8.「2026湖北武汉江岸月考，★★☆」如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D为AB边上一点(不与B点重合)，连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE。若AB=7，则△BDE面积的最大值为。
利用旋转的性质求面积

8.答案 $\frac{441}{32}$
解析 如图,过 C 点作 $CM ⊥ AB$ 交 BA 的延长线于点 M,过 E 点作 $EN ⊥ AB$ 交 BA 的延长线于点 N,$\therefore ∠END = ∠CMD = 90°,\therefore ∠EDN+∠DEN = 90°$,由旋转的性质得 $CD = DE$,
$∠EDC = 90°,\therefore ∠EDN+∠CDM = 90°,\therefore ∠DEN = ∠CDM$.在 $△ EDN$ 和 $△ DCM$ 中, $\begin{cases} ∠DEN = ∠CDM, \\ ∠END = ∠DMC = 90°, \\ ED = DC, \end{cases}$ $\therefore △ EDN ≌ △ DCM(AAS),\therefore EN = DM,\because ∠BAC = 120°,\therefore ∠MAC = 60°,$
$\therefore ∠ACM = 30°,\because AC = AB = 7,\therefore AM = \frac{1}{2}AC = \frac{7}{2},\therefore BM = AB+AM = 7+\frac{7}{2} = \frac{21}{2}$,设 $BD = x$,则 $EN = DM = \frac{21}{2}-x,\therefore S_{△ BDE} = \frac{1}{2}BD · EN = \frac{1}{2}x · (\frac{21}{2}-x) = -\frac{1}{2}(x-\frac{21}{4})^2+\frac{441}{32},\therefore$ 当 $BD = \frac{21}{4}$ 时, $S_{△ BDE}$ 取最大值,为 $\frac{441}{32}.$

9.「2026北京西城期中，★☆」如图，$△ ABC$是等边三角形，点D是AC边上一点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转$60°$得到线段BE，连接AE，DE.
(1)求证:$△ BCD≌△ BAE$.
(2)若$AC=8$，$AE=5$，求$△ ABD$的面积.

9.解析 (1)证明:$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore BC = BA,∠ABC = 60°,\therefore ∠CBD+∠ABD = 60°,$
由旋转的性质得 $BE = BD,∠EBD = 60°,$
$\therefore ∠ABE+∠ABD = 60°,\therefore ∠CBD = ∠ABE,$
在 $△ BCD$ 和 $△ BAE$ 中, $\begin{cases} BC = BA, \\ ∠CBD = ∠ABE, \\ BD = BE, \end{cases}$
$\therefore △ BCD ≌ △ BAE(SAS).$
(2)如图,过 B 点作 $BH ⊥ AC$ 于 H 点,
$\because △ BCD ≌ △ BAE,\therefore CD = AE = 5,$
$\therefore AD = AC-CD = 8-5 = 3,$
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore BC = AC = 8,∠C = 60°,$
$\because BH ⊥ AC,\therefore AH = CH = \frac{1}{2}AC = 4,$
在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中,$BH = \sqrt{8^2-4^2} = 4\sqrt{3},$
$\therefore △ ABD$ 的面积 $= \frac{1}{2}AD · BH = \frac{1}{2}×3×4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$

10.「2026山西阳泉期中，★★☆」如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,-2)$,点B在x轴上,$∠OBA=30°$.若把$Rt△OAB$绕点A逆时针旋转$30°$,得到$Rt△EAC$,点B旋转后的对应点为C,则点C的坐标为（）

A.$(4,-2)$
B.$(2,2)$
C.$(2,2-2\sqrt{3})$
D.$(2,2\sqrt{3}-2)$

10.D 如图,过点 C 作 $CD ⊥ y$ 轴于点 D,在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中, $∠OBA = 30°,\therefore ∠OAB = 60°,AB = 2OA,\because$ 点 A 的坐标为 $(0,-2),\therefore OA = 2,\therefore AB = 2OA = 4$,由旋转的性质得 $AC = AB = 4,∠BAC = 30°,\therefore ∠CAD = ∠OAB-∠BAC = 30°,$
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 2,\therefore AD = \sqrt{AC^2-CD^2} = \sqrt{4^2-2^2} = 2\sqrt{3},$
$\therefore OD = AD-OA = 2\sqrt{3}-2,\therefore$ 点 C 的坐标为 $(2,2\sqrt{3}-2)$.故选 D.

11.「2025山西中考，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(6,0)$，将线段OA绕点O逆时针旋转$45°$，则点A对应点的坐标为。

11.答案 $(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
解析 如图,将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 $45°$ 得到 $OA_1$,过点 $A_1$ 作 $A_1B ⊥ x$ 轴于点 B,则 $∠A_1BO = 90°,\because$ 点 A 的坐标为 $(6,0),\therefore OA = 6$,由旋转的性质得 $OA_1 = OA = 6$, $∠AOA_1 = 45°,\therefore ∠OA_1B = 45° = ∠A_1OB,\therefore A_1B = OB$,在 $\mathrm{Rt}△ A_1OB$ 中, $A_1B^2 + OB^2 = A_1O^2$, 即 $2OB^2 = 2A_1B^2 = 6^2$, $\therefore OB = A_1B = 3\sqrt{2}$(舍负),$\therefore$ 点 A 对应点的坐标为 $(3\sqrt{2},3\sqrt{2}).$