25 (14分)小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,BE是AC边上的中线,点D在BC边上,$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$,AD与BE相交于点P,求$\frac{AP}{PD}$的值.
小昊发现,过点C作CF//AD,交BE的延长线于点F,通过构造△CEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:$\frac{AP}{PD}$的值为.
参考小昊思考问题的方法,解决问题:
(1)如图3,在△ABC中,点D在BC的延长线上,$\frac{DB}{BC}=\frac{3}{2}$,点E在AC上,且$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$,求$\frac{AP}{PD}$的值;
(2)如图4,在△ABC中,点D在BC的延长线上,$\frac{DB}{BC}=\frac{3}{2}$,点E在AC的延长线上,且$\frac{AE}{EC}=\frac{7}{2}$,求$\frac{AP}{PD}$的值.

25.$\frac{3}{2}$
解:(1),过点A作AF//BC,交BP的延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE,
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$.设AF=3x,BC=2x.
∵$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{2}$,
∴BD=3x,
∴AF=BD.
∵AF//BD,
∴△AFP∽△DBP,
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{AF}{BD}=1$.
(2),过点C作CF//AP交PB于点F，
∴△BCF∽△BDP,
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{CF}{PD}=\frac{2}{3}$.设CF=2x,PD=3x.
∵CF//AP,
∴△ECF∽△EAP，
∴$\frac{EC}{AE}=\frac{CF}{AP}=\frac{2}{7}$,
∴AP=7x,
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{7}{3}$.

【分析】
求解两条线段的比值，通常可以通过作平行线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质转化已知条件求解：
1. 题干初始问题：过点C作CF平行于AD，结合BE是AC中线，可证△AEP和△CEF全等，得到AP=CF；再由CF平行于PD证△BCF和△BDP相似，代入$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$的条件即可求出$\frac{AP}{PD}$。
2. 第(1)问：过点A作AF平行于BC交BP延长线于F，先证△AFE和△CBE相似，得到AF与BC的比等于$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$，再结合$\frac{DB}{BC}=\frac{3}{2}$推出AF=BD，最后证△AFP和△DBP相似即可得到比值。
3. 第(2)问：过点C作CF平行于AP交PB于F，先证△BCF和△BDP相似得到CF与PD的比为$\frac{2}{3}$，再证△ECF和△EAP相似得到CF与AP的比为$\frac{2}{7}$，联立两个比例关系即可求出$\frac{AP}{PD}$。
【解析】
初始问题求解：
过点C作$CF// AD$，交BE的延长线于点F，
∵BE是AC边上的中线，
∴$AE=CE$，
∵$CF// AD$，
∴$∠ EAP=∠ ECF$，$∠ AEP=∠ CEF$，
∴$△ AEP≌△ CEF(\mathrm{ASA})$，
∴$AP=CF$，
∵$CF// PD$，
∴$△ BCF∽△ BDP$，
∴$\frac{CF}{PD}=\frac{BC}{BD}$，
∵$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{CF}{PD}=\frac{3}{2}$。
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(1)求解：
如图，过点A作$AF// BC$，交BP的延长线于点F，
∵$AF// BC$，
∴$∠ F=∠ CBE$，$∠ FAE=∠ BCE$，
∴$△ AFE∽△ CBE$，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$，设$AF=3x$，$BC=2x$，
∵$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{2}$，
∴$BD=\frac{3}{2}×2x=3x$，
∴$AF=BD=3x$，
∵$AF// BD$，
∴$∠ F=∠ PBD$，$∠ FAP=∠ BDP$，
∴$△ AFP∽△ DBP$，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{AF}{BD}=\frac{3x}{3x}=1$。
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(2)求解：
如图，过点C作$CF// AP$交PB于点F，
∵$CF// AP$，
∴$∠ FCB=∠ PDB$，$∠ CFB=∠ DPB$，
∴$△ BCF∽△ BDP$，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{CF}{PD}=\frac{2}{3}$，设$CF=2x$，$PD=3x$，
∵$CF// AP$，
∴$∠ FCE=∠ PAE$，$∠ CFE=∠ APE$，
∴$△ ECF∽△ EAP$，
∴$\frac{EC}{AE}=\frac{CF}{AP}=\frac{2}{7}$，
∴$\frac{2x}{AP}=\frac{2}{7}$，解得$AP=7x$，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{7x}{3x}=\frac{7}{3}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
(1) $\frac{AP}{PD}=1$
(2) $\frac{AP}{PD}=\frac{7}{3}$
（辅助线图：、）
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线的性质，比例线段计算
【点评】
本题是典型的线段比值类几何题，核心解题思路是通过构造平行线得到相似三角形，将所求线段比转化为已知比例的对应边关系求解，解题时要注意结合已知条件合理选择作辅助线的位置，熟练运用相似三角形的性质进行推导。
【难度系数】
0.65