8 如图,在$\odot O$中,$AC=BD$,求证:$∠ 1=∠ 2$.

证明：∵在​$\odot O$​中，​$AC = BD，$​​$OA = OB = OC = OD$​∴​$\triangle OAC≌\triangle OBD(\mathrm {SSS})$​∴​$∠AOC = ∠BOD$​∴​$∠1 + ∠BOC = ∠2 + ∠BOC$​∴​$∠1 = ∠2$​

9 如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，$∠ AOB=50°$，$∠ OBC=40°$，求$∠ OAC$的度数.

解：∵​$OB = OC，$​∴​$∠OCB = ∠OBC = 40°$​∴​$∠BOC = 180°-∠OBC - ∠OCB = 100°$​∴​$∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 150°$​∵​$OA = OC，$​∴​$∠OAC = \frac {180°-∠AOC}2= 15°$​

10 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$CE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AB$于点F，且$AE=BF$，则AC与BD相等吗？为什么？

解：​$AC$​与​$BD$​相等，理由如下： 如图，连接​$OC，$​​$OD$​∵​$OA = OB，$​​$AE = BF，$​∴​$OE = OF$​∵​$CE\perp AB，$​​$DF\perp AB，$​∴​$∠OEC = ∠OF D = 90°$​​$ $​在​$Rt\triangle OEC$​和​$Rt\triangle OF D$​中​$\begin {cases}OE = OF\\OC = OD\end {cases}$​∴​$Rt\triangle OEC≌ Rt\triangle OF D(\mathrm {HL})$​∴​$∠COE = ∠DOF$​​$ $​在​$\triangle OAC$​和​$\triangle OBD$​中​$\begin {cases}OA = OB\\∠COA = ∠DOB\\OC = OD\end {cases}$​∴​$\triangle OAC≌\triangle OBD$​∴​$AC = BD$​ ;

11（2024 淮安月考）如图，四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形，顶点 P 在$\overset{\frown}{MN}$上，且不与点 M，N 重合，当点 P 在$\overset{\frown}{MN}$上移动时，矩形 PAOB 的形状、大小随之变化，则$PA^2 + PB^2$的值（ ）
A. 逐渐变大
B. 逐渐变小
C. 不变
D. 不能确定

（第11题）

（第12题）

（第13题）

（第14题）

C

12（2024 南京栖霞月考）如图，AB是$\odot O$的弦，C是优弧AB上的动点（点C不与点A，B重合），$CH⊥ AB$，垂足为H，M是BC的中点.若$\odot O$的半径是3，则MH长的最大值是 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

A

13 (2024 苏州常熟期中)如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ BOC=110°$，$AD// OC$，则$∠ AOD=\_\_\_\_\_\_$．

$40^{\circ}$

14 如图,过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,F,E三点的圆的圆心为点D,如果∠A=72°,那么∠θ=______.

$12^{\circ}$