1.(2025·高邮期末)如图,已知∠1=∠2,用“SAS”证△ABC≌△ABD,还需 ()

A.BC=BD
B.AC=AD
C.∠C=∠D
D.∠ABC=∠ABD

第1题图 第2题图 第3题图

1.B

【分析】
首先回忆“SAS”判定三角形全等的定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。先梳理已知的相等条件：△ABC和△ABD有公共边AB，可得AB=AB；题目给出∠1=∠2，即两个三角形中∠CAB=∠DAB，这个角是一组相等边AB的夹角。要凑齐SAS的条件，已有夹角和夹角的一条边相等，还需要夹角的另一条边对应相等，也就是AC=AD。同时要注意排除其他不符合SAS的选项：若选边BC、BD会构成不能判定全等的SSA，选角相等则是AAS或ASA判定，均不符合题干要求的SAS。
【解析】
要使用“SAS”证明△ABC≌△ABD，需满足“两边及夹角对应相等”的条件：
1. 先找现有相等条件：
△ABC和△ABD共边AB，因此AB=AB；
已知∠1=∠2，即∠CAB=∠DAB，为两组边的夹角。
2. 分析缺少的条件：
夹∠CAB的两边为AC、AB，夹∠DAB的两边为AD、AB，已有AB=AB，因此还需AC=AD，即可满足SAS判定。
3. 逐一验证选项：
A选项BC=BD：构成SSA，无法判定全等，不符合要求；
B选项AC=AD：刚好满足SAS判定的条件，符合要求；
C选项∠C=∠D：属于AAS判定，不符合SAS要求；
D选项∠ABC=∠ABD：属于ASA判定，不符合SAS要求。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等；公共边性质
【点评】
本题重点考查全等三角形“SAS”判定定理的基础应用，解题核心是明确“SAS”中相等的角必须是两组相等对应边的夹角，要注意区分无法判定全等的SSA情况，属于全等判定的基础概念考查题。
【难度系数】
0.8

2.如图，$AB=AC$，根据“SAS”判定$△ ABD ≌ △ ACE$，还需添加的条件是（）

A.$BD=CE$
B.$AE=AD$
C.$BO=CO$
D.以上都不对

2.B

【分析】
要使用“SAS”判定△ABD≌△ACE，首先回忆“SAS”的判定要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等。首先梳理两个三角形现有的相等条件：①题目已知AB=AC；②∠A是△ABD和△ACE的公共角，故∠A=∠A。此时已有一组边相等、一组夹角相等，还缺夹∠A的另一组对应边相等，即AD=AE（也就是AE=AD）。再逐一排查选项：A选项的BD=CE属于“SSA”，不符合SAS要求，不能判定全等；C选项的BO=CO无法推导出SAS所需的对应边相等条件，因此只有B符合要求。
【解析】
全等三角形“SAS”判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
在△ABD和△ACE中：
已知AB=AC，∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A。
若添加条件AE=AD，则满足：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠A=∠A\\AD=AE\end{array} $
符合“SAS”判定条件，可推出△ABD≌△ACE。
对其他选项分析：
A选项：添加BD=CE时，满足的是两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等；
C选项：添加BO=CO，无法得到SAS判定所需的对应边相等条件，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 公共角的性质
【点评】
本题主要考查全等三角形“SAS”判定的应用，解题的关键是明确“SAS”中的角必须是两组相等对应边的夹角，注意区分“SAS”和“SSA”，避免混淆判定条件导致错选。
【难度系数】
0.8

3.如图，已知∠ABC=∠DCB，能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB的条件是（）

A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DBC
D.AC=DB

3.A

【分析】
解决这道题首先要明确全等三角形“SAS”判定定理的核心：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，其中相等的角必须是两组相等边的夹角。首先梳理现有已知条件：①∠ABC=∠DCB；②两个三角形有公共边BC=CB。要满足SAS判定，只需补充已知角的另一组夹边相等即可，再逐一核对选项，同时注意“SSA”不能判定三角形全等，避免错选。
【解析】
要使用“SAS”证明△ABC≌△DCB，先整理已有相等条件：
1. 题目已知∠ABC=∠DCB；
2. BC是△ABC和△DCB的公共边，因此BC=CB。
根据“SAS”的要求，相等的角必须是两组相等边的夹角，因此需要补充∠ABC的另一邻边AB、∠DCB的另一邻边DC相等，即AB=DC。
对选项逐一分析：
A选项：AB=DC，此时满足AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，完全符合“SAS”判定，正确；
B选项：∠A=∠D，结合已知条件属于“AAS”判定范畴，不符合“SAS”要求，排除；
C选项：∠ACB=∠DBC，结合已知条件属于“ASA”判定范畴，不符合“SAS”要求，排除；
D选项：AC=DB，此时相等的两边与一角属于“SSA”，不能判定三角形全等，排除。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，重点考查对“SAS”判定中“夹角”概念的理解，解题时需准确对应相等的边和角，注意区分无法判定全等的“SSA”情况。
【难度系数】
0.8

4.(2024·云南)如图,在$△ ABC$和$△ AED$中,$AB=AE$,$∠ BAE=∠ CAD$,$AC=AD$.求证:$△ ABC≌△ AED$.

4.$\because ∠ BAE=∠ CAD,\therefore ∠ BAE+∠ CAE=∠ CAD+∠ CAE$,即$∠ BAC=∠ EAD$,
在$△ ABC$和$△ AED$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$

【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先明确已知条件给出了两组对应边相等：AB=AE、AC=AD，根据全等三角形的SAS判定定理，只需再证明这两组边的夹角∠BAC=∠EAD即可。已知∠BAE=∠CAD，两个相等的角同时加上公共角∠CAE，根据等式的性质，所得的和仍然相等，即可推出所需的等角，进而完成全等证明。
【解析】
证明：$\because ∠ BAE=∠ CAD$，$\therefore ∠ BAE+∠ CAE=∠ CAD+∠ CAE$，即$∠ BAC=∠ EAD$，
在$△ ABC$和$△ AED$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌ △ AED(\mathrm{SAS})$
【答案】
$\because ∠ BAE=∠ CAD,\therefore ∠ BAE+∠ CAE=∠ CAD+∠ CAE$,即$∠ BAC=∠ EAD$,
在$△ ABC$和$△ AED$中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等 2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心考查对SAS判定定理的理解和运用，解题关键是通过等角加公共角得到两组对应边的夹角相等，解题时需注意准确识别两个三角形的对应边和对应角，避免混淆对应元素。
【难度系数】
0.85

5.(2025·沙河口期末)如图,点A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,AB//DE,求证:∠B=∠E.

5.$\because AF=DC,\therefore AF-FC=DC-FC,\therefore AC=DF$,$\because AB// DE,\therefore ∠ A=∠ D$,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \\ AC=DF, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ B=∠ E$

【分析】
要证明∠B=∠E，可通过证明两角所在的△ABC和△DEF全等实现。首先梳理已知条件：已知AB=DE，AB//DE可推出内错角∠A=∠D，还差一组对应边相等；已知AF=DC，将两线段同时减去公共部分FC，即可得到AC=DF，此时满足全等三角形的SAS判定条件，证得全等后即可推出对应角∠B=∠E。
【解析】
证明：
$\because AF=DC$，
$\therefore AF-FC=DC-FC$，即$AC=DF$，
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ A=∠ D$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ E$。
【答案】
$\because AF=DC,\therefore AF-FC=DC-FC,\therefore AC=DF$,$\because AB// DE,\therefore ∠ A=∠ D$,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \\ AC=DF, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ B=∠ E$
【知识点】
平行线的性质；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等证明的基础题型，核心是利用线段的和差关系、平行线的性质推导三角形全等的判定条件，再通过全等三角形的性质得到对应角相等，解题时要注意证明步骤的逻辑连贯性和书写规范。
【难度系数】
0.8

6. 情境题 现实生活 如图,把两根细木棍的一端用钉子钉在一起,使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,固定住长木棍,把短木棍摆动,端点落在射线BC上的C,D两点位置时,形成的△OBD和△OBC中有OB=OB,OC=OD,∠OBD=∠CBO.则△OBD与△OBC (填“全等”或“不全等”).

第6题图 第7题图

6.不全等

【分析】
要判断两个三角形是否全等，首先回忆全等三角形的判定定理，其中“边角边（SAS）”要求必须是两边及其夹角对应相等才能判定全等，“边边角（SSA）”无法判定三角形全等。先梳理已知条件：△OBD和△OBC有公共边OB=OB，短木棍长度不变所以OC=OD，同时∠OBD=∠CBO。接下来判断相等的角是不是两组相等边的夹角：相等的边是OB、OD与OB、OC，对应的夹角应该是∠BOD和∠BOC，但题目给出的相等角是∠OBD和∠CBO，属于两边中一边的对角，不符合SAS的判定要求，因此无法判定两个三角形全等。
【解析】
解：根据全等三角形的“边角边（SAS）”判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
对△OBD和△OBC，已知条件为：
① OB是公共边，故OB=OB；
② 短木棍长度不变，故OD=OC；
③ ∠OBD=∠CBO。
其中，∠OBD是△OBD中边OB和BD的夹角，不是OB和OD的夹角；∠CBO是△OBC中边OB和BC的夹角，不是OB和OC的夹角。
因此已知条件属于“两边及其中一边的对角相等（SSA）”的情形，SSA不能判定两个三角形全等，故△OBD与△OBC不全等。
【答案】
不全等
【知识点】
全等三角形的判定；边角边（SAS）判定定理
【点评】
本题是全等三角形判定的基础概念题，核心考查对“边角边”判定中“夹角”要求的理解，帮助大家明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，做题时要注意区分两边是“夹一角”还是“对一角”，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7

7.(开放条件)如图,已知$BC=EF$,$AF=DC$,点$A,F,C,D$四点在同一直线上.要利用“SAS”来判定$△ ABC ≌ △ DEF$,下列四个条件:①$∠ A=∠ D$;②$∠ ACB=∠ DFE$;③$AB // DE$;④$BC // EF$.可以利用的是.

7.②④

【分析】
要利用“SAS”判定三角形全等，需先明确已知的等边，再推导所需的夹角相等条件。首先由AF=DC，结合线段和差可得AC=DF，此时已有两组等边：AC=DF、BC=EF，SAS要求这两组边的夹角对应相等，即∠ACB=∠DFE，接下来逐一判断四个条件能否推出该夹角相等即可。
【解析】
第一步：推导等边
已知AF=DC，根据等式的性质，两边同时加FC可得：$AF+FC=DC+FC$，即$AC=DF$。
此时已知$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF$，$BC=EF$，要使用“SAS”判定全等，需要两边的夹角相等，即$∠ ACB=∠ DFE$。
第二步：逐一判断条件
①$∠ A=∠ D$：此时已知条件为$AC=DF$，$BC=EF$，$∠ A=∠ D$，属于“SSA”，不能判定三角形全等，不符合要求；
②$∠ ACB=∠ DFE$：此时满足$AC=DF$，$∠ ACB=∠ DFE$，$BC=EF$，符合“SAS”判定条件，可判定全等；
③$AB// DE$：由平行线的性质可得$∠ A=∠ D$，同①，属于“SSA”，不能判定全等，不符合要求；
④$BC// EF$：由平行线的内错角相等可得$∠ ACB=∠ DFE$，同②，符合“SAS”判定条件，可判定全等。
综上，可利用的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
SAS判定三角形全等，平行线的性质，线段和差计算
【点评】
本题解题的核心是明确“SAS”判定中“角必须是两组对应边的夹角”，切记“SSA”不能判定三角形全等，同时要熟练运用平行线的性质推导角相等。
【难度系数】
0.7