1. 幂的乘方:底数________，指数________。
用式子表示:$(a^m)^n=\_\_\_\_\_\_$（$m,n$都是正整数）。
推广：______（$m,n,p$均为正整数）。

解：
幂的乘方:底数不变，指数相乘。
用式子表示:$(a^m)^n=\boldsymbol{a^{mn}}$（$m,n$都是正整数）。
推广：$\boldsymbol{((a^m)^n)^p=a^{mnp}}$（$m,n,p$均为正整数）。

【分析】
这道题考查幂的乘方的基础运算法则，解题时首先回忆幂的乘方的文字表述规则：运算过程中底数保持不变，仅将指数做相乘运算；再对应写出字母表示的标准公式；当遇到多个幂的乘方连续运算的推广场景时，遵循相同规则，把所有指数相乘即可得到最终指数，底数仍保持不变。
【解析】
根据幂的乘方的运算法则：
1. 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
2. 标准公式：当$m,n$都是正整数时，$(a^m)^n=a^{mn}$；
3. 推广规则：当$m,n,p$均为正整数时，连续幂的乘方运算仍遵循底数不变、所有指数相乘的规律，即$((a^m)^n)^p=a^{mnp}$。
【答案】
不变；相乘；$a^{mn}$；$((a^m)^n)^p=a^{mnp}$
【知识点】
幂的乘方法则，幂的乘方公式，幂的乘方推广
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察幂的乘方的核心性质，熟练掌握相关运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.计算:
(1)$(10^3)^2=$;
(2)$-(a^2)^3· a=$;
(3)$(m^2)^4· (-m)^2· m=$.

(1)$\boldsymbol{10^6}$（或1000000）；(2)$\boldsymbol{-a^7}$；(3)$\boldsymbol{m^{11}}$。

【分析】
这三道题均考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆幂的运算相关法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）；③负数的偶次幂为正，单独的字母指数默认为1。解题时遵循先算乘方、再算乘法的顺序，同时注意符号的处理。
第(1)题直接套用幂的乘方法则计算即可；第(2)题先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，注意保留原式的负号；第(3)题先分别计算两个乘方运算，再将三个同底数幂相乘，注意$(-m)^2$的符号处理和单独$m$的指数为1。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则：
$(10^3)^2 = 10^{3×2} = 10^6$（也可写成1000000）。
(2) 先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法：
首先计算$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$，
再计算乘法：$-(a^2)^3·a = -a^6·a = -a^{6+1} = -a^7$。
(3) 先算乘方，再算同底数幂的乘法：
首先计算$(m^2)^4 = m^{2×4}=m^8$，$(-m)^2 = m^2$，
再计算乘法：$(m^2)^4·(-m)^2·m = m^8·m^2·m^1 = m^{8+2+1}=m^{11}$。
【答案】
(1)$10^6$（或1000000）；(2)$-a^7$；(3)$m^{11}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；乘方符号法则
【点评】
本题是幂的运算的基础常规题型，核心考查对幂的运算法则的记忆与应用，解题时要注意运算顺序，先乘方后乘法，同时不要忽略负号的奇偶次幂规律、以及指数为1的字母的指数计算，避免出现漏加指数、法则混淆的错误。
【难度系数】
0.8

3.若$x^3=m$,则$x^{12}=$（用含有$m$的代数式表示）.

$\boldsymbol{m^4}$

【分析】
解题时首先观察已知条件$x^3=m$和待求式$x^{12}$的指数关系，发现12可以拆分为$3×4$，此时可运用幂的乘方法则的逆用：指数为两数乘积的幂，可转化为底数不变、指数取其中一个数的幂再进行乘方的形式，将$x^{12}$转化为以$x^3$为底数的幂，再代入已知条件即可求解。
【解析】
根据幂的乘方法则的逆运算可得：
$x^{12}=x^{3×4}=(x^3)^4$
将已知$x^3=m$代入上式，得：
$(x^3)^4=m^4$
【答案】
$m^4$
【知识点】
幂的乘方运算，代数式代入求值
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查幂的乘方法则的逆用，解题关键是找到待求式和已知式的指数关联，熟练掌握幂的各类运算法则就能快速解答此类问题。
【难度系数】
0.9

4.若$64×8^3=2^x$,则$x=$.

解：
∵64=2⁶，8=2³，
∴64×8³
=2⁶×(2³)³
=2⁶×2⁹
=2^(6+9)
=2¹⁵
又∵64×8³=2^x，
∴2^x=2¹⁵，
即x=15。

【分析】
本题要求x的值，观察等式右侧是底数为2的幂，因此解题核心是将等式左侧的数都转化为以2为底的幂的形式，再利用幂的运算法则合并，最后根据“同底数的幂相等时指数相等”的性质求解。具体思考步骤为：①先明确64、8分别是2的几次方；②用幂的乘方法则化简8³对应的幂；③用同底数幂的乘法法则计算左侧的结果，所得指数即为x的值。
【解析】
解：
∵64=2⁶，8=2³，
∴64×8³
=2⁶×(2³)³
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(2^3)^3=2^{3×3}=2^9$，
∴原式$=2^6×2^9$
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$2^6×2^9=2^{6+9}=2^{15}$，
又
∵$64×8^3=2^x$，
∴$2^x=2^{15}$，
∴$x=15$。
【答案】
15
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；乘方的意义
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，解题关键是熟练掌握幂的各类运算法则，能灵活将不同底数的幂转化为同底数幂进行运算，是巩固幂运算规则的典型习题。
【难度系数】
0.8

5.(1)若$a^5 · (a^y)^3 = a^{14}$，则$y=$；
(2)若$(\dfrac{8}{27})^2 = (\dfrac{2}{3})^m$，则$m=$。

(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{6}$

【分析】
本题考查幂的相关运算法则的应用，解题思路如下：
(1) 先利用幂的乘方法则化简$(a^y)^3$，再利用同底数幂的乘法法则计算左边的式子，最后根据“同底数幂相等时，指数相等”列方程求解$y$；
(2) 先将左边的底数$\dfrac{8}{27}$变形为$(\dfrac{2}{3})^3$，再利用幂的乘方法则化简左边的式子，最后根据“同底数幂相等时，指数相等”得到$m$的值。
【解析】
(1) 化简等式左边：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(a^y)^3=a^{3y}$；
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$a^5·a^{3y}=a^{5+3y}$；
已知$a^5 · (a^y)^3 = a^{14}$，因此$a^{5+3y}=a^{14}$，对应指数相等可列方程：
$5+3y=14$
解得$3y=9$，即$y=3$。
(2) 变形化简等式左边：
因为$8=2^3$，$27=3^3$，所以$\dfrac{8}{27}=(\dfrac{2}{3})^3$；
因此左边$(\dfrac{8}{27})^2=[(\dfrac{2}{3})^3]^2$，根据幂的乘方法则可得$[(\dfrac{2}{3})^3]^2=(\dfrac{2}{3})^{3×2}=(\dfrac{2}{3})^6$；
已知$(\dfrac{8}{27})^2 = (\dfrac{2}{3})^m$，因此$(\dfrac{2}{3})^6=(\dfrac{2}{3})^m$，可得$m=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、乘方的意义
【点评】
本题是幂运算的常规基础题，核心考察对幂的各类运算法则的熟练掌握程度，解题的关键是将等式两边转化为底数相同的幂的形式，利用“同底数幂相等则指数相等”的性质列方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.85

6.若$(a^m)^n=2$，则$(a^n)^m=$。

$\boldsymbol{2}$

【分析】
解题时首先回忆幂的乘方的运算性质，我们可以先分别化简给出的已知式和待求式，观察两者的联系：幂的乘方运算中，指数是相乘的关系，根据乘法交换律，两个指数交换顺序后乘积不变，因此两个式子的化简结果相等，就能直接得出待求式的值。
【解析】
根据幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
首先化简已知式：$(a^m)^n = a^{m × n} = 2$，
再化简待求式：$(a^n)^m = a^{n × m}$，
由乘法交换律可知$m × n = n × m$，因此$a^{m × n} = a^{n × m}$，
所以$(a^n)^m = (a^m)^n = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
幂的乘方运算，乘法交换律
【点评】
本题考查幂的乘方运算法则的应用，属于基础题型，核心是理解幂的乘方运算中指数相乘的规律，结合乘法交换律即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9

7.计算：
(1)$5(a^4)^3 - 15(a^6)^2$；
(2)$6x^3 · x^5 · (x^2)^3 - (x^7)^2$。

解：
(1) 原式$=5a^{4×3} - 15a^{6×2}$
$=5a^{12} - 15a^{12}$
$=-10a^{12}$
(2) 原式$=6x^3 · x^5 · x^{2×3} - x^{7×2}$
$=6x^{3+5+6} - x^{14}$
$=6x^{14} - x^{14}$
$=5x^{14}$

【分析】
这两道题都属于幂的运算相关的整式化简题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：①先利用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算所有幂的乘方运算；②如果有同底数幂相乘，利用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算乘法；③最后判断是否为同类项，合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
原式$=5a^{4×3} - 15a^{6×2}$
$=5a^{12} - 15a^{12}$
再合并同类项：
$=-10a^{12}$
(2) 先计算幂的乘方：
原式$=6x^3 · x^5 · x^{2×3} - x^{7×2}$
$=6x^3 · x^5 · x^6 - x^{14}$
再计算同底数幂的乘法：
$=6x^{3+5+6} - x^{14}$
$=6x^{14} - x^{14}$
最后合并同类项：
$=5x^{14}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10a^{12}}$；(2) $\boldsymbol{5x^{14}}$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂的运算的基础练习题，核心是准确记忆各运算法则，运算时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆，按照正确运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8

8.若$a+3b-2=0$，求$3^a · 27^b$的值.

解：
∵ 27 = 3³
∴ 27ᵇ = (3³)ᵇ = 3³ᵇ
∴ 3ᵃ · 27ᵇ = 3ᵃ · 3³ᵇ = 3^(a+3b)
由a + 3b - 2 = 0，得a + 3b = 2
将a+3b=2代入，得3^(a+3b) = 3² = 9
∴ 3ᵃ · 27ᵇ的值为9。

【分析】
解题时先观察所求式子的结构，它是两个幂相乘的形式，底数分别为3和27，我们可以先把底数为27的幂转化为底数为3的幂，再利用同底数幂的乘法法则将两个幂合并，此时得到的幂的指数恰好是已知等式中的a+3b，再根据已知条件求出a+3b的值，整体代入合并后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵27 = 3³
∴27ᵇ = (3³)ᵇ = 3³ᵇ
∴3ᵃ · 27ᵇ = 3ᵃ · 3³ᵇ = 3^(a+3b)
由a + 3b - 2 = 0，可得a + 3b = 2
将a+3b=2代入上式，得3^(a+3b) = 3² = 9
所以3ᵃ · 27ᵇ的值为9。
【答案】
9
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，核心是利用幂的运算性质将所求式子转化为含已知式的形式，用到了整体代入的思想，是幂运算章节的常见题型，掌握幂的相关运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85

9.阅读下列解题过程，试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解：$\because 2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25},3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}$，而$16＜27,\therefore 2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述解题过程解答：比较$2^{55},3^{44},5^{33}$的大小.

解：
$\because 2^{55}=(2^5)^{11}=32^{11}$，
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$，
又$\because 32＜81＜125$，
$\therefore 2^{55}＜3^{44}＜5^{33}$。

【分析】
要比较几个指数、底数均不同的幂的大小，可参考题干给出的方法，将它们转化为同指数的幂，再通过比较底数的大小判断幂的大小。首先观察三个幂的指数：55、44、33，它们的最大公因数是11，因此可利用幂的乘方法则，将三个幂都转化为指数为11的形式，再比较底数即可得出结果。
【解析】
解：
$\because 2^{55}=(2^5)^{11}=32^{11}$，
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$，
又$\because 32＜81＜125$，
$\therefore 2^{55}＜3^{44}＜5^{33}$。
【答案】
$2^{55}＜3^{44}＜5^{33}$
【知识点】
1.幂的乘方运算
2.同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算的典型应用，核心解题思路是运用转化思想，把异指数幂转化为同指数幂，通过比较底数大小得到结论，掌握该方法可高效解决同类幂的大小比较问题。
【难度系数】
0.8

10. 提升题▶规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$.如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$.例如：$\because 2^4=16,\therefore (2,16)=4$.
(1)根据上述规定，填空.
$(3,9)=$；$(9,81)=$；
$(27,729)=$；$(3^n,9^n)=$.
(2)直接写出$(3^n,0.25^n)$与$(3,0.25)$的数量关系.
(3)猜想$(a^n,b^n)$与$(a,b)$的数量关系，并给出证明.

解：
(1)
$\because 3^2=9$，$\therefore (3,9)=2$；
$\because 9^2=81$，$\therefore (9,81)=2$；
$\because 27^3=729$，$\therefore (27,729)=3$；
$\because (3^n)^2=3^{2n}=(3^2)^n=9^n$，$\therefore (3^n,9^n)=2$。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{2}$。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{(3^n,0.25^n)=(3,0.25)}$。
(3) 猜想：$\boldsymbol{(a^n,b^n)=(a,b)}$。
证明：设$(a,b)=c$，根据题中运算规定可得$a^c = b$。
等式两边同时n次方，得$(a^c)^n = b^n$，
根据幂的乘方运算法则，得$(a^n)^c = b^n$，
再根据题中运算规定，可得$(a^n,b^n)=c$，
又$\because (a,b)=c$，
$\therefore (a^n,b^n)=(a,b)$。

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解运算规则：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$，也就是$(a,b)$的本质是求“$a$的几次方等于$b$”，结果就是对应的指数。
1. 解决第(1)问时，直接套用定义，分别找出使得等式成立的指数即可，最后一个空可先将$9^n$转化为以$3$为底的幂，再结合幂的乘方性质找对应指数。
2. 第(2)问是第(3)问的特殊情况，可先通过第(1)问最后一个空的规律猜想关系，再通过第(3)问的通用推导验证。
3. 第(3)问证明时，可先设$(a,b)=c$，根据定义得到$a^c=b$，再利用幂的乘方运算法则，对等式两边同时取$n$次方，变形后结合新定义即可完成证明。
【解析】
(1) 根据新运算规则：
因为$3^2=9$，所以$(3,9)=2$；
因为$9^2=81$，所以$(9,81)=2$；
因为$27^3=729$，所以$(27,729)=3$；
因为$(3^n)^2=3^{2n}=(3^2)^n=9^n$，所以$(3^n,9^n)=2$。
(2) 观察运算规律可得数量关系为：$(3^n,0.25^n)=(3,0.25)$。
(3) 猜想：$(a^n,b^n)=(a,b)$。
证明：设$(a,b)=c$，根据运算规定可得$a^c = b$。
等式两边同时取$n$次方，得$(a^c)^n = b^n$，
根据幂的乘方运算法则（底数不变，指数相乘），可得$(a^n)^c = b^n$，
再根据新运算规定，可得$(a^n,b^n)=c$，
又因为$(a,b)=c$，所以$(a^n,b^n)=(a,b)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{(3^n,0.25^n)=(3,0.25)}$
(3) 猜想：$\boldsymbol{(a^n,b^n)=(a,b)}$，证明见解析。
【知识点】
新定义运算；幂的乘方运算；乘方的意义
【点评】
本题属于新定义运算题型，核心考查对新规则的理解能力和知识迁移应用能力，解题的关键是读懂新运算的含义，结合已学的幂的运算性质进行推导计算，既考查基础运算能力，也锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7