9.在$△ ABC$中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，当AP的长度为时，$△ ADP$和$△ ABC$相似。

9. 4或9

10. 如图,在矩形ABCO中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB'C,AB'交y轴于点D,则点B'的坐标为。

10. $(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$

11.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,DC交BE于点F,且$AD=\frac{1}{3}AB$,$AE=\frac{1}{2}EC$。
求证:(1)$△ DEF ∽ △ CBF$;
(2)$DF · BF = EF · CF$。

证明:(1)$\because AE=\frac{1}{2}EC,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB,$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}。\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}。$
又$\because ∠A=∠A,$
$\therefore △ADE∽△ABC。$
$\therefore ∠ADE=∠ABC。$
$\therefore DE// BC。$
$\therefore ∠EDF=∠FCB,∠DEF=∠FBC。$
$\therefore △DEF∽△CBF。$
(2)$\because$ 由(1)知$△DEF∽△CBF,$
$\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}。$
$\therefore DF · BF = EF · CF。$

12. 在$△ ABC$中，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$。
(1) 如图①，$M$为$AB$的中点，在线段$AC$上取点$N$，使$△ AMN$与$△ ABC$相似，求线段$MN$的长。
(2) 图②是由100个边长为1的小正方形组成的$10×10$正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点上的三角形为格点三角形。
① 请你在所给的网格中画出格点$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等；(画出一个即可，不需证明)
② 试直接写出在所给的网格中与$△ ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个。(不需证明)

(1) 当$△ AMN ∽ △ ACB$时，有$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
$\because M$为$AB$的中点，$AB=2\sqrt{5}$，
$\therefore AM=\sqrt{5}$。
$\because BC=6,AC=4\sqrt{5}$，$\therefore MN=\frac{3}{2}$。
当$△ AMN ∽ △ ABC$时，
有$\frac{MN}{BC}=\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2}$，
$\therefore MN=\frac{1}{2}BC=3$。
$\therefore$ 线段$MN$的长为$\frac{3}{2}$或$3$。
(2) ① 如图①。(答案不唯一)
② 8个，如图②。(答案不唯一)