1 [2025 陕西咸阳期末]下列可以作为定理的有()
①一个能被 2 整除的数也必能被 4 整除；②相等的角是对顶角；③25 与 $x$ 的平均数是 3；④三角形内角和为 $180^{\circ}$.
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

1. A 【解析】能被2整除的数未必能被4整除，所以①是假命题，不能作为定理；相等的角不一定是对顶角，所以②是假命题，不能作为定理；25与$x$的平均数是$\frac{25 + x}{2}$，所以③是假命题，不能作为定理；三角形的内角和为$180^{\circ}$，经过证明是正确的，所以④可以作为定理。故选A。

2 [2024 湖北武汉期中]如图，在由线段 $AB$，$CD$，$DF$，$BF$，$CA$ 组成的平面图形中，∠D = $28^{\circ}$，则∠A + ∠B + ∠C + ∠F 的度数为()

A.$262^{\circ}$
B.$152^{\circ}$
C.$208^{\circ}$
D.$236^{\circ}$

2. C 【解析】如图，$\because ∠1 = ∠B + ∠F = ∠D + ∠3$，$∠D = 28^{\circ}$，$\therefore ∠3 = ∠B + ∠F - 28^{\circ}$。又$\because ∠2 = ∠A + ∠C$，$\therefore ∠2 + ∠3 = ∠A + ∠C + ∠B + ∠F - 28^{\circ}$。$\because ∠2 + ∠3 = 180^{\circ}$，$\therefore 180^{\circ} = ∠A + ∠C + ∠B + ∠F - 28^{\circ}$，$\therefore ∠A + ∠C + ∠B + ∠F = 180^{\circ} + 28^{\circ} = 208^{\circ}$。故选C。

3 [2025 山东济宁二模]若 $a$，$b$，$c$($a$，$b$，$c$ 均不为 0)满足 $a + c = b$，且 $bc + ac = ab$，则下列命题为假命题的是()

A.若 $b ＞ c ＞ 0$，则 $a ＞ 0$
B.若 $c = 1$，则 $a(a - 1) = 1$
C.若 $bc = 1$，则 $a = 1$
D.若 $a^{2} - c^{2} = 2$，则 $ac = 2$

3. C 【解析】$\because a + c = b$，$b ＞ c ＞ 0$，$\therefore a = b - c ＞ 0$，正确，故A为真命题，不符合题意。$\because c = 1$，$\therefore b = a + 1$。$\because bc + ac = ab$，$\therefore a + 1 + a - a(a + 1) = 0$，整理得，$a(a - 1) = 1$，正确，故B为真命题，不符合题意。$\because a + c = b$，且$bc + ac = ab$，$bc = 1$，$\therefore 1 + ac - a(a + c) = 0$，整理得，$1 - a^{2} = 0$，$\therefore a^{2} = 1$，$\therefore a = 1$或$a = -1$，错误，故C为假命题，符合题意。$\because a + c = b$，且$bc + ac = ab$，$\therefore (a + c)c + ac - a(a + c) = 0$，整理得，$ac + c^{2} - a^{2} = 0$。$\because a^{2} - c^{2} = 2$，$\therefore ac = a^{2} - c^{2} = 2$，正确，故D为真命题，不符合题意。故选C。

4 [2024 江苏南通质检]将命题“两直线平行，同旁内角互补”，改写成“如果……，那么……”的形式为.

4. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 【解析】把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果……，那么……”的形式为如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。

5 [2024 江苏南京建邺区期末]某中学七年级共有四个班，每班各选 5 名同学组成一个代表队，这四支代表队(分别用 A，B，C，D 表示)进行数学知识应用竞赛. 甲、乙、丙三位同学预测的结果分别为甲：C 是亚军，D 是季军；乙：D 是冠军，A 是亚军；丙：C 是冠军，B 是亚军. 已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠、亚、季、殿军分别为.

5. C，A，D，B 【解析】假设甲预测的C是亚军正确，则D是季军错误，故乙预测的D是冠军正确，A是亚军错误，故丙预测的B是亚军，C是冠军均错误，所以甲预测的C是亚军错误，即甲预测的D是季军正确，故乙预测的D是冠军错误，A是亚军正确，故丙预测的B是亚军错误，C是冠军正确，所以冠、亚、季、殿军分别为C，A，D，B。故答案为C，A，D，B。

6 [2024 江苏南京秦淮区质检]已知∠ABC 的两边与∠DEF 的两边分别垂直，即 $AB ⊥ DE$，$BC ⊥ EF$，垂足分别为点 $M$ 和 $N$，试探究：

(1)如图(1)，∠B 与∠E 的数量关系是；
(2)如图(2)，写出∠B 与∠E 的数量关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题.

6. 【解】(1)$\because AB⊥DE$，$BC⊥EF$，$\therefore ∠BME = ∠BNE = 90^{\circ}$，$\therefore ∠B + ∠E = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 180^{\circ}$。故答案为$∠B + ∠E = 180^{\circ}$。
(2)$∠B = ∠E$。理由：$\because AB⊥DE$，$BC⊥EF$，$\therefore ∠BME = ∠BNE = 90^{\circ}$。又$\because ∠EGM = ∠BGN$，$\therefore ∠B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - ∠BGN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - ∠EGM = ∠E$，即$∠B = ∠E$。
(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

7 综合与探究：小明在学习中遇到这样一个问题：已知∠MON = $90^{\circ}$，点 $A$，$B$ 分别在 $OM$，$ON$ 上运动（不与点 $O$ 重合），连接 $AB$，过点 $B$ 作线段 $BC$.
探究与发现：（1）如图（1），若 $BC$ 是∠ABN 的平分线，$BC$ 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点 $D$.
猜想∠D 的度数是否随 $A$，$B$ 的运动而发生变化？并说明理由.
拓展延伸：（2）如图（2），若∠ABC = $\frac{1}{3}$∠ABN，∠BAD = $\frac{1}{3}$∠BAO，求∠D 的度数.

7. 【解】(1)$∠D$的度数不会随$A$，$B$的运动而发生变化。
理由：$\because ∠ABN$是$△ AOB$的一个外角，
$\therefore ∠AOB = ∠ABN - ∠BAO = 90^{\circ}$。
$\because BC$平分$∠ABN$，$AD$平分$∠BAO$，
$\therefore ∠ABC = \frac{1}{2}∠ABN$，$∠BAD = \frac{1}{2}∠BAO$。
$\because ∠ABC$是$△ ABD$的一个外角，
$\therefore ∠D = ∠ABC - ∠BAD = \frac{1}{2}∠ABN - \frac{1}{2}∠BAO = \frac{1}{2}(∠ABN - ∠BAO) = \frac{1}{2}×90^{\circ} = 45^{\circ}$，
$\therefore ∠D$的度数不会随$A$，$B$的运动而发生变化。
(2)$\because ∠ABN$是$△ AOB$的一个外角，
$\therefore ∠AOB = ∠ABN - ∠BAO = 90^{\circ}$。
$\because ∠ABC$是$△ ABD$的一个外角，
$\therefore ∠D = ∠ABC - ∠BAD$。
$\because ∠ABC = \frac{1}{3}∠ABN$，$∠BAD = \frac{1}{3}∠BAO$，
$\therefore ∠D = ∠ABC - ∠BAD = \frac{1}{3}∠ABN - \frac{1}{3}∠BAO = \frac{1}{3}(∠ABN - ∠BAO) = \frac{1}{3}×90^{\circ} = 30^{\circ}$，
$\therefore ∠D$的度数为$30^{\circ}$。