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10. (2025·安庆二模)如图所示是小明设计的电子量角器电路图,电流表量程为0~0.6 A,电压表量程为0~3 V,O为半圆弧电阻MN的圆心,金属滑片OP为半径,与半圆弧接触良好,接入电路的电阻$R_{MP}$与指针旋转角度θ成正比,θ可调节的范围为0~180°,电源电压恒为6 V,$R_0$为电阻箱。将滑片OP旋转至M处,调节$R_0$的阻值,使电路中电流为0.6 A。求:
(1)电阻箱接入电路的阻值;
(2)调节θ为60°时,电压表示数为3 V,此时电流表示数;
(3)为能满足测量要求,需重新调节电阻箱$R_0$,则满足要求的$R_0$最小阻值。
(1)电阻箱接入电路的阻值;
(2)调节θ为60°时,电压表示数为3 V,此时电流表示数;
(3)为能满足测量要求,需重新调节电阻箱$R_0$,则满足要求的$R_0$最小阻值。
答案
解：
(1) 将滑片OP旋转至M处时，$R_{MP}=0$，电路为$R_0$的简单电路，
由欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$ 得，电阻箱接入电路的阻值：
$R_0 = \frac{U}{I_1} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
(2) $θ$为$60°$时，$R_{MP}$与$R_0$串联，电压表测$R_{MP}$两端电压，
由串联电路电压规律得，$R_0$两端的电压：
$U_0 = U - U_{MP} = 6\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} = 3\ \mathrm{V}$
串联电路电流处处相等，电路电流即电流表示数：
$I_2 = \frac{U_0}{R_0} = \frac{3\ \mathrm{V}}{10\ \Omega} = 0.3\ \mathrm{A}$
此时$R_{MP}$的阻值：
$R_{MP} = \frac{U_{MP}}{I_2} = \frac{3\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
由$R_{MP}$与$θ$成正比，得$θ=180°$时半圆弧电阻的最大阻值：
$R_{MP\mathrm{max}} = \frac{180°}{60°} × 10\ \Omega = 30\ \Omega$
(3) 为满足测量要求，需同时满足两个限制条件：
① 电路电流不超过电流表量程$0∼0.6\ \mathrm{A}$，当$R_{MP}=0$时电路电流最大：
$I_{\mathrm{max}} = \frac{U}{R_0} ≤ 0.6\ \mathrm{A}$
解得 $R_0 ≥ 10\ \Omega$
② 当$R_{MP}$取最大值$30\ \Omega$时，其两端电压不超过电压表量程$0∼3\ \mathrm{V}$：
$U_{MP\mathrm{max}}' = \frac{U}{R_0 + R_{MP\mathrm{max}}} · R_{MP\mathrm{max}} ≤ 3\ \mathrm{V}$
代入数据得：
$\frac{6\ \mathrm{V}}{R_0 + 30\ \Omega} × 30\ \Omega ≤ 3\ \mathrm{V}$
解得 $R_0 ≥ 30\ \Omega$
综合两个条件，满足要求的$R_0$最小阻值为$30\ \Omega$。
答：(1) 电阻箱接入电路的阻值为$10\ \Omega$；(2) 电流表示数为$0.3\ \mathrm{A}$；(3) 满足要求的$R_0$最小阻值为$30\ \Omega$。
(1) 将滑片OP旋转至M处时，$R_{MP}=0$，电路为$R_0$的简单电路，
由欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$ 得，电阻箱接入电路的阻值：
$R_0 = \frac{U}{I_1} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
(2) $θ$为$60°$时，$R_{MP}$与$R_0$串联，电压表测$R_{MP}$两端电压，
由串联电路电压规律得，$R_0$两端的电压：
$U_0 = U - U_{MP} = 6\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} = 3\ \mathrm{V}$
串联电路电流处处相等，电路电流即电流表示数：
$I_2 = \frac{U_0}{R_0} = \frac{3\ \mathrm{V}}{10\ \Omega} = 0.3\ \mathrm{A}$
此时$R_{MP}$的阻值：
$R_{MP} = \frac{U_{MP}}{I_2} = \frac{3\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
由$R_{MP}$与$θ$成正比，得$θ=180°$时半圆弧电阻的最大阻值：
$R_{MP\mathrm{max}} = \frac{180°}{60°} × 10\ \Omega = 30\ \Omega$
(3) 为满足测量要求，需同时满足两个限制条件：
① 电路电流不超过电流表量程$0∼0.6\ \mathrm{A}$，当$R_{MP}=0$时电路电流最大：
$I_{\mathrm{max}} = \frac{U}{R_0} ≤ 0.6\ \mathrm{A}$
解得 $R_0 ≥ 10\ \Omega$
② 当$R_{MP}$取最大值$30\ \Omega$时，其两端电压不超过电压表量程$0∼3\ \mathrm{V}$：
$U_{MP\mathrm{max}}' = \frac{U}{R_0 + R_{MP\mathrm{max}}} · R_{MP\mathrm{max}} ≤ 3\ \mathrm{V}$
代入数据得：
$\frac{6\ \mathrm{V}}{R_0 + 30\ \Omega} × 30\ \Omega ≤ 3\ \mathrm{V}$
解得 $R_0 ≥ 30\ \Omega$
综合两个条件，满足要求的$R_0$最小阻值为$30\ \Omega$。
答：(1) 电阻箱接入电路的阻值为$10\ \Omega$；(2) 电流表示数为$0.3\ \mathrm{A}$；(3) 满足要求的$R_0$最小阻值为$30\ \Omega$。
解析
【分析】
首先明确电路结构：半圆弧电阻MN的接入部分$R_{MP}$与电阻箱$R_0$串联，电流表测电路总电流，电压表测$R_{MP}$两端电压。解题思路分三步：
1. 滑片在M处时，$R_{MP}=0$，电路为$R_0$的简单电路，根据欧姆定律直接计算$R_0$；
2. $θ=60°$时，利用串联电路电压规律算出$R_0$两端电压，结合$R_0$的阻值求出电路电流（即电流表示数），再根据$R_{MP}$与$θ$成正比的关系，算出$θ=180°$时的最大$R_{MP}$；
3. 要满足测量要求，需同时考虑电流表量程（电流不超过0.6A）和电压表量程（$R_{MP}$最大电压不超过3V），分别列不等式求解$R_0$的范围，取最小值。
【解析】
解：
(1) 当滑片OP旋转至M处时，接入电路的电阻$R_{MP}=0$，电路为$R_0$的简单电路，电源电压$U=6\ \mathrm{V}$，此时电流$I_1=0.6\ \mathrm{A}$。
根据欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$，可得电阻箱接入的阻值：
$R_0 = \frac{U}{I_1} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
(2) 当$θ=60°$时，$R_{MP}$与$R_0$串联，电压表测$R_{MP}$两端电压，$U_{MP}=3\ \mathrm{V}$。
根据串联电路电压规律，$R_0$两端的电压：
$U_0 = U - U_{MP} = 6\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} = 3\ \mathrm{V}$
串联电路电流处处相等，电路电流（电流表示数）：
$I_2 = \frac{U_0}{R_0} = \frac{3\ \mathrm{V}}{10\ \Omega} = 0.3\ \mathrm{A}$
此时$R_{MP}$的阻值：
$R_{MP} = \frac{U_{MP}}{I_2} = \frac{3\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
由$R_{MP}$与$θ$成正比，$θ=180°$时半圆弧电阻的最大阻值：
$R_{MP\mathrm{max}} = \frac{180°}{60°} × 10\ \Omega = 30\ \Omega$
(3) 要满足测量要求，需同时满足两个限制条件：
① 电流表量程为0~0.6A，当$R_{MP}=0$时，电路电流最大，需不超过0.6A：
$I_{\mathrm{max}} = \frac{U}{R_0} ≤ 0.6\ \mathrm{A}$
代入$U=6\ \mathrm{V}$，解得 $R_0 ≥ \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
② 电压表量程为0~3V，当$R_{MP}$取最大值$30\ \Omega$时，其两端电压需不超过3V：
串联电路中，$R_{MP}$两端电压 $U_{MP\mathrm{max}}' = \frac{U}{R_0 + R_{MP\mathrm{max}}} × R_{MP\mathrm{max}} ≤ 3\ \mathrm{V}$
代入$U=6\ \mathrm{V}$，$R_{MP\mathrm{max}}=30\ \Omega$，得：
$\frac{6\ \mathrm{V}}{R_0 + 30\ \Omega} × 30\ \Omega ≤ 3\ \mathrm{V}$
解此不等式：
$180 ≤ 3(R_0 + 30)$
$180 ≤ 3R_0 + 90$
$3R_0 ≥ 90$
$R_0 ≥ 30\ \Omega$
综合两个条件，$R_0$需同时满足$R_0≥10\ \Omega$和$R_0≥30\ \Omega$，故满足要求的$R_0$最小阻值为$30\ \Omega$。
【答案】
(1) $10\ \Omega$；(2) $0.3\ \mathrm{A}$；(3) $30\ \Omega$
【知识点】
欧姆定律、串联电路特点、电阻比例关系
【点评】
本题结合电子量角器的实际电路，考查串联电路规律和欧姆定律的应用，需同时考虑电流表、电压表的量程限制，分情况讨论求解，对学生的综合分析能力要求较高，是电路知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
首先明确电路结构：半圆弧电阻MN的接入部分$R_{MP}$与电阻箱$R_0$串联，电流表测电路总电流，电压表测$R_{MP}$两端电压。解题思路分三步：
1. 滑片在M处时，$R_{MP}=0$，电路为$R_0$的简单电路，根据欧姆定律直接计算$R_0$；
2. $θ=60°$时，利用串联电路电压规律算出$R_0$两端电压，结合$R_0$的阻值求出电路电流（即电流表示数），再根据$R_{MP}$与$θ$成正比的关系，算出$θ=180°$时的最大$R_{MP}$；
3. 要满足测量要求，需同时考虑电流表量程（电流不超过0.6A）和电压表量程（$R_{MP}$最大电压不超过3V），分别列不等式求解$R_0$的范围，取最小值。
【解析】
解：
(1) 当滑片OP旋转至M处时，接入电路的电阻$R_{MP}=0$，电路为$R_0$的简单电路，电源电压$U=6\ \mathrm{V}$，此时电流$I_1=0.6\ \mathrm{A}$。
根据欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$，可得电阻箱接入的阻值：
$R_0 = \frac{U}{I_1} = \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
(2) 当$θ=60°$时，$R_{MP}$与$R_0$串联，电压表测$R_{MP}$两端电压，$U_{MP}=3\ \mathrm{V}$。
根据串联电路电压规律，$R_0$两端的电压：
$U_0 = U - U_{MP} = 6\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} = 3\ \mathrm{V}$
串联电路电流处处相等，电路电流（电流表示数）：
$I_2 = \frac{U_0}{R_0} = \frac{3\ \mathrm{V}}{10\ \Omega} = 0.3\ \mathrm{A}$
此时$R_{MP}$的阻值：
$R_{MP} = \frac{U_{MP}}{I_2} = \frac{3\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
由$R_{MP}$与$θ$成正比，$θ=180°$时半圆弧电阻的最大阻值：
$R_{MP\mathrm{max}} = \frac{180°}{60°} × 10\ \Omega = 30\ \Omega$
(3) 要满足测量要求，需同时满足两个限制条件：
① 电流表量程为0~0.6A，当$R_{MP}=0$时，电路电流最大，需不超过0.6A：
$I_{\mathrm{max}} = \frac{U}{R_0} ≤ 0.6\ \mathrm{A}$
代入$U=6\ \mathrm{V}$，解得 $R_0 ≥ \frac{6\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}} = 10\ \Omega$
② 电压表量程为0~3V，当$R_{MP}$取最大值$30\ \Omega$时，其两端电压需不超过3V：
串联电路中，$R_{MP}$两端电压 $U_{MP\mathrm{max}}' = \frac{U}{R_0 + R_{MP\mathrm{max}}} × R_{MP\mathrm{max}} ≤ 3\ \mathrm{V}$
代入$U=6\ \mathrm{V}$，$R_{MP\mathrm{max}}=30\ \Omega$，得：
$\frac{6\ \mathrm{V}}{R_0 + 30\ \Omega} × 30\ \Omega ≤ 3\ \mathrm{V}$
解此不等式：
$180 ≤ 3(R_0 + 30)$
$180 ≤ 3R_0 + 90$
$3R_0 ≥ 90$
$R_0 ≥ 30\ \Omega$
综合两个条件，$R_0$需同时满足$R_0≥10\ \Omega$和$R_0≥30\ \Omega$，故满足要求的$R_0$最小阻值为$30\ \Omega$。
【答案】
(1) $10\ \Omega$；(2) $0.3\ \mathrm{A}$；(3) $30\ \Omega$
【知识点】
欧姆定律、串联电路特点、电阻比例关系
【点评】
本题结合电子量角器的实际电路，考查串联电路规律和欧姆定律的应用，需同时考虑电流表、电压表的量程限制，分情况讨论求解，对学生的综合分析能力要求较高，是电路知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
