问题情境
【生活情境】如图,将边长为8的正方形分割成四块,重新拼成边长为5和13的长方形,根据拼接前后正方形面积与长方形面积相等的原则,可得64=65.这样看似正确但又明显错误的结论引起了很多人的争议,但又说不出具体原因.你能发现其中的奥秘吗?


【问题提出】如图1,将边长为8的正方形分割成四块,真的能拼成如图2所示边长为5和13的长方形吗?如果不是,它的边长分别是多少?
【问题分析】如图3,我们可以对分割图形的边长设未知数,拼接成如图4所示的长方形,根据剪拼前后面积相等的原则,列出一元二次方程求解.
【问题解决】

由题意得 : x ( x+8 ) =64 , 解得 : x₁=4√5−4 , x₂=−4√5−4 ( 舍 ),
∴x+8=4√5+4,
∴拼成的长方形两边长分别为4√5+4和4√5−4.

【分析】
解决这类剪拼问题的核心依据是图形剪拼前后总面积保持不变，即面积守恒。本题中原正方形的面积可直接计算为8×8=64，因此拼接后的长方形面积也必然是64。结合题目给出的边长设定，长方形两条邻边分别为x和x+8，根据长方形面积公式“面积=长×宽”即可列出一元二次方程，求解方程后注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根，最终就能得到长方形的实际边长。
【解析】
解：原正方形边长为8，因此正方形的面积为：
$S_{\mathrm{正方形}}=8×8=64$
由于图形剪拼前后总面积不变，因此拼接得到的长方形面积$S_{\mathrm{长方形}}=S_{\mathrm{正方形}}=64$。
设长方形较短边长为$x$，则较长边长为$x+8$，根据长方形面积公式列方程得：
$x(x+8)=64$
整理为一元二次方程一般形式：
$x^2+8x-64=0$
配方求解：$x^2+8x+16=64+16$，即$(x+4)^2=80$
开方得：$x+4=\pm4\sqrt{5}$
解得：$x_1=4\sqrt{5}-4$，$x_2=-4\sqrt{5}-4$
∵长方形边长为正数，
∴$x_2=-4\sqrt{5}-4＜0$，不符合实际，舍去。
因此长方形较长边长为$x+8=4\sqrt{5}-4+8=4\sqrt{5}+4$。
【答案】
拼成的长方形两边长分别为$4\sqrt{5}+4$和$4\sqrt{5}-4$
【知识点】
面积守恒原理；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题以趣味几何悖论为背景，核心考察图形剪拼的面积不变性，以及一元二次方程在实际问题中的应用，解题时要注意结合实际意义取舍方程的根，不要被错误的拼接表象迷惑，抓住面积守恒的本质即可快速破题。
【难度系数】
0.7