DE=BD,
∴AD 垂直平分 BE.
∴AB=AE.
∴∠ABC=∠AEB.
在△ACE 中,∠AEB=∠C+∠CAE.
又
∵∠ABC=2∠C,
∴2∠C=∠C+∠CAE.
∴∠C=∠CAE.
∴AE=CE.
∴CE=AB.
∴CD=CE+DE=AB+BD.
证法二:(补短法)如图②,延长 CB 到点 E,使 EB=AB,连接AE,则∠E=∠BAE,
∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E.
又
∵∠ABC=2∠C,
∴∠E=∠C.
∴AE=AC.
又
∵AD⊥BC,
∴ED=CD.
∵ED=EB+BD=AB+BD,
∴CD=AB+BD.
解析
【分析】
要证明$CD=AB+BD$，属于“一条线段等于两条线段之和”的典型几何证明题，常用解题思路为截长法或补短法：①截长法：在较长线段$CD$上截取一段等于较短的$BD$，证明剩余线段等于$AB$即可；②补短法：将较短线段$DB$延长，补出一段长度等于$AB$，证明延长后的总线段长度等于$CD$即可。结合题中$AD⊥BC$的垂直条件、$∠ABC=2∠C$的角度倍分关系，可通过构造等腰三角形，利用等腰三角形、三角形外角、垂直平分线的相关性质完成推导。
【解析】
证法一（截长法）
如图①，在$DC$上取$DE=BD$，连接$AE$。
∵$AD⊥BC$，$DE=BD$，
∴$AD$垂直平分$BE$，
∴$AB=AE$，
∴$∠ABC=∠AEB$。
在$△ ACE$中，根据三角形外角性质，$∠AEB=∠C+∠CAE$，
又
∵$∠ABC=2∠C$，
∴$2∠C=∠C+∠CAE$，
∴$∠C=∠CAE$，
∴$AE=CE$，
∴$CE=AB$，
∴$CD=CE+DE=AB+BD$。
证法二（补短法）
如图②，延长$CB$到点$E$，使$EB=AB$，连接$AE$，则$∠E=∠BAE$，
∴$∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E$，
又
∵$∠ABC=2∠C$，
∴$∠E=∠C$，
∴$AE=AC$。
又
∵$AD⊥BC$，等腰三角形三线合一，
∴$ED=CD$，
∵$ED=EB+BD=AB+BD$，
∴$CD=AB+BD$。
【答案】
证法一:(截长法)如图①,在 DC 上取 DE=BD,连接 AE.
∵AD⊥BC,DE=BD,
∴AD 垂直平分 BE.
∴AB=AE.
∴∠ABC=∠AEB.
在△ACE 中,∠AEB=∠C+∠CAE.
又
∵∠ABC=2∠C,
∴2∠C=∠C+∠CAE.
∴∠C=∠CAE.
∴AE=CE.
∴CE=AB.
∴CD=CE+DE=AB+BD.
证法二:(补短法)如图②,延长 CB 到点 E,使 EB=AB,连接AE,则∠E=∠BAE,
∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E.
又
∵∠ABC=2∠C,
∴∠E=∠C.
∴AE=AC.
又
∵AD⊥BC,
∴ED=CD.
∵ED=EB+BD=AB+BD,
∴CD=AB+BD.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是线段和差关系证明的典型题，核心考查截长补短法构造辅助线的思路，结合角度、垂直条件推导等腰三角形的边、角关系即可求证，掌握这类辅助线作法能有效解决同类几何证明问题。
【难度系数】
0.6
要证明$CD=AB+BD$，属于“一条线段等于两条线段之和”的典型几何证明题，常用解题思路为截长法或补短法：①截长法：在较长线段$CD$上截取一段等于较短的$BD$，证明剩余线段等于$AB$即可；②补短法：将较短线段$DB$延长，补出一段长度等于$AB$，证明延长后的总线段长度等于$CD$即可。结合题中$AD⊥BC$的垂直条件、$∠ABC=2∠C$的角度倍分关系，可通过构造等腰三角形，利用等腰三角形、三角形外角、垂直平分线的相关性质完成推导。
【解析】
证法一（截长法）
如图①，在$DC$上取$DE=BD$，连接$AE$。
∵$AD⊥BC$，$DE=BD$，
∴$AD$垂直平分$BE$，
∴$AB=AE$，
∴$∠ABC=∠AEB$。
在$△ ACE$中，根据三角形外角性质，$∠AEB=∠C+∠CAE$，
又
∵$∠ABC=2∠C$，
∴$2∠C=∠C+∠CAE$，
∴$∠C=∠CAE$，
∴$AE=CE$，
∴$CE=AB$，
∴$CD=CE+DE=AB+BD$。
证法二（补短法）
如图②，延长$CB$到点$E$，使$EB=AB$，连接$AE$，则$∠E=∠BAE$，
∴$∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E$，
又
∵$∠ABC=2∠C$，
∴$∠E=∠C$，
∴$AE=AC$。
又
∵$AD⊥BC$，等腰三角形三线合一，
∴$ED=CD$，
∵$ED=EB+BD=AB+BD$，
∴$CD=AB+BD$。
【答案】
证法一:(截长法)如图①,在 DC 上取 DE=BD,连接 AE.
∵AD⊥BC,DE=BD,
∴AD 垂直平分 BE.
∴AB=AE.
∴∠ABC=∠AEB.
在△ACE 中,∠AEB=∠C+∠CAE.
又
∵∠ABC=2∠C,
∴2∠C=∠C+∠CAE.
∴∠C=∠CAE.
∴AE=CE.
∴CE=AB.
∴CD=CE+DE=AB+BD.
证法二:(补短法)如图②,延长 CB 到点 E,使 EB=AB,连接AE,则∠E=∠BAE,
∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E.
又
∵∠ABC=2∠C,
∴∠E=∠C.
∴AE=AC.
又
∵AD⊥BC,
∴ED=CD.
∵ED=EB+BD=AB+BD,
∴CD=AB+BD.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是线段和差关系证明的典型题，核心考查截长补短法构造辅助线的思路，结合角度、垂直条件推导等腰三角形的边、角关系即可求证，掌握这类辅助线作法能有效解决同类几何证明问题。
【难度系数】
0.6
8.[一题多解]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=108°$,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.求证:$BC=AB+CD$.
答案
证法一(截长法):如图①,在边 BC 上取一点 E,使 BE=AB,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD 和△EBD 中,
∵$\begin{cases}AB=EB,\\∠ABD=∠EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△EBD.(SAS)
∴∠BAD=∠BED=108°,
∴∠DEC=180°-∠BED=180°-108°=72°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-108°)=36°.
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°.
∴∠CDE=∠DEC.
∴CD=CE.
∴BC=BE+CE=AB+CD.
证法二(补短法):如图②,延长 BA 至点 E,使 BE=BC,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠DBE=∠DBC.
在△BDE 和△BDC 中,
∵$\begin{cases}BE=BC,\\∠DBE=∠DBC,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△BDE≌△BDC.(SAS)
∴∠E=∠C,DE=DC.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-108°)=36°.
∴∠E=36°,
∴∠ADE=∠BAC-∠E=108°-36°=72°.
∵∠DAE=180°-∠BAC=180°-108°=72°,
∴∠ADE=∠DAE.
∴AE=DE.
∴AE=CD.
∵BE=AB+AE,
∴BC=AB+CD.
解析
【分析】
要证明$BC=AB+CD$这类线段和差等式，常用“截长补短”的思路：①截长法：在较长的线段$BC$上截取一段等于$AB$，只需证明剩余线段长度等于$CD$即可；②补短法：延长较短的线段$BA$，使延长后的总长度等于$BC$，只需证明延长部分的线段长度等于$CD$即可。两种思路都可以结合角平分线的性质构造全等三角形，再结合等腰三角形的性质与角度计算推导结论。
【解析】
证法一（截长法）：
如图①，在边$BC$上取一点$E$，使$BE=AB$，连接$DE$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ EBD$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中，
$\because \begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ BED=108°$，
$\therefore ∠ DEC=180°-∠ BED=180°-108°=72°$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ C-∠ DEC=180°-36°-72°=72°$。
$\therefore ∠ CDE=∠ DEC$，
$\therefore CD=CE$。
$\therefore BC=BE+CE=AB+CD$。
证法二（补短法）：
如图②，延长$BA$至点$E$，使$BE=BC$，连接$DE$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DBC$。
在$△ BDE$和$△ BDC$中，
$\because \begin{cases}BE=BC,\\∠ DBE=∠ DBC,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ E=∠ C,DE=DC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
$\therefore ∠ E=36°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ BAC-∠ E=108°-36°=72°$。
$\because ∠ DAE=180°-∠ BAC=180°-108°=72°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ DAE$，
$\therefore AE=DE$，
$\therefore AE=CD$。
$\because BE=AB+AE$，
$\therefore BC=AB+CD$。
【答案】
证法一(截长法):如图①,在边 BC 上取一点 E,使 BE=AB,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD 和△EBD 中,
∵$\begin{cases}AB=EB,\\∠ABD=∠EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△EBD.(SAS)
∴∠BAD=∠BED=108°,
∴∠DEC=180°-∠BED=180°-108°=72°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-108°)=36°.
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°.
∴∠CDE=∠DEC.
∴CD=CE.
∴BC=BE+CE=AB+CD.
证法二(补短法):如图②,延长 BA 至点 E,使 BE=BC,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠DBE=∠DBC.
在△BDE 和△BDC 中,
∵$\begin{cases}BE=BC,\\∠DBE=∠DBC,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△BDE≌△BDC.(SAS)
∴∠E=∠C,DE=DC.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-108°)=36°.
∴∠E=36°,
∴∠ADE=∠BAC-∠E=108°-36°=72°.
∵∠DAE=180°-∠BAC=180°-108°=72°,
∴∠ADE=∠DAE.
∴AE=DE.
∴AE=CD.
∵BE=AB+AE,
∴BC=AB+CD.
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、截长补短法
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题目，截长补短法是处理这类问题的常用辅助线构造方法，解题时结合角平分线的性质构造全等三角形，再通过角度计算推导等腰三角形即可完成证明，能够有效锻炼几何辅助线的构造逻辑。
【难度系数】
0.6
要证明$BC=AB+CD$这类线段和差等式，常用“截长补短”的思路：①截长法：在较长的线段$BC$上截取一段等于$AB$，只需证明剩余线段长度等于$CD$即可；②补短法：延长较短的线段$BA$，使延长后的总长度等于$BC$，只需证明延长部分的线段长度等于$CD$即可。两种思路都可以结合角平分线的性质构造全等三角形，再结合等腰三角形的性质与角度计算推导结论。
【解析】
证法一（截长法）：
如图①，在边$BC$上取一点$E$，使$BE=AB$，连接$DE$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ EBD$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中，
$\because \begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ BED=108°$，
$\therefore ∠ DEC=180°-∠ BED=180°-108°=72°$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
$\therefore ∠ CDE=180°-∠ C-∠ DEC=180°-36°-72°=72°$。
$\therefore ∠ CDE=∠ DEC$，
$\therefore CD=CE$。
$\therefore BC=BE+CE=AB+CD$。
证法二（补短法）：
如图②，延长$BA$至点$E$，使$BE=BC$，连接$DE$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DBC$。
在$△ BDE$和$△ BDC$中，
$\because \begin{cases}BE=BC,\\∠ DBE=∠ DBC,\\BD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ BDC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ E=∠ C,DE=DC$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$。
$\therefore ∠ E=36°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ BAC-∠ E=108°-36°=72°$。
$\because ∠ DAE=180°-∠ BAC=180°-108°=72°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ DAE$，
$\therefore AE=DE$，
$\therefore AE=CD$。
$\because BE=AB+AE$，
$\therefore BC=AB+CD$。
【答案】
证法一(截长法):如图①,在边 BC 上取一点 E,使 BE=AB,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD 和△EBD 中,
∵$\begin{cases}AB=EB,\\∠ABD=∠EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△EBD.(SAS)
∴∠BAD=∠BED=108°,
∴∠DEC=180°-∠BED=180°-108°=72°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-108°)=36°.
∴∠CDE=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°.
∴∠CDE=∠DEC.
∴CD=CE.
∴BC=BE+CE=AB+CD.
证法二(补短法):如图②,延长 BA 至点 E,使 BE=BC,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠DBE=∠DBC.
在△BDE 和△BDC 中,
∵$\begin{cases}BE=BC,\\∠DBE=∠DBC,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△BDE≌△BDC.(SAS)
∴∠E=∠C,DE=DC.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-108°)=36°.
∴∠E=36°,
∴∠ADE=∠BAC-∠E=108°-36°=72°.
∵∠DAE=180°-∠BAC=180°-108°=72°,
∴∠ADE=∠DAE.
∴AE=DE.
∴AE=CD.
∵BE=AB+AE,
∴BC=AB+CD.
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、截长补短法
【点评】
本题是线段和差类证明的典型题目，截长补短法是处理这类问题的常用辅助线构造方法，解题时结合角平分线的性质构造全等三角形，再通过角度计算推导等腰三角形即可完成证明，能够有效锻炼几何辅助线的构造逻辑。
【难度系数】
0.6
