18. (8 分)把抛物线 $ C_{1}: y = x^{2} + 2x + 3 $ 先向右平移 $ 4 $ 个单位长度，再向下平移 $ 5 $ 个单位长度得到抛物线 $ C_{2} $。
(1)直接写出抛物线 $ C_{2} $ 的函数关系式；
(2)动点 $ P(a, -6) $ 能否在抛物线 $ C_{2} $ 上？请说明理由；
(3)若点 $ A(m, y_{1}) $，$ B(n, y_{2}) $ 都在抛物线 $ C_{2} $ 上，且 $ m ＜ n ＜ 0 $，比较 $ y_{1} $，$ y_{2} $ 的大小，并说明理由。

18. 解：(1)
∵ $y = x^{2} + 2x + 3 = (x + 1)^{2} + 2$，
∴把抛物线 $C_{1}: y = x^{2} + 2x + 3$ 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度得到抛物线 $C_{2}: y = (x + 1 - 4)^{2} + 2 - 5$，即 $y = (x - 3)^{2} - 3$.
∴抛物线 $C_{2}$ 的函数关系式为 $y = (x - 3)^{2} - 3$.
(2)动点 $P(a, -6)$ 不在抛物线 $C_{2}$ 上. 理由如下：
∵抛物线 $C_{2}$ 的函数关系式为 $y = (x - 3)^{2} - 3$，
∴函数的最小值为 $-3$.
∵ $-6 ＜ -3$，
∴动点 $P(a, -6)$ 不在抛物线 $C_{2}$ 上.
(3)
∵抛物线 $C_{2}$ 的函数关系式为 $y = (x - 3)^{2} - 3$，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 $x = 3$.
∴当 $x ＜ 3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
∵点 $A(m, y_{1})$，$B(n, y_{2})$ 都在抛物线 $C_{2}$ 上，且 $m ＜ n ＜ 0 ＜ 3$，
∴ $y_{1} ＞ y_{2}$.