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1. (2025·河南郑州中牟期末)为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间. 如图(1)是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图(2)的数学问题：已知 $BC// DE$，$∠ ADE=80°$，$∠ ABC=110°$，则$∠ A$ 的度数是(
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
B
).A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
答案
1.B [解析]过点 A 作AF//BC,如图.
∵BC//DE,
∴AF//DE,
∴∠FAD=∠ADE=80°,∠FAB=∠ABC=110°,
∴∠BAD=∠FAB−∠FAD=30°. 故选 B.
2. (2025·内蒙古包头青山区期末)如图,若$AB// CD$,则$α,β,\gamma$之间的关系为(
A.$α+β+\gamma=360°$
B.$α-β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=180°$
D.$α+β+\gamma=180°$
C
).A.$α+β+\gamma=360°$
B.$α-β+\gamma=180°$
C.$α+β-\gamma=180°$
D.$α+β+\gamma=180°$
答案
2.C [解析]如图,作 EF//AB.
∵AB//CD,AB//EF,
∴CD//EF,
∴∠BAE+∠FEA=180°,∠C=∠FEC=γ,
∴α+(β−γ)=180°.故选 C.
3. (2025·辽宁沈阳于洪区期末)生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关. 如图,从光源 $P$点照射到抛物线上的光线 $PA,PB$ 等反射以后沿着与 $EF$ 平行的方向射出,若 $∠ CAP=45°$,$∠ APB=100°$,则$∠ DBP$ 的度数为(
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.无法确定
C
).A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.无法确定
答案
3.C [解析]
∵AC//EF,∠CAP=45°,
∴∠APE=∠CAP=45°.
∵∠APB=100°,
∴∠BPE=55°.
∵BD//EF,
∴∠DBP=∠BPE=55°.
故选 C.
∵AC//EF,∠CAP=45°,
∴∠APE=∠CAP=45°.
∵∠APB=100°,
∴∠BPE=55°.
∵BD//EF,
∴∠DBP=∠BPE=55°.
故选 C.
4. (2025·河南郑州航空港区期末)如图,是路政工程车的工作示意图,工作篮底部 AB 与支撑平台CD 平行.若$∠ 1=35^{\circ },∠ 3=165^{\circ }$,则$∠ 2$的度数为
50°
.答案
4. 50° [解析]工作篮底部 AB 与支撑平台 CD 平行,如图,过点 E 作 EF//AB,
∴AB//EF//CD,
∴∠3+∠GEF=180°,∠FEH=∠1=35°,
∴∠GEF=180°−∠3=180°−165°=15°.
∵∠GEH=∠GEF+∠FEH=15°+35°=50°,
∴路政工程车的工作示意图中∠2的度数为50°.
5. (2025·广东深圳福田区期末)如图，$∠ BMD = ∠ ABM + ∠ MDC$.
(1)求证:$AB// CD$.
小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整.
证明:如图(1)，过点$M$作$MP// AB$，
(2)如图(2)，若$BN$，$DN$分别平分$∠ ABM$和$∠ MDC$，则$∠ M$与$∠ N$之间的等量关系为
(1)求证:$AB// CD$.
小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整.
证明:如图(1)，过点$M$作$MP// AB$，
(2)如图(2)，若$BN$，$DN$分别平分$∠ ABM$和$∠ MDC$，则$∠ M$与$∠ N$之间的等量关系为
∠BMD=2∠BND
.答案
5.(1)过点 M 作 MP//AB,
∴∠ABM=∠BMQ.
又∠BMD = ∠ABM + ∠MDC,∠BMD = ∠BMQ + ∠QMD,
∴∠MDC=∠QMD,
∴MQ//CD,
∴AB//CD.
(2)∠BMD=2∠BND [解析]如图,过点 N 作 NE//AB,
∴∠ABN=∠BNE.同理,可得∠CDN=∠DNE.
又∠BND=∠BNE+∠DNE,
∴∠BND=∠ABN+∠CDN.
∵BN,DN分别平分∠ABM和∠MDC,
∴∠ABM=2∠ABN,∠MDC=2∠CDN,
∴∠ABM+∠MDC=2∠ABN+2∠CDN=2∠BND.
又∠BMD=∠ABM+∠MDC,
∴∠BMD=2∠BND.
