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27. (11分)一种新型井盖排水系统,系统结构简化示意图如图甲所示,排水系统由井盖、两个相同杠杆(AOB是其中之一)、容器等组成,AB长度是300 mm,AO长度是120 mm。井盖的上表面和侧面都有排水孔,下暴雨时,雨水从排水孔经排水管导流到容器中,再从容器底部的排水孔流入下水道,由于容器的排水速度较小,当容器中的雨水上升到一定高度时,容器下降,拉动杠杆,将井盖顶起,加速路面排水,当容器中的雨水下降到一定高度时,井盖自动下降盖住井口,不影响车辆、行人的通行。该井盖的质量是30 kg,不考虑杠杆的质量,不考虑各连接处的摩擦。
(1)球墨铸铁强度高、韧性好,密度是$7.5× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,若上述规格的井盖全部用球墨铸铁制成,则制作一个这样的井盖需要多少立方米的球墨铸铁?
(2)下暴雨时,杠杆会将井盖顶起50 mm,如图乙所示。两个相同杠杆对井盖至少做了多少焦耳的功?
(3)某次调试中,为了节约用水,调试人员将容器底部的排水孔全部堵住,测出容器的质量是4.2 kg,再将容器和杠杆组装在一起,直接向容器内匀速注水,注水120 s时井盖刚好被顶起,假设在任意时刻水对容器的压力与容器中水的重力大小相等,求每分钟向容器内注水的体积是多少升。
(1)球墨铸铁强度高、韧性好,密度是$7.5× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,若上述规格的井盖全部用球墨铸铁制成,则制作一个这样的井盖需要多少立方米的球墨铸铁?
(2)下暴雨时,杠杆会将井盖顶起50 mm,如图乙所示。两个相同杠杆对井盖至少做了多少焦耳的功?
(3)某次调试中,为了节约用水,调试人员将容器底部的排水孔全部堵住,测出容器的质量是4.2 kg,再将容器和杠杆组装在一起,直接向容器内匀速注水,注水120 s时井盖刚好被顶起,假设在任意时刻水对容器的压力与容器中水的重力大小相等,求每分钟向容器内注水的体积是多少升。
答案
27. 【点拨】本题考查密度、重力、功及杠杆平衡条件的综合应用,涉及密度公式求体积,重力公式算重力、功的公式的应用,注意单位要统一。
【解析】(1)由$\rho=\frac{m}{V}$得,需要球墨铸铁的体积:$V=\frac{m}{\rho}=\frac{30\ \mathrm{kg}}{7.5× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=4× 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$;
(2)井盖所受重力:$G=mg=30\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=300\ \mathrm{N}$,要顶起井盖,两个相同的杠杆至少做功:$W=Gh=300\ \mathrm{N}× 50× 10^{-3}\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{J}$;
(3)由于两个杠杆完全相同,则每个杠杆A端受到的压力和对杠杆向下的拉力相等,井盖刚好被顶起时,杠杆AOB的A端受到的压力:$F_A=\frac{1}{2}G=\frac{1}{2}× 300\ \mathrm{N}=150\ \mathrm{N}$,由杠杆平衡条件得:$F_A L_{OA}=F_B L_{OB}$,容器对杠杆B端的拉力:$F_B=\frac{F_A L_{OA}}{L_{OB}}=\frac{150\ \mathrm{N}× 120\ \mathrm{mm}}{180\ \mathrm{mm}}=100\ \mathrm{N}$,则此时容器中水的重力:$G_水=2F_B-G_容=2F_B-m_容g=2× 100\ \mathrm{N}-4.2\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=158\ \mathrm{N}$,因此每分钟向容器中注入水的质量:$m_水=\frac{1}{2}× \frac{G_水}{g}=\frac{1}{2}× \frac{158\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=7.9\ \mathrm{kg}$,由$\rho=\frac{m}{V}$得,每分钟向容器中注入水的体积:$V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{7.9\ \mathrm{kg}}{1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=7.9× 10^{-3}\ \mathrm{m^3}=7.9\ \mathrm{L}$。
【解析】(1)由$\rho=\frac{m}{V}$得,需要球墨铸铁的体积:$V=\frac{m}{\rho}=\frac{30\ \mathrm{kg}}{7.5× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=4× 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$;
(2)井盖所受重力:$G=mg=30\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=300\ \mathrm{N}$,要顶起井盖,两个相同的杠杆至少做功:$W=Gh=300\ \mathrm{N}× 50× 10^{-3}\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{J}$;
(3)由于两个杠杆完全相同,则每个杠杆A端受到的压力和对杠杆向下的拉力相等,井盖刚好被顶起时,杠杆AOB的A端受到的压力:$F_A=\frac{1}{2}G=\frac{1}{2}× 300\ \mathrm{N}=150\ \mathrm{N}$,由杠杆平衡条件得:$F_A L_{OA}=F_B L_{OB}$,容器对杠杆B端的拉力:$F_B=\frac{F_A L_{OA}}{L_{OB}}=\frac{150\ \mathrm{N}× 120\ \mathrm{mm}}{180\ \mathrm{mm}}=100\ \mathrm{N}$,则此时容器中水的重力:$G_水=2F_B-G_容=2F_B-m_容g=2× 100\ \mathrm{N}-4.2\ \mathrm{kg}× 10\ \mathrm{N/kg}=158\ \mathrm{N}$,因此每分钟向容器中注入水的质量:$m_水=\frac{1}{2}× \frac{G_水}{g}=\frac{1}{2}× \frac{158\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=7.9\ \mathrm{kg}$,由$\rho=\frac{m}{V}$得,每分钟向容器中注入水的体积:$V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{7.9\ \mathrm{kg}}{1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=7.9× 10^{-3}\ \mathrm{m^3}=7.9\ \mathrm{L}$。
解析
【分析】
本题是密度、功、杠杆平衡条件的综合应用题，分三步思考：
1. 第(1)问：已知井盖质量和球墨铸铁密度，利用密度公式变形求体积，直接代入数据计算即可；
2. 第(2)问：先计算井盖重力，顶起井盖做的功等于克服井盖重力做的功，用W=Gh计算，注意单位换算；
3. 第(3)问：结合杠杆平衡条件，先求杠杆B端的力，再推导容器内水的总重力，结合注水时间算出每分钟注水的质量，最后用水的密度公式求体积并换算单位。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得需要球墨铸铁的体积：
$V=\frac{m}{\rho}=\frac{30\ \mathrm{kg}}{7.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
(2) 井盖的重力：$G=mg=30\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=300\ \mathrm{N}$，
顶起井盖做的功：$W=Gh=300\ \mathrm{N}×50×10^{-3}\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{J}$；
(3) 井盖刚好被顶起时，两个相同杠杆，每个杠杆A端受到的压力：$F_A=\frac{1}{2}G=\frac{1}{2}×300\ \mathrm{N}=150\ \mathrm{N}$，
由杠杆平衡条件$F_A L_{OA}=F_B L_{OB}$，已知$AB=300\ \mathrm{mm}$，$OA=120\ \mathrm{mm}$，则$OB=AB-OA=180\ \mathrm{mm}$，
解得容器对杠杆B端的拉力：$F_B=\frac{F_A L_{OA}}{L_{OB}}=\frac{150\ \mathrm{N}×120\ \mathrm{mm}}{180\ \mathrm{mm}}=100\ \mathrm{N}$，
此时容器和水的总重力：$G_{总}=2F_B=2×100\ \mathrm{N}=200\ \mathrm{N}$，
容器的重力：$G_{容}=m_{容}g=4.2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=42\ \mathrm{N}$，
则容器内水的重力：$G_{水}=G_{总}-G_{容}=200\ \mathrm{N}-42\ \mathrm{N}=158\ \mathrm{N}$，
注水120s时水的质量：$m_{水}=\frac{G_{水}}{g}=\frac{158\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=15.8\ \mathrm{kg}$，
每分钟（60s）注入水的质量：$m'=\frac{60\ \mathrm{s}}{120\ \mathrm{s}}×15.8\ \mathrm{kg}=7.9\ \mathrm{kg}$，
每分钟注入水的体积：$V_{水}=\frac{m'}{\rho_{水}}=\frac{7.9\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=7.9×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=7.9\ \mathrm{L}$。
【答案】
(1) $4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；(2) $15\ \mathrm{J}$；(3) $7.9\ \mathrm{L}$
【知识点】
密度公式应用、功的计算、杠杆平衡条件
【点评】
本题综合考查密度、重力、功、杠杆平衡条件的应用，需要学生掌握相关公式并灵活运用，注意单位统一和力臂的确定，对学生的综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是密度、功、杠杆平衡条件的综合应用题，分三步思考：
1. 第(1)问：已知井盖质量和球墨铸铁密度，利用密度公式变形求体积，直接代入数据计算即可；
2. 第(2)问：先计算井盖重力，顶起井盖做的功等于克服井盖重力做的功，用W=Gh计算，注意单位换算；
3. 第(3)问：结合杠杆平衡条件，先求杠杆B端的力，再推导容器内水的总重力，结合注水时间算出每分钟注水的质量，最后用水的密度公式求体积并换算单位。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得需要球墨铸铁的体积：
$V=\frac{m}{\rho}=\frac{30\ \mathrm{kg}}{7.5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；
(2) 井盖的重力：$G=mg=30\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=300\ \mathrm{N}$，
顶起井盖做的功：$W=Gh=300\ \mathrm{N}×50×10^{-3}\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{J}$；
(3) 井盖刚好被顶起时，两个相同杠杆，每个杠杆A端受到的压力：$F_A=\frac{1}{2}G=\frac{1}{2}×300\ \mathrm{N}=150\ \mathrm{N}$，
由杠杆平衡条件$F_A L_{OA}=F_B L_{OB}$，已知$AB=300\ \mathrm{mm}$，$OA=120\ \mathrm{mm}$，则$OB=AB-OA=180\ \mathrm{mm}$，
解得容器对杠杆B端的拉力：$F_B=\frac{F_A L_{OA}}{L_{OB}}=\frac{150\ \mathrm{N}×120\ \mathrm{mm}}{180\ \mathrm{mm}}=100\ \mathrm{N}$，
此时容器和水的总重力：$G_{总}=2F_B=2×100\ \mathrm{N}=200\ \mathrm{N}$，
容器的重力：$G_{容}=m_{容}g=4.2\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=42\ \mathrm{N}$，
则容器内水的重力：$G_{水}=G_{总}-G_{容}=200\ \mathrm{N}-42\ \mathrm{N}=158\ \mathrm{N}$，
注水120s时水的质量：$m_{水}=\frac{G_{水}}{g}=\frac{158\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=15.8\ \mathrm{kg}$，
每分钟（60s）注入水的质量：$m'=\frac{60\ \mathrm{s}}{120\ \mathrm{s}}×15.8\ \mathrm{kg}=7.9\ \mathrm{kg}$，
每分钟注入水的体积：$V_{水}=\frac{m'}{\rho_{水}}=\frac{7.9\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}=7.9×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=7.9\ \mathrm{L}$。
【答案】
(1) $4×10^{-3}\ \mathrm{m^3}$；(2) $15\ \mathrm{J}$；(3) $7.9\ \mathrm{L}$
【知识点】
密度公式应用、功的计算、杠杆平衡条件
【点评】
本题综合考查密度、重力、功、杠杆平衡条件的应用，需要学生掌握相关公式并灵活运用，注意单位统一和力臂的确定，对学生的综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
