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1. （2024·贵州中考）如图，在扇形纸扇中，若$∠ AOB=150°$，$OA=24$，则$\overset{\frown}{AB}$的长为（
A.$30π$
B.$25π$
C.$20π$
D.$10π$
C
）A.$30π$
B.$25π$
C.$20π$
D.$10π$
答案
1. C 解析: $\because ∠AOB = 150°, OA = 24, \therefore \overset{\frown}{AB}$ 的长为$\frac{150π×24}{180}=20π$.故选 C.
解析
【分析】
本题要求扇形中弧AB的长度，解题时首先回忆弧长的计算公式：弧长$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为扇形半径）。接下来从题目中提取对应数值：圆心角$∠AOB=150°$即$n=150$，半径$OA=24$即$r=24$，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
已知扇形的圆心角$∠AOB=150°$，半径$r=OA=24$，根据弧长计算公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{150×π×24}{180}=20π$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题，直接考查弧长公式的应用，解题的关键是熟记弧长公式，准确提取题干中的圆心角和半径数值代入计算，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题要求扇形中弧AB的长度，解题时首先回忆弧长的计算公式：弧长$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为扇形半径）。接下来从题目中提取对应数值：圆心角$∠AOB=150°$即$n=150$，半径$OA=24$即$r=24$，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
已知扇形的圆心角$∠AOB=150°$，半径$r=OA=24$，根据弧长计算公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{150×π×24}{180}=20π$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题，直接考查弧长公式的应用，解题的关键是熟记弧长公式，准确提取题干中的圆心角和半径数值代入计算，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
2. （牡丹江中考）一条弧所对的圆心角为$135°$,弧长等于半径为3 cm的圆的周长的5倍,则这条弧的半径为 （
A.45 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.30 cm
B
）A.45 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.30 cm
答案
2. B 解析:设这条弧所在圆的半径为 r cm,由题意,得$\frac{135πr}{180}=2π×3×5$,解得 r=40.故选 B.
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆弧长计算公式，题目明确给出了弧对应的圆心角，以及弧长和已知半径的圆周长的等量关系。我们可以先设所求弧的半径为r，先根据圆的周长公式算出题目中弧长的表达式，再代入弧长公式列出关于r的方程，解方程就能求出半径。
【解析】
设这条弧所在圆的半径为r cm。
首先计算半径为3 cm的圆的周长为$2π×3$cm，由题意可知这条弧的长度是该周长的5倍，因此弧长$l=2π×3×5=30π$cm。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为弧对应的圆心角度数），已知n=135°，代入可得：
$\frac{135πr}{180}=30π$
两边同时约去π，化简得$\frac{3r}{4}=30$，解得$r=40$。
因此这条弧的半径为40 cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式；圆的周长计算；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查弧长公式的应用，解题关键是准确抓住题目给出的弧长等量关系，代入公式列方程求解即可，计算时可先约去π简化运算。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆弧长计算公式，题目明确给出了弧对应的圆心角，以及弧长和已知半径的圆周长的等量关系。我们可以先设所求弧的半径为r，先根据圆的周长公式算出题目中弧长的表达式，再代入弧长公式列出关于r的方程，解方程就能求出半径。
【解析】
设这条弧所在圆的半径为r cm。
首先计算半径为3 cm的圆的周长为$2π×3$cm，由题意可知这条弧的长度是该周长的5倍，因此弧长$l=2π×3×5=30π$cm。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为弧对应的圆心角度数），已知n=135°，代入可得：
$\frac{135πr}{180}=30π$
两边同时约去π，化简得$\frac{3r}{4}=30$，解得$r=40$。
因此这条弧的半径为40 cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式；圆的周长计算；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查弧长公式的应用，解题关键是准确抓住题目给出的弧长等量关系，代入公式列方程求解即可，计算时可先约去π简化运算。
【难度系数】
0.7
3. 已知弧的长是$\frac{5}{3}π$，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为
100°
。答案
3. $100°$ 解析:$\because$ 弧长的公式 $l=\frac{nπr}{180},\therefore \frac{5}{3}π=\frac{nπ×3}{180}$,解得 $n=100$,故该弧所对的圆心角度数为 $100°$.
解析
【分析】
本题要求弧所对的圆心角度数，首先回忆弧长的角度制计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$l$是弧长，$n$是圆心角度数，$r$是圆的半径。题目已经给出弧长$l$和半径$r$的具体数值，只需将已知量代入公式，即可得到关于$n$的一元一次方程，解出$n$的值就是所求的圆心角度数，计算时可先约去等式两边的$π$，简化运算过程。
【解析】
解：设该弧所对的圆心角度数为$n°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$l$为弧长，$r$为圆的半径），将$l=\frac{5}{3}π$，$r=3$代入公式，可得：
$\frac{5}{3}π=\frac{nπ×3}{180}$
等式两边同时除以$π$，得：
$\frac{5}{3}=\frac{3n}{180}$
化简右侧分数得$\frac{3n}{180}=\frac{n}{60}$，即：
$\frac{5}{3}=\frac{n}{60}$
解得：$n=\frac{5}{3}×60=100$
【答案】
$100°$
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，核心考查对弧长公式的掌握程度，解题时只需准确对应公式中各个量的含义，代入数值计算即可，运算过程中先约去公共因数可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题要求弧所对的圆心角度数，首先回忆弧长的角度制计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$l$是弧长，$n$是圆心角度数，$r$是圆的半径。题目已经给出弧长$l$和半径$r$的具体数值，只需将已知量代入公式，即可得到关于$n$的一元一次方程，解出$n$的值就是所求的圆心角度数，计算时可先约去等式两边的$π$，简化运算过程。
【解析】
解：设该弧所对的圆心角度数为$n°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$l$为弧长，$r$为圆的半径），将$l=\frac{5}{3}π$，$r=3$代入公式，可得：
$\frac{5}{3}π=\frac{nπ×3}{180}$
等式两边同时除以$π$，得：
$\frac{5}{3}=\frac{3n}{180}$
化简右侧分数得$\frac{3n}{180}=\frac{n}{60}$，即：
$\frac{5}{3}=\frac{n}{60}$
解得：$n=\frac{5}{3}×60=100$
【答案】
$100°$
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，核心考查对弧长公式的掌握程度，解题时只需准确对应公式中各个量的含义，代入数值计算即可，运算过程中先约去公共因数可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
4. | 教材P54例1变式 如图，用一个半径为12 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了$150°$,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升的高度为
10π
cm.(结果保留π) 答案
4. $10π$ 解析:由题意得,重物上升的高度是半径为 12 cm,圆心角为 $150°$的弧的弧长,即$\frac{150π×12}{180}=10π(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确定滑轮的工作特点：当绳索与滑轮无滑动时，滑轮转过的弧长等于绳索被拉动的长度，也就是重物上升的高度。接下来回忆弧长计算公式，找到对应弧的圆心角和半径，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，重物上升的高度等于半径为12cm、圆心角为$150°$的弧的弧长。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径），代入$n=150$，$r=12$得：
$l=\frac{150π × 12}{180}=10π (\mathrm{cm})$
【答案】
$10π$
【知识点】
弧长计算；定滑轮特征
【点评】
本题是弧长公式的实际应用类题目，解题的核心是将重物上升的高度转化为对应弧的弧长，再代入公式计算，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确定滑轮的工作特点：当绳索与滑轮无滑动时，滑轮转过的弧长等于绳索被拉动的长度，也就是重物上升的高度。接下来回忆弧长计算公式，找到对应弧的圆心角和半径，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，重物上升的高度等于半径为12cm、圆心角为$150°$的弧的弧长。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径），代入$n=150$，$r=12$得：
$l=\frac{150π × 12}{180}=10π (\mathrm{cm})$
【答案】
$10π$
【知识点】
弧长计算；定滑轮特征
【点评】
本题是弧长公式的实际应用类题目，解题的核心是将重物上升的高度转化为对应弧的弧长，再代入公式计算，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，整体计算量小。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AB是半径为3的$\odot O$的切线，切点为A，BO的延长线交$\odot O$于点C，连接AC，若$∠ B=36°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为
$\frac{21}{10}π$
。答案
5. $\frac{21}{10}π$ 解析:如图,连接 $OA$,$\because AB$ 是半径为 3 的 $\odot O$ 的切线,$\therefore ∠OAB=90°$.又 $∠B=36°$,$\therefore ∠AOC=∠OAB+∠B=126°$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{126π×3}{180}=\frac{21}{10}π$.故答案为$\frac{21}{10}π$.
解析
【分析】
本题是圆的基础综合题，解题思路清晰：首先看到AB是$\odot O$的切线，根据切线的性质，优先连接圆心O和切点A，可得到OA⊥AB，构造出直角三角形OAB；接着结合已知的$∠ B=36°$，利用三角形外角性质或者邻补角关系，求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数；最后将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可算出$\overset{\frown}{AC}$的长度。
【解析】
解：如图，连接OA。
∵AB是半径为3的$\odot O$的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$。
又
∵$∠ B=36°$，根据三角形外角等于不相邻两内角和，
∴$∠ AOC=∠ OAB+∠ B=90°+36°=126°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为弧对应圆心角度数，r为圆的半径），代入$n=126$，$r=3$得：
$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{126π×3}{180}=\frac{21}{10}π$。
【答案】
$\frac{21}{10}π$
【知识点】
切线的性质；弧长计算；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，解题核心是熟练运用切线的性质，正确作出辅助线求出对应圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可，运算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.75
本题是圆的基础综合题，解题思路清晰：首先看到AB是$\odot O$的切线，根据切线的性质，优先连接圆心O和切点A，可得到OA⊥AB，构造出直角三角形OAB；接着结合已知的$∠ B=36°$，利用三角形外角性质或者邻补角关系，求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数；最后将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可算出$\overset{\frown}{AC}$的长度。
【解析】
解：如图，连接OA。
∵AB是半径为3的$\odot O$的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，即$∠ OAB=90°$。
又
∵$∠ B=36°$，根据三角形外角等于不相邻两内角和，
∴$∠ AOC=∠ OAB+∠ B=90°+36°=126°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为弧对应圆心角度数，r为圆的半径），代入$n=126$，$r=3$得：
$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{126π×3}{180}=\frac{21}{10}π$。
【答案】
$\frac{21}{10}π$
【知识点】
切线的性质；弧长计算；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，解题核心是熟练运用切线的性质，正确作出辅助线求出对应圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可，运算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.75
6. ★★（新疆中考）如图,在$\odot O$中,若$∠ ACB=30°, OA=6$,则扇形AOB(阴影部分)的面积是（
A.$12π$
B.$6π$
C.$4π$
D.$2π$
（第6题）
B
）A.$12π$
B.$6π$
C.$4π$
D.$2π$
（第6题）答案
6. B 解析: $\because ∠ACB = 30°, \therefore ∠AOB = 2 ∠ACB = 60°$,$\therefore S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{60×π×6^2}{360}=6π$.故选 B.
解析
【分析】
要计算扇形AOB的面积，首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），题中已经给出半径OA=6，因此只需要求出圆心角∠AOB的度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠ACB=30°，据此可算出∠AOB的度数，最后代入公式就能求出扇形面积。
【解析】
解：
∵同弧AB所对的圆周角为∠ACB，圆心角为∠AOB，根据圆周角定理可得：
$∠ AOB=2∠ ACB$
已知$∠ ACB=30°$，因此$∠ AOB=2×30°=60°$
又
∵扇形半径$r=OA=6$，圆心角$n=60°$，代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60×π×6^2}{360}=6π$
故选B。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对基础定理和公式的应用能力，解题关键是先利用圆周角定理求出扇形对应圆心角的度数，再代入扇形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算扇形AOB的面积，首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），题中已经给出半径OA=6，因此只需要求出圆心角∠AOB的度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠ACB=30°，据此可算出∠AOB的度数，最后代入公式就能求出扇形面积。
【解析】
解：
∵同弧AB所对的圆周角为∠ACB，圆心角为∠AOB，根据圆周角定理可得：
$∠ AOB=2∠ ACB$
已知$∠ ACB=30°$，因此$∠ AOB=2×30°=60°$
又
∵扇形半径$r=OA=6$，圆心角$n=60°$，代入扇形面积公式：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60×π×6^2}{360}=6π$
故选B。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对基础定理和公式的应用能力，解题关键是先利用圆周角定理求出扇形对应圆心角的度数，再代入扇形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
7. (湖北中考)一个扇形的弧长是$10π$ cm，其圆心角是$150°$，此扇形的面积为 (
A.$30π$ cm²
B.$60π$ cm²
C.$120π$ cm²
D.$180π$ cm²
B
)A.$30π$ cm²
B.$60π$ cm²
C.$120π$ cm²
D.$180π$ cm²
答案
7. B 解析:设扇形的半径为 r cm,则 $l=\frac{nπr}{180}$,由题意得$10π=\frac{150×π×r}{180}$,解得 $r=12$,$\therefore S=\frac{1}{2}rl=\frac{1}{2}×12×10π=60π(\mathrm{cm}^2)$.故选 B.
解析
【分析】
要求扇形的面积，已知弧长和圆心角，首先需要求出扇形的半径。我们可以先利用弧长公式建立方程求解半径，再将求得的半径和已知的弧长代入扇形面积公式，即可算出扇形的面积。
【解析】
设扇形的半径为$ r $ cm，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数），将$ l=10π $，$ n=150° $代入得：
$ 10π=\frac{150×π× r}{180} $
解得$ r=12 $
再根据扇形面积公式$ S=\frac{1}{2}rl $，代入$ r=12 $、$ l=10π $得：
$ S=\frac{1}{2}×12×10π=60π(\mathrm{cm}^2) $
故选B。
【答案】B
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，核心考查对弧长、扇形面积公式的掌握程度，解题关键是先通过弧长公式求出未知的半径，再代入面积公式计算即可，计算过程中注意约分化简，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要求扇形的面积，已知弧长和圆心角，首先需要求出扇形的半径。我们可以先利用弧长公式建立方程求解半径，再将求得的半径和已知的弧长代入扇形面积公式，即可算出扇形的面积。
【解析】
设扇形的半径为$ r $ cm，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数），将$ l=10π $，$ n=150° $代入得：
$ 10π=\frac{150×π× r}{180} $
解得$ r=12 $
再根据扇形面积公式$ S=\frac{1}{2}rl $，代入$ r=12 $、$ l=10π $得：
$ S=\frac{1}{2}×12×10π=60π(\mathrm{cm}^2) $
故选B。
【答案】B
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，核心考查对弧长、扇形面积公式的掌握程度，解题关键是先通过弧长公式求出未知的半径，再代入面积公式计算即可，计算过程中注意约分化简，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
8. ★★ (永州中考)已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为
60
度.答案
8. 60 解析:设扇形圆心角的度数为 $n°$,则$\frac{nπ×6^2}{360}=6π$,解得 $n=60$.即扇形圆心角的度数为 $60°$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆扇形面积和圆心角、半径的对应公式：已知半径r和圆心角度数n时，扇形面积S的计算公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$。题目已经给出扇形的半径和面积，我们可以直接设圆心角的度数为未知数，代入公式列一元一次方程，求解即可得到圆心角的度数。
【解析】
设扇形圆心角的度数为$n°$，根据扇形面积公式可得：
$\frac{nπ × 6^2}{360}=6π$
化简左边得$\frac{36nπ}{360}=\frac{nπ}{10}$，即$\frac{nπ}{10}=6π$
两边同时除以$π$得$\frac{n}{10}=6$，解得$n=60$
【答案】
60
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对扇形面积公式的直接应用，解题关键是熟记扇形面积与圆心角、半径的对应公式，代入数值准确计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆扇形面积和圆心角、半径的对应公式：已知半径r和圆心角度数n时，扇形面积S的计算公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$。题目已经给出扇形的半径和面积，我们可以直接设圆心角的度数为未知数，代入公式列一元一次方程，求解即可得到圆心角的度数。
【解析】
设扇形圆心角的度数为$n°$，根据扇形面积公式可得：
$\frac{nπ × 6^2}{360}=6π$
化简左边得$\frac{36nπ}{360}=\frac{nπ}{10}$，即$\frac{nπ}{10}=6π$
两边同时除以$π$得$\frac{n}{10}=6$，解得$n=60$
【答案】
60
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对扇形面积公式的直接应用，解题关键是熟记扇形面积与圆心角、半径的对应公式，代入数值准确计算即可。
【难度系数】
0.8
9. ★★★（重庆中考）如图，$\odot O$是矩形$ABCD$的外接圆，若$AB=4$，$AD=3$，则图中阴影部分的面积为
$\frac{25}{4}π-12$
.(结果保留$π$)答案
9. $\frac{25}{4}π-12$ 解析:连接 $BD$,$\because ∠BAD=90°$,$\therefore BD$ 是 $\odot O$ 的直径.$\because AB = 4, AD = 3, \therefore BD = \sqrt{AD^2+AB^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{矩形}ABCD}=π×(\frac{5}{2})^2-3×4=\frac{25}{4}π-12$.
技法点拨 求不规则图形的面积时常用到割补法,把所求不规则的图形分割或者添补成一个或多个规则图形求出面积,再求和或作差得到结果.
技法点拨 求不规则图形的面积时常用到割补法,把所求不规则的图形分割或者添补成一个或多个规则图形求出面积,再求和或作差得到结果.
解析
【分析】
本题要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为圆内除去矩形的不规则图形，可采用割补法转化为规则图形的面积差求解：首先根据90°圆周角所对的弦是直径，可知矩形的对角线就是外接圆的直径；再用勾股定理计算矩形对角线的长度，得到圆的直径后即可求出圆的面积；最后计算矩形面积，用圆的面积减去矩形的面积就能得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ BAD=90°$，
∴BD是$\odot O$的直径。
在$Rt△ ABD$中，$AB=4$，$AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{5}{2}$。
阴影部分面积为圆的面积减去矩形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{矩形}ABCD}$
$=π×(\frac{5}{2})^2 - AB× AD$
$=\frac{25}{4}π - 4×3$
$=\frac{25}{4}π -12$
【答案】
$\frac{25}{4}π-12$
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型考题，解题核心是利用割补法将未知的不规则图形面积转化为规则图形面积的和差，解题的突破口是明确矩形外接圆的直径等于矩形的对角线，侧重考查学生对基础图形性质和面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为圆内除去矩形的不规则图形，可采用割补法转化为规则图形的面积差求解：首先根据90°圆周角所对的弦是直径，可知矩形的对角线就是外接圆的直径；再用勾股定理计算矩形对角线的长度，得到圆的直径后即可求出圆的面积；最后计算矩形面积，用圆的面积减去矩形的面积就能得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ BAD=90°$，
∴BD是$\odot O$的直径。
在$Rt△ ABD$中，$AB=4$，$AD=3$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{5}{2}$。
阴影部分面积为圆的面积减去矩形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{矩形}ABCD}$
$=π×(\frac{5}{2})^2 - AB× AD$
$=\frac{25}{4}π - 4×3$
$=\frac{25}{4}π -12$
【答案】
$\frac{25}{4}π-12$
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型考题，解题核心是利用割补法将未知的不规则图形面积转化为规则图形面积的和差，解题的突破口是明确矩形外接圆的直径等于矩形的对角线，侧重考查学生对基础图形性质和面积公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,有一直径是 20 cm 的圆形纸片,现从中剪出一个圆心角是$90°$的扇形 BAC.
(1)求剪出的扇形 BAC 的周长.
(2)求被剪掉的阴影部分的面积.
(1)求剪出的扇形 BAC 的周长.
(2)求被剪掉的阴影部分的面积.
答案
10. (1)连接 $BC$,$\because ∠BAC=90°$,$\therefore BC$ 是扇形所在圆的直径,$\therefore BC=20 \mathrm{ cm}.\because AB=AC$,$\therefore AB=AC=10\sqrt{2} \mathrm{ cm}$,$\therefore \overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{90·π·10\sqrt{2}}{180}=5\sqrt{2}π(\mathrm{cm})$,$\therefore$ 扇形 $BAC$ 的周长$=(20\sqrt{2}+5\sqrt{2}π) \mathrm{ cm}$.
(2)由题易知,圆的半径为 10 cm,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}BAC}=π·10^2-\frac{90π×(10\sqrt{2})^2}{360}=50π(\mathrm{cm}^2)$.
(2)由题易知,圆的半径为 10 cm,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}BAC}=π·10^2-\frac{90π×(10\sqrt{2})^2}{360}=50π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
(1)求扇形BAC的周长，需先得到扇形的半径和弧BC的长度：首先由∠BAC=90°，根据圆周角定理可知BC是原圆形纸片的直径，可得BC=20cm；再结合AB=AC，利用勾股定理求出扇形的半径AB、AC的长度；最后用弧长公式计算弧BC的长度，扇形周长为两条半径长加弧长即可求解。
(2)求阴影部分面积，阴影面积等于原圆形纸片的面积减去扇形BAC的面积，分别代入圆的面积公式和扇形面积公式计算后作差即可。
【解析】
(1)连接$BC$，
$\because ∠BAC=90°$，
$\therefore BC$是原圆形纸片的直径，即$BC=20 \mathrm{ cm}$，
又$\because AB=AC$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore 2AB^2=20^2$，解得$AB=AC=10\sqrt{2} \mathrm{ cm}$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BC}$的长为：$\frac{90·π·10\sqrt{2}}{180}=5\sqrt{2}π(\mathrm{cm})$，
$\therefore$ 扇形$BAC$的周长$=AB+AC+\overset{\frown}{BC}$的长$=10\sqrt{2}+10\sqrt{2}+5\sqrt{2}π=(20\sqrt{2}+5\sqrt{2}π)\mathrm{cm}$。
(2)原圆形纸片的半径为$20÷2=10\mathrm{cm}$，
原圆的面积为$π·10^2=100π(\mathrm{cm}^2)$，
扇形$BAC$的面积为$\frac{90π×(10\sqrt{2})^2}{360}=50π(\mathrm{cm}^2)$，
$\therefore$ 阴影部分的面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}BAC}=100π-50π=50π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $(20\sqrt{2}+5\sqrt{2}π)\mathrm{ cm}$；(2) $50π\mathrm{ cm}^2$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题主要考查圆的性质与弧长、扇形面积的综合应用，解题的关键是正确区分原圆半径和扇形半径，熟练运用相关公式代入计算即可，注意扇形周长包含两条半径的长度，不要漏算。
【难度系数】
0.7
(1)求扇形BAC的周长，需先得到扇形的半径和弧BC的长度：首先由∠BAC=90°，根据圆周角定理可知BC是原圆形纸片的直径，可得BC=20cm；再结合AB=AC，利用勾股定理求出扇形的半径AB、AC的长度；最后用弧长公式计算弧BC的长度，扇形周长为两条半径长加弧长即可求解。
(2)求阴影部分面积，阴影面积等于原圆形纸片的面积减去扇形BAC的面积，分别代入圆的面积公式和扇形面积公式计算后作差即可。
【解析】
(1)连接$BC$，
$\because ∠BAC=90°$，
$\therefore BC$是原圆形纸片的直径，即$BC=20 \mathrm{ cm}$，
又$\because AB=AC$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore 2AB^2=20^2$，解得$AB=AC=10\sqrt{2} \mathrm{ cm}$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BC}$的长为：$\frac{90·π·10\sqrt{2}}{180}=5\sqrt{2}π(\mathrm{cm})$，
$\therefore$ 扇形$BAC$的周长$=AB+AC+\overset{\frown}{BC}$的长$=10\sqrt{2}+10\sqrt{2}+5\sqrt{2}π=(20\sqrt{2}+5\sqrt{2}π)\mathrm{cm}$。
(2)原圆形纸片的半径为$20÷2=10\mathrm{cm}$，
原圆的面积为$π·10^2=100π(\mathrm{cm}^2)$，
扇形$BAC$的面积为$\frac{90π×(10\sqrt{2})^2}{360}=50π(\mathrm{cm}^2)$，
$\therefore$ 阴影部分的面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}BAC}=100π-50π=50π(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $(20\sqrt{2}+5\sqrt{2}π)\mathrm{ cm}$；(2) $50π\mathrm{ cm}^2$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题主要考查圆的性质与弧长、扇形面积的综合应用，解题的关键是正确区分原圆半径和扇形半径，熟练运用相关公式代入计算即可，注意扇形周长包含两条半径的长度，不要漏算。
【难度系数】
0.7
11. ★★★ 如图，$□ ABCD$中，$∠ C=110°$，$AB=2$，以AB为直径的$\odot O$交BC于点E，则$\overset{\frown}{AE}$的长为（
A.$\dfrac{π}{9}$
B.$\dfrac{7π}{18}$
C.$\dfrac{7π}{9}$
D.$\dfrac{2π}{9}$
C
）A.$\dfrac{π}{9}$
B.$\dfrac{7π}{18}$
C.$\dfrac{7π}{9}$
D.$\dfrac{2π}{9}$
答案
11. C 解析:连接 $OE$,如图,$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠B+∠C=180°.\because ∠C=110°$,$\therefore ∠B=70°$.
$\because OB=OE$,$\therefore ∠B=∠OEB$,$\therefore ∠OEB=70°$,$\therefore ∠AOE=∠B+∠OEB=70°+70°=140°$.$\because AB=2$,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore OA=OB=OE=1$,$\therefore \overset{\frown}{AE}$的长为$\frac{140π×1}{180}=\frac{7π}{9}$.故选 C.
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AE}$的长，需先明确弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此需先求解圆心角$∠ AOE$的度数和$\odot O$的半径。首先利用平行四边形邻角互补的性质求出$∠ B$的度数，再连接辅助线$OE$，借助同圆半径相等得到等腰$△ OBE$，结合三角形外角的性质即可得到圆心角$∠ AOE$的度数，最后结合直径$AB$的长得到半径，代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OE$，如图：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ B + ∠ C = 180°$。
$\because ∠ C=110°$，$\therefore ∠ B = 180° - 110° = 70°$。
$\because OB=OE$（同圆的半径相等），$\therefore ∠ B=∠ OEB=70°$，
$\therefore ∠ AOE = ∠ B + ∠ OEB = 70° + 70° = 140°$。
$\because AB=2$，$AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \odot O$的半径$r=1$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的长为$\frac{140π × 1}{180}=\frac{7π}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过构造辅助线得到等腰三角形，进而求出弧对应的圆心角度数，既考察了学生对基础几何性质的掌握程度，也考察了弧长公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AE}$的长，需先明确弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$r$为圆的半径），因此需先求解圆心角$∠ AOE$的度数和$\odot O$的半径。首先利用平行四边形邻角互补的性质求出$∠ B$的度数，再连接辅助线$OE$，借助同圆半径相等得到等腰$△ OBE$，结合三角形外角的性质即可得到圆心角$∠ AOE$的度数，最后结合直径$AB$的长得到半径，代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接$OE$，如图：
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ B + ∠ C = 180°$。
$\because ∠ C=110°$，$\therefore ∠ B = 180° - 110° = 70°$。
$\because OB=OE$（同圆的半径相等），$\therefore ∠ B=∠ OEB=70°$，
$\therefore ∠ AOE = ∠ B + ∠ OEB = 70° + 70° = 140°$。
$\because AB=2$，$AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \odot O$的半径$r=1$，
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的长为$\frac{140π × 1}{180}=\frac{7π}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的性质，弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过构造辅助线得到等腰三角形，进而求出弧对应的圆心角度数，既考察了学生对基础几何性质的掌握程度，也考察了弧长公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
