20. 如图 1,将三角形 ABD 平移,使点 D 沿 BD 的延长线移至点 C 得到三角形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } D ^ { \prime } $, $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $ 交 AC 于点 E,AD 平分 $ \angle B A C $.
(1)猜想 $ \angle B ^ { \prime } E C $ 与 $ \angle A ^ { \prime } $ 之间的数量关系是,并说明理由;
(2)若将三角形 ABD 平移至如图 2 的位置,得到三角形 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } D ^ { \prime } $,请问: $ A ^ { \prime } D ^ { \prime } $ 平分 $ \angle B ^ { \prime } A ^ { \prime } C $ 吗? 为什么?

$(1)$$\boldsymbol{\angle B'EC = 2\angle A'}$；理由：因为$\triangle A'B'D'$由$\triangle ABD$平移得$AD// A'D'$，$\angle BAD = \angle A'$，$\angle DAC=\angle A'CE$，$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle DAC$，$\angle B'EC=\angle B'A'C+\angle A'CE=\angle BAC+\angle DAC = 2\angle A'$。
$(2)$$\boldsymbol{A ^ { \prime } D ^ { \prime }}$平分$\angle B ^ { \prime } A ^ { \prime } C$；理由：因为$\triangle A'B'D'$由$\triangle ABD$平移得$AD// A'D'$，所以$\angle BAD=\angle B'A'D'$，$\angle DAC=\angle D'A'C$，又$\angle BAD = \angle DAC$，所以$\angle B'A'D'=\angle D'A'C$，即$A'D'$平分$\angle B'A'C$。

不断生长的草
有一个牧场,已知养牛 27 头,6 天把草吃尽;养牛 23 头,9 天把草吃尽.如果养牛 21 头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢? 并且,牧场上的草是不断生长的.

这类题目的一般解法是把一头牛一天吃的牧草看作 1,那么就有:
(1)27 头牛 6 天所吃的牧草为: $ 27 \times 6 = 162 $. (这 162 包括牧场原有的草和 6 天新长的草)
(2)23 头牛 9 天所吃的牧草为: $ 23 \times 9 = 207 $. (这 207 包括牧场原有的草和 9 天新长的草)
(3)1 天新长的草为: $ ( 207 - 162 ) \div ( 9 - 6 ) = 15 $.
(4)牧场上原有的草为: $ 27 \times 6 - 15 \times 6 = 72 $.
(5)每天新长的草足够 15 头牛吃,21 头牛减去 15 头牛,剩下 6 头牛吃原牧场的草的天数: $ 72 \div ( 21 - 15 ) = 72 \div 6 = 12 $(天).
所以养 21 头牛,12 天才能把牧场上的草吃尽.