1. （2025·扬州期末）如图，已知点$A,B$在电线$OP$上，$OA=\dfrac{2}{5}OP$，$BP=\dfrac{7}{10}OP$.若将电线在点$A$处折叠，使点$O,B$分别落在点$O',B'$处，则用老虎钳在点$B'$处剪断后，电线$OP$剪成的三段中，最短的电线与最长的电线长度比是（）


A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$2:5$

因为折叠,所以A是$OO'$的中点,A是$BB'$的中点,所以$OA=AO',AB=AB'$.设$OP=x$,所以$OA=AO'=\dfrac{2}{5}OP=\dfrac{2}{5}x$,$BP=\dfrac{7}{10}OP=\dfrac{7}{10}x$,$AB=AB'=OA+BP-OP=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{7}{10}x-x=\dfrac{1}{10}x$. 三段电线分别为$OB,BB',B'P$,其中$OB=O'B'=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{10}x=\dfrac{3}{10}x$,$BB'=\dfrac{1}{5}x$,$B'P=OP-OB'=x-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{10}x=\dfrac{1}{2}x$. 所以$BB'＜OB＜B'P$,所以最短的电线与最长的电线长度比是$BB':B'P=\dfrac{\dfrac{1}{5}x}{\dfrac{1}{2}x}=2:5$. 故选D.

2. (2025·徐州期末)如图,已知线段$AB=15$,点$C$为$AB$上一点且$AC=3$,点$P$是$BC$的中点.

(1)求$CP$的长度;
(2)点$D$是直线$AB$上一点,且$CD+BD=14$,求$CD$的长.

2. (1)因为$AB=15,AC=3$,所以$BC=AB-AC=12$.因为点$P$是$BC$的中点,所以$PC=\dfrac{1}{2}BC=6$.
(2)因为$CD+BD=14,AB=15,AC=3$,所以$CB=12$,如图①,当点$D$在点$P$的左边时,$CD+BD=2CD+CB=2CD+12=14$,所以$CD=1$;

如图②,当点$D$在点$P$的右边时,$CD+BD=CB+2BD=12+2BD=14$,所以$BD=1$,$CD=BC+BD=12+1=13$.综上所述,$CD$的长为$1$或$13$.

3. 已知A,B,C,D四点在同一直线上,点D在线段AB上.
(1)如图,若线段$AB=24$,点C是线段AB的中点,$CD=\frac{1}{3}BD$,求线段CD的长度;
(2)若线段$AB=21a$,点C是线段AB上一点,且满足$AC=2BC,AD:BD=3:4$,求线段CD的长度.(用含a的式子表示)

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P113 专题3~P120 专题9

3. (1)因为线段$AB=24$,点$C$是线段$AB$的中点,所以$AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=12$.因为$CD=\dfrac{1}{3}BD$,所以$CD=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}×12=3$.
(2)因为点$D$在线段$AB$上,$AB=21a$,$AD:BD=3:4$,所以$AD=9a$,$BD=12a$.因为$AB=21a$,$AC=2BC$,所以$AC=14a$,$BC=7a$,所以$CD=AC-AD=14a-9a=5a$.