1. (2025·西安期中)梯形 AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图,已知 $ AB = 10 $,点 $ A(0,a) $, $ B(b,0) $, $ C(b,8) $,其中 $ a $ 满足 $ \sqrt{6 - a} = 0 $.
(1) 直接写出 $ a = $____;
(2) 求点 $ B $, $ C $ 的坐标;
(3) 若在第二象限有一点 $ D(m,2) $,连接 $ DA $, $ DO $,已知 $ \triangle ADO $ 的面积是 $ \triangle ABC $ 面积的一半,求点 $ D $ 的坐标.

(1)6
(2)由(1)得，$a = 6$，$\therefore A(0,6)$，$\therefore OA = 6$，$\therefore OB = \sqrt{AB^{2}-OA^{2}} = \sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$，$\therefore b = 8$，即$B(8,0)$，$C(8,8)$。
(3)$\because B(8,0)$，$C(8,8)$，$\therefore BC = 8$，$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}×8×8 = 32$。$\because S_{\triangle ADO} = \frac{1}{2}OA×|m| = \frac{1}{2}×6×|m| = 3|m|$，$\triangle ADO$的面积是$\triangle ABC$面积的一半，$\therefore 3|m| = \frac{1}{2}×32$，$\therefore |m| = \frac{16}{3}$。$\because D$在第二象限，$\therefore m = -\frac{16}{3}$，$\therefore$点$D$的坐标为$(-\frac{16}{3},2)$。

2. (2024·包头中考改编)如图,在平面直角坐标系中,四边形 $ OABC $ 各顶点的坐标分别是 $ O(0,0) $, $ A(1,2) $, $ B(3,3) $, $ C(5,0) $,求四边形 $ OABC $ 的面积.

如图，过$A$作$AM⊥OC$于$M$，过$B$作$BN⊥OC$于$N$，$\because O(0,0)$，$A(1,2)$，$B(3,3)$，$C(5,0)$，$\therefore OM = 1$，$AM = 2$，$ON = BN = 3$，$CO = 5$，$\therefore MN = ON - OM = 2$，$CN = OC - ON = 2$，$\therefore$四边形$OABC$的面积为$S_{\triangle AOM} + S_{梯形AMNB} + S_{\triangle BCN} = \frac{1}{2}×1×2 + \frac{1}{2}×(2 + 3)×2 + \frac{1}{2}×3×2 = 9$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,3) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (-2,0) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (2,2) $,求三角形 $ ABC $ 的面积.

如图，因为$A(-1,3)$，$B(-2,0)$，$C(2,2)$，所以$D(2,0)$，$E(-2,3)$，$F(2,3)$，所以$BD = 2 - (-2) = 4$，$BE = 3$，$AE = 1$，$AF = 3$，$FC = 1$，$CD = 2$，所以$S_{\triangle ABC} = S_{长方形BDFE} - S_{\triangle ABE} - S_{\triangle AFC} - S_{\triangle BDC} = 4×3 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×4×2 = 5$。