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16.如图,在矩形ABCD中连结BD,在△BCD,△ABD内分别取一点P,Q,使点P到△BCD三边的距离PE,PF,PG都相等,使点Q到△ABD三边的距离QH,QM,QN都相等,已知BE=m,DF=n(m＞n),若mn=28,矩形ABCD的周长为32,则图中阴影部分的面积是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$8\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题需利用“到三角形三边距离相等的点是三角形内心”的性质，结合矩形周长、直角三角形内心半径公式推导关键量，最终计算阴影面积。步骤为：先确定P、Q是对应直角三角形的内心，设矩形边长与内心距离，结合周长、mn=28建立方程，解得关键量后计算阴影面积。
【解析】
设矩形ABCD的长为a，宽为b，由周长为32得：2(a+b)=32 → a+b=16。
∵点P到△BCD三边距离相等，
∴P是Rt△BCD的内心，设内心到各边距离为r；同理Q是Rt△ABD的内心，内心到各边距离也为r（△ABD与△BCD全等，内心半径相同）。
由题意：BE=m=b-r，DF=n=a-r，因此：
m+n=(b-r)+(a-r)=a+b-2r=16-2r，
mn=(b-r)(a-r)=ab - r(a+b) + r²=28。
又Rt△内心半径公式为r=(两直角边和-斜边)/2，△BCD的斜边BD=√(a²+b²)，故r=(a+b - BD)/2 → BD=16-2r。
结合BD²=a²+b²=(a+b)²-2ab=256-2ab，代入BD=16-2r得：
(16-2r)²=256-2ab → ab=32r-2r²。
将ab代入mn的表达式：
32r-2r² -16r +r²=28 → 16r -r²=28 → r²-16r+28=0，
解得r=2（r=14舍去，不符合实际）。
此时m+n=12，mn=28，故(m-n)²=(m+n)²-4mn=144-112=32 → m-n=4√2（m＞n）。
观察图形，阴影为平行四边形，面积=(m-n)×r=4√2×2=8√2。
【答案】
$8\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内心性质、矩形性质、直角三角形内切圆半径
【点评】
本题综合考查三角形内心性质、矩形周长与面积计算，关键是利用直角三角形内心半径公式建立方程推导关键量，需熟练掌握内心相关性质，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4
本题需利用“到三角形三边距离相等的点是三角形内心”的性质，结合矩形周长、直角三角形内心半径公式推导关键量，最终计算阴影面积。步骤为：先确定P、Q是对应直角三角形的内心，设矩形边长与内心距离，结合周长、mn=28建立方程，解得关键量后计算阴影面积。
【解析】
设矩形ABCD的长为a，宽为b，由周长为32得：2(a+b)=32 → a+b=16。
∵点P到△BCD三边距离相等，
∴P是Rt△BCD的内心，设内心到各边距离为r；同理Q是Rt△ABD的内心，内心到各边距离也为r（△ABD与△BCD全等，内心半径相同）。
由题意：BE=m=b-r，DF=n=a-r，因此：
m+n=(b-r)+(a-r)=a+b-2r=16-2r，
mn=(b-r)(a-r)=ab - r(a+b) + r²=28。
又Rt△内心半径公式为r=(两直角边和-斜边)/2，△BCD的斜边BD=√(a²+b²)，故r=(a+b - BD)/2 → BD=16-2r。
结合BD²=a²+b²=(a+b)²-2ab=256-2ab，代入BD=16-2r得：
(16-2r)²=256-2ab → ab=32r-2r²。
将ab代入mn的表达式：
32r-2r² -16r +r²=28 → 16r -r²=28 → r²-16r+28=0，
解得r=2（r=14舍去，不符合实际）。
此时m+n=12，mn=28，故(m-n)²=(m+n)²-4mn=144-112=32 → m-n=4√2（m＞n）。
观察图形，阴影为平行四边形，面积=(m-n)×r=4√2×2=8√2。
【答案】
$8\sqrt{2}$
【知识点】
三角形内心性质、矩形性质、直角三角形内切圆半径
【点评】
本题综合考查三角形内心性质、矩形周长与面积计算，关键是利用直角三角形内心半径公式建立方程推导关键量，需熟练掌握内心相关性质，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本大题有8个小题,共72分)
17.(本题8分)解方程:
(1)$x^2 - 36 = 0$;
(2)$x(x + 3) - x = 3$。
17.(本题8分)解方程:
(1)$x^2 - 36 = 0$;
(2)$x(x + 3) - x = 3$。
答案
解:(1)移项,得$x^2=36$,解得$x_1=6$,$x_2=-6$;
(2)移项,得$x(x+3)-x-3=0$,提取公因式,得$(x+3)·(x-1)=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$。
(2)移项,得$x(x+3)-x-3=0$,提取公因式,得$(x+3)·(x-1)=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，第(1)题通过移项后利用直接开平方法求解；第(2)题先移项整理，再用因式分解法将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求出方程的解。
【解析】
解：(1)移项，得$x^2 = 36$，
两边开平方，得$x = ±6$，
所以$x_1 = 6$，$x_2 = -6$；
(2)移项，得$x(x + 3) - x - 3 = 0$，
提取公因式，得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
【答案】
(1)$x_1 = 6$，$x_2 = -6$；(2)$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，分别考查直接开平方法和因式分解法，要求学生掌握移项、提取公因式等基本操作，熟练运用一元二次方程的求解方法，属于学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的解法，第(1)题通过移项后利用直接开平方法求解；第(2)题先移项整理，再用因式分解法将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求出方程的解。
【解析】
解：(1)移项，得$x^2 = 36$，
两边开平方，得$x = ±6$，
所以$x_1 = 6$，$x_2 = -6$；
(2)移项，得$x(x + 3) - x - 3 = 0$，
提取公因式，得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
【答案】
(1)$x_1 = 6$，$x_2 = -6$；(2)$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，分别考查直接开平方法和因式分解法，要求学生掌握移项、提取公因式等基本操作，熟练运用一元二次方程的求解方法，属于学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
18.(本题8分)一个直角三角形的斜边长为$a+4$，一条直角边长为$a$。
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长；
(2)当$a=4$时，这个直角三角形的面积是多少？
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长；
(2)当$a=4$时，这个直角三角形的面积是多少？
答案
解:(1)另一条直角边的长为$\sqrt{(a+4)^2-a^2}=\sqrt{8a+16}=2\sqrt{2a+4}$;
(2)当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以直角三角形的面积是$\dfrac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
(2)当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以直角三角形的面积是$\dfrac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，需运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，因此另一条直角边的平方等于斜边平方减去已知直角边的平方，再对所得代数式化简即可；第(2)问将$a=4$代入第(1)问的结果得到另一条直角边，再根据直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 根据勾股定理，直角三角形另一条直角边的长为：
$\sqrt{(a+4)^2 - a^2}$
展开并化简：
$\sqrt{a^2 + 8a + 16 - a^2} = \sqrt{8a + 16} = \sqrt{4(2a + 4)} = 2\sqrt{2a + 4}$；
(2) 当$a=4$时，另一条直角边的长为：
$2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$；
直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×a×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2a + 4}$；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，二次根式化简，三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的应用、二次根式化简及直角三角形面积计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用勾股定理和二次根式化简规则，计算时需注意代数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，需运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，因此另一条直角边的平方等于斜边平方减去已知直角边的平方，再对所得代数式化简即可；第(2)问将$a=4$代入第(1)问的结果得到另一条直角边，再根据直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 根据勾股定理，直角三角形另一条直角边的长为：
$\sqrt{(a+4)^2 - a^2}$
展开并化简：
$\sqrt{a^2 + 8a + 16 - a^2} = \sqrt{8a + 16} = \sqrt{4(2a + 4)} = 2\sqrt{2a + 4}$；
(2) 当$a=4$时，另一条直角边的长为：
$2\sqrt{2×4 + 4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$；
直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×a×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2a + 4}$；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理，二次根式化简，三角形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的应用、二次根式化简及直角三角形面积计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用勾股定理和二次根式化简规则，计算时需注意代数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
19.(本题8分)如图，$△ ABC$中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作$CE // AB$交DF的延长线于点E，连结AE，CD。
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形；
(2)若$∠ B=30°$，$∠ CAB=45°$，$CD=BD=2$，求AD的长。
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形；
(2)若$∠ B=30°$，$∠ CAB=45°$，$CD=BD=2$，求AD的长。
答案
解:(1)证明:因为$AB// CE$,所以$∠CAD=∠ACE$,$∠ADE=∠CED$。因为F是AC中点,所以$AF=CF$。
在$△ AFD$与$△ CFE$中,$\begin{cases} ∠FAD=∠FCE, \\ ∠ADF=∠CEF, \\ AF=CF, \end{cases}$所以$△ AFD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$,所以$DF=EF$,所以四边形ADCE是平行四边形;
(2)过点C作$CG⊥ AB$于点G,因为$CD=BD$,$∠B=30°$,所以$∠DCB=∠B=30°$,所以$∠CDG=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中,$∠DGC=90°$,$∠CDG=60°$,所以$∠DCG=30°$,所以$GD=\dfrac{1}{2}CD=1$,所以$CG=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因为$∠CAB=45°$,所以$∠CAG=∠GCA=45°$,所以$AG=CG=\sqrt{3}$,所以$AD=AG+DG=\sqrt{3}+1$。
解析
【分析】
要解决这道题，分两步分析：
1. 第(1)问证明四边形ADCE是平行四边形：已知CE//AB，可得到内错角相等，结合F是AC中点（AF=CF），能证明△AFD≌△CFE，进而得到DF=EF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可完成证明。
2. 第(2)问求AD的长：通过作CG⊥AB构造直角三角形，利用CD=BD得到等腰△CDB，算出∠CDG=60°，在Rt△CGD中用30°角的性质求出GD和CG，再在Rt△AGC中，由∠CAB=45°得AG=CG，最后通过AD=AG+GD计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE//AB，
∴ ∠FAD=∠FCE，∠ADF=∠CEF。
∵ F是AC中点，
∴ AF=CF。
在△AFD和△CFE中，
$\begin{cases} ∠FAD=∠FCE \\ ∠ADF=∠CEF \\ AF=CF \end{cases}$
∴ △AFD≌△CFE（AAS），
∴ DF=EF。
又
∵ AF=CF，
∴ 四边形ADCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵ CD=BD=2，
∴ ∠DCB=∠B=30°，
∴ ∠CDG=∠DCB+∠B=60°。
在Rt△CGD中，∠DGC=90°，∠CDG=60°，
∴ ∠DCG=30°，
∴ GD=$\frac{1}{2}$CD=1，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{CD^2 - GD^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，∠CAG=45°，
∴ ∠ACG=45°，
∴ AG=CG=$\sqrt{3}$，
∴ AD=AG + GD = $\sqrt{3}$ +1。
【答案】
解:(1)证明:因为$AB// CE$,所以$∠CAD=∠ACE$,$∠ADE=∠CED$。因为F是AC中点,所以$AF=CF$。
在$△ AFD$与$△ CFE$中,$\begin{cases} ∠FAD=∠FCE, \\ ∠ADF=∠CEF, \\ AF=CF, \end{cases}$所以$△ AFD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$,所以$DF=EF$,所以四边形ADCE是平行四边形;
(2)过点C作$CG⊥ AB$于点G,因为$CD=BD$,$∠B=30°$,所以$∠DCB=∠B=30°$,所以$∠CDG=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中,$∠DGC=90°$,$∠CDG=60°$,所以$∠DCG=30°$,所以$GD=\dfrac{1}{2}CD=1$,所以$CG=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因为$∠CAB=45°$,所以$∠CAG=∠GCA=45°$,所以$AG=CG=\sqrt{3}$,所以$AD=AG+DG=\sqrt{3}+1$。
【知识点】平行四边形的判定，全等三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】本题是几何综合题，第(1)问考查平行四边形的判定，通过全等三角形得到对角线互相平分即可证明，属于基础题型；第(2)问需要作辅助线构造直角三角形，利用等腰三角形和特殊直角三角形的性质计算，需掌握辅助线的构造方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，分两步分析：
1. 第(1)问证明四边形ADCE是平行四边形：已知CE//AB，可得到内错角相等，结合F是AC中点（AF=CF），能证明△AFD≌△CFE，进而得到DF=EF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可完成证明。
2. 第(2)问求AD的长：通过作CG⊥AB构造直角三角形，利用CD=BD得到等腰△CDB，算出∠CDG=60°，在Rt△CGD中用30°角的性质求出GD和CG，再在Rt△AGC中，由∠CAB=45°得AG=CG，最后通过AD=AG+GD计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE//AB，
∴ ∠FAD=∠FCE，∠ADF=∠CEF。
∵ F是AC中点，
∴ AF=CF。
在△AFD和△CFE中，
$\begin{cases} ∠FAD=∠FCE \\ ∠ADF=∠CEF \\ AF=CF \end{cases}$
∴ △AFD≌△CFE（AAS），
∴ DF=EF。
又
∵ AF=CF，
∴ 四边形ADCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵ CD=BD=2，
∴ ∠DCB=∠B=30°，
∴ ∠CDG=∠DCB+∠B=60°。
在Rt△CGD中，∠DGC=90°，∠CDG=60°，
∴ ∠DCG=30°，
∴ GD=$\frac{1}{2}$CD=1，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{CD^2 - GD^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，∠CAG=45°，
∴ ∠ACG=45°，
∴ AG=CG=$\sqrt{3}$，
∴ AD=AG + GD = $\sqrt{3}$ +1。
【答案】
解:(1)证明:因为$AB// CE$,所以$∠CAD=∠ACE$,$∠ADE=∠CED$。因为F是AC中点,所以$AF=CF$。
在$△ AFD$与$△ CFE$中,$\begin{cases} ∠FAD=∠FCE, \\ ∠ADF=∠CEF, \\ AF=CF, \end{cases}$所以$△ AFD≌△ CFE(\mathrm{AAS})$,所以$DF=EF$,所以四边形ADCE是平行四边形;
(2)过点C作$CG⊥ AB$于点G,因为$CD=BD$,$∠B=30°$,所以$∠DCB=∠B=30°$,所以$∠CDG=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中,$∠DGC=90°$,$∠CDG=60°$,所以$∠DCG=30°$,所以$GD=\dfrac{1}{2}CD=1$,所以$CG=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
因为$∠CAB=45°$,所以$∠CAG=∠GCA=45°$,所以$AG=CG=\sqrt{3}$,所以$AD=AG+DG=\sqrt{3}+1$。
【知识点】平行四边形的判定，全等三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】本题是几何综合题，第(1)问考查平行四边形的判定，通过全等三角形得到对角线互相平分即可证明，属于基础题型；第(2)问需要作辅助线构造直角三角形，利用等腰三角形和特殊直角三角形的性质计算，需掌握辅助线的构造方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
