8 一次函数$y=ax+1$与反比例函数$y=-\frac{a}{x}$在同一直角坐标系中的图象可能是（）

B

9 如图,直线 l 与双曲线交于 A,C 两点,将直线 l 绕点 O 按顺时针方向旋转 α(0°＜α≤45°),与双曲线交于 B,D 两点,则四边形 ABCD 的形状一定是 ()

A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.任意四边形

A

10 数形结合思想 如图，矩形ABCD的边AD//x轴，若顶点A在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，点B，D在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，则矩形ABCD的面积为。

$\frac{8}{3}$

11 [2025杭州期末]已知$y$与$z$成正比例，$z$与$x$成反比例.当$x=-4$时，$z=3$，$y=-4$.
（1）求$y$关于$x$的函数表达式；
（2）在直角坐标系中，$y$关于$x$的函数图象上有$A$，$B$两点，且点$A$的横坐标为$2$，点$B$的横坐标为$4$，求$△ OAB$的面积.

(1) 因为y与z成正比例,z与x成反比例,所以设$y=k_1z$,$z=\frac{k_2}{x}$.所以$y=\frac{k_1k_2}{x}$.把x=-4,y=-4代入,得$k_1k_2=16$,所以y关于x的函数表达式为$y=\frac{16}{x}$
(2) 由(1)知,$y=\frac{16}{x}$.因为点A的横坐标为2,点B的横坐标为4,所以A(2,8),B(4,4).△ABC如图所示,过点A作AE⊥y轴于点E,过点B作BD⊥x轴于点D,延长DB交EA的延长线于点C,易得四边形ODCE为矩形,所以$S_{矩形ODCE}=4×8=32$,$S_{△AEO}=\frac{1}{2}×2×8=8$,$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$,$S_{△OBD}=\frac{1}{2}×4×4=8$.所以$S_{△OAB}=32-8-4-8=12$

12 如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,OA=a,OC=b(a≤b,且a≠0),将矩形ABCO绕点A按顺时针方向旋转90°得到矩形ADEF,函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点B,分别交DE,EF于点P,Q.
(1)当a=2,b=4时,求点P,Q的坐标;
(2)当P是DE的中点时,求证:四边形ABCO是正方形.

(1) 因为a=2,b=4,所以OA=2,OC=4.所以易得B(2,4).因为函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点B,所以k=2×4=8.所以$y=\frac{8}{x}$.由旋转,得AF=OA=2,AD=OC=4,所以点Q的纵坐标为2.把y=2代入$y=\frac{8}{x}$,得$2=\frac{8}{x}$,解得x=4.所以Q(4,2).因为AD=OC=4,所以OD=2+4=6.所以点P的横坐标为6.把x=6代入$y=\frac{8}{x}$,得$y=\frac{4}{3}$.所以$P(6,\frac{4}{3})$
(2) 由题意,可知点B的坐标为(a,b).因为函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点B,所以k=ab.由旋转,得AD=OC=b,DE=BC=OA=a,且P是DE的中点,所以易得$P(a+b,\frac{1}{2}a)$.因为函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过点P,所以$(a+b)×\frac{1}{2}a=ab$.整理,得$a^2=ab$.因为a≠0,所以a=b.所以OA=OC.因为四边形ABCO是矩形,所以四边形ABCO是正方形