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1. (2025·宿迁期末)如图,将一张长方形纸片分别沿着EP,FP对折,使点B落在点B',点C落在点C',点P,B',C'不在同一直线上,若$∠EPF+∠B'PC'=111°$,则$∠B'PC'$的度数为 (
A.$10°$
B.$8°$
C.$12°$
D.$14°$
D
)A.$10°$
B.$8°$
C.$12°$
D.$14°$
答案
1. D 【解析】因为∠EPF + ∠B' PC' = 111°, ∠EPF = ∠EPB' + ∠FPC' + ∠B' PC', 所以∠EPB' + ∠FPC' + 2∠B'PC' = 111°,所以∠EPB'+∠FPC' = 111°-2∠B'PC'.由折叠的性质得∠EPB' = ∠EPB, ∠FPC' = ∠FPC.因为∠EPB'+∠EPB+∠FPC'+∠FPC+∠B'PC' = 180°,所以2(∠EPB'+∠FPC') + ∠B' PC' = 180°, 所以 2(111° - 2∠B'PC')+∠B'PC' = 180°,即∠B'PC' = 14°,故选 D.
2. (2025·泰州期末)如图,将长方形纸片ABCD的一角折叠,使顶点A落在点A'处,折痕为EO.点F为射线BC上一点,连接OF,将长方形纸片的另一角∠B沿OF折叠,使得点B落在点B'处(折痕为OF).若∠A'OB'=36°,则∠EOF=
108或72
°.答案
2. 108 或 72 【解析】由题意可知,∠AOE = ∠A' OE = 1/2∠AOA',∠BOF = ∠B' OF = 1/2∠BOB',所以∠AOA' = 2∠AOE,∠BOB' = 2∠BOF,①当OB'在∠AOA'的外部时,如图①, 因为∠AOA' + ∠BOB' + ∠A' OB' = 180°, 且∠A'OB' = 36°,2∠AOE+2∠BOF+∠A' OB' = 180°,所以∠AOE+∠BOF = (180°-∠A'OB')/2 = (180°-36°)/2 =72°,所以∠EOF=180°-(∠AOE+∠BOF)=180°-72°=108°;
②当OB'在∠AOA'的内部时,如图②,因为∠AOA'+∠BOB'-∠A'OB' = 180°,且∠A'OB' = 36°,所以2∠AOE+2∠BOF-∠A'OB' = 180°,所以∠AOE+∠BOF = (180°+∠A'OB')/2 = (180°+36°)/2 = 108°,所以∠EOF = 180°-(∠AOE+∠BOF) = 180°-108°=72°.综上,∠EOF = 108°或72°.3. (2024·南京期末)已知∠AOB=90°,以O为端点画射线OM.将射线OM沿直线OA翻折,得到射线ON,将射线OM绕点O顺时针旋转60°,得到射线OP.若∠NOP=10°,则∠BOM= ______°.
答案
3. 55 或 65 或 115 或 125 【解析】①当ON,OP在∠AOB的内部,ON在OP上方时,如图①,因为∠MOP = 60°,∠NOP = 10°,所以∠MON = 50°.由翻折得,∠AOM = 1/2∠MON=25°,所以∠BOM=∠AOM+∠AOB=115°;
②当ON,OP在∠AOB的内部,ON在OP下方时,如图②,因为∠MOP=60°,∠NOP=10°,所以∠MON=70°.由翻折得,∠AOM = 1/2∠MON = 35°,所以∠BOM = ∠AOM + ∠AOB=125°;③当ON,OP在∠AOB的外部,ON在OP下方时,如图③,因为∠MOP=60°,∠NOP=10°,所以∠MON=50°.由翻折得,∠FOM = 1/2∠MON = 25°,所以∠BOM = ∠BOF - ∠FOM=65°;
④当ON,OP在∠AOB的外部,ON在OP上方时,如图④,因为∠MOP=60°,∠NOP=10°,所以∠MON=70°.由翻折得,∠FOM = 1/2∠MON = 35°,所以∠BOM = ∠BOF - ∠FOM=55°.综上,∠BOM=55°或65°或115°或125°.4. 问题情境:
数学活动课上,如图①,老师拿一张长方形纸片折叠一角,得到折痕EF,同学们发现折痕有角平分线的作用.
问题解决:
(1)若$∠EFA'=35°$,则$∠A'FB=$
(2)实践探究:希望小组受此问题的启发,将长方形纸片按图②方式折叠,EF,FG为折痕,点$A'$,$B'$,F恰好在同一条直线上,求$∠EFG$的度数;
(3)拓展延伸:智慧小组将长方形纸片按图③方式折叠,DE,CE为折痕,若$∠A'EB'=15°$,请直接写出$∠DEC$的度数.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P133 专题18~P137 专题21
数学活动课上,如图①,老师拿一张长方形纸片折叠一角,得到折痕EF,同学们发现折痕有角平分线的作用.
问题解决:
(1)若$∠EFA'=35°$,则$∠A'FB=$
110°
;(2)实践探究:希望小组受此问题的启发,将长方形纸片按图②方式折叠,EF,FG为折痕,点$A'$,$B'$,F恰好在同一条直线上,求$∠EFG$的度数;
(3)拓展延伸:智慧小组将长方形纸片按图③方式折叠,DE,CE为折痕,若$∠A'EB'=15°$,请直接写出$∠DEC$的度数.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P133 专题18~P137 专题21
答案
4. (1) 110° 【解析】因为折痕 FE 是∠AFA'的平分线,∠EFA' = 35°,所以∠AFE = 35°.因为∠A' FB = 180° - ∠AFE - ∠A' FE,所以∠A' FB = 180°-35°-35° = 110°.
(2) 根据题意,得∠A' FE = ∠AFE = 1/2∠A' FA, ∠B' FG = ∠GFB = 1/2∠B' FB,所以∠EFG = ∠A' FE + ∠B' FG = 1/2(∠A' FA+∠B' FB) = 1/2×180° = 90°.
(3) ∠DEC = 82.5°. 【解析】根据题意,得∠AED = ∠DEA',∠BEC = ∠CEB'.因为∠DEC = ∠CEB' + ∠DEA' - ∠A'EB',且∠A'EB' = 15°,所以∠AED+∠DEA'+∠CEB'+∠BEC = 180°+15° = 195°,所以∠AED+∠BEC = 1/2×195° = 97.5°,所以∠DEC = 180°-97.5° = 82.5°.
(2) 根据题意,得∠A' FE = ∠AFE = 1/2∠A' FA, ∠B' FG = ∠GFB = 1/2∠B' FB,所以∠EFG = ∠A' FE + ∠B' FG = 1/2(∠A' FA+∠B' FB) = 1/2×180° = 90°.
(3) ∠DEC = 82.5°. 【解析】根据题意,得∠AED = ∠DEA',∠BEC = ∠CEB'.因为∠DEC = ∠CEB' + ∠DEA' - ∠A'EB',且∠A'EB' = 15°,所以∠AED+∠DEA'+∠CEB'+∠BEC = 180°+15° = 195°,所以∠AED+∠BEC = 1/2×195° = 97.5°,所以∠DEC = 180°-97.5° = 82.5°.
