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7. 提升题 解方程组：$\frac{2x + 5y}{3} = \frac{x - 2y}{6} = 2$。
答案
由题意得$\begin{cases}\frac{2x + 5y}{3}=2\\frac{x - 2y}{6}=2\end{cases}$
化简第一个方程：两边同乘3，得$2x + 5y = 6$ ①
化简第二个方程：两边同乘6，得$x - 2y = 12$ ②
由②得$x = 12 + 2y$ ③
将③代入①：$2(12 + 2y) + 5y = 6$
展开得$24 + 4y + 5y = 6$
合并同类项得$9y = -18$
解得$y = -2$
将$y = -2$代入③：$x = 12 + 2×(-2) = 8$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=8\\y=-2\end{cases}$
化简第一个方程：两边同乘3，得$2x + 5y = 6$ ①
化简第二个方程：两边同乘6，得$x - 2y = 12$ ②
由②得$x = 12 + 2y$ ③
将③代入①：$2(12 + 2y) + 5y = 6$
展开得$24 + 4y + 5y = 6$
合并同类项得$9y = -18$
解得$y = -2$
将$y = -2$代入③：$x = 12 + 2×(-2) = 8$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=8\\y=-2\end{cases}$
8. 提升题 已知方程组 $\begin{cases}2x + 5y = -6, \\ ax - by = -4\end{cases}$ 与方程组 $\begin{cases}3x - 5y = 16, \\ bx + ay = -8\end{cases}$ 的解相同，求 $(2a + b)^{2026}$ 的值。
答案
$1$。
解析
答题卡填写作答如下：
因为两个方程组的解相同，所以解方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = -6, \\3x - 5y = 16.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$5x = 10$，
解得：
$x = 2$。
将 $x = 2$ 代入 $2x + 5y = -6$，得到：
$4 + 5y = -6$，
解得：
$y = -2$。
将 $x = 2$ 和 $y = -2$ 代入含有 $a$ 和 $b$ 的方程组：
$\begin{cases}ax - by = -4, \\bx + ay = -8.\end{cases}$
得到：
$\begin{cases}2a + 2b = -4, \\2b - 2a = -8.\end{cases}$
（方程两边同时除以2得）化简为：
$\begin{cases}a + b = -2, \\b - a = -4.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2b = -6$，
解得：
$b = -3$。
将 $b = -3$ 代入 $a + b = -2$，得到：
$a = 1$。
所以$(2a + b)^{2026} = [2 × 1 + (-3)]^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
因为两个方程组的解相同，所以解方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = -6, \\3x - 5y = 16.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$5x = 10$，
解得：
$x = 2$。
将 $x = 2$ 代入 $2x + 5y = -6$，得到：
$4 + 5y = -6$，
解得：
$y = -2$。
将 $x = 2$ 和 $y = -2$ 代入含有 $a$ 和 $b$ 的方程组：
$\begin{cases}ax - by = -4, \\bx + ay = -8.\end{cases}$
得到：
$\begin{cases}2a + 2b = -4, \\2b - 2a = -8.\end{cases}$
（方程两边同时除以2得）化简为：
$\begin{cases}a + b = -2, \\b - a = -4.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2b = -6$，
解得：
$b = -3$。
将 $b = -3$ 代入 $a + b = -2$，得到：
$a = 1$。
所以$(2a + b)^{2026} = [2 × 1 + (-3)]^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
9. 提升题 已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - 5y = 2k - 3, ① \\ x + 3y = 5k, ②\end{cases}$ 若方程组的解 $x$，$y$ 满足 $3x - 2y = 4$，求 $k$ 的值。
答案
由方程②$×2 -$方程①可得：
$2(x + 3y) - (2x - 5y) = 2×5k - (2k - 3)$
$2x+6y - 2x + 5y = 10k - 2k + 3$
$11y = 8k + 3$
$y=\frac{8k + 3}{11}$
把$y=\frac{8k + 3}{11}$代入方程②可得：
$x + 3×\frac{8k + 3}{11} = 5k$
$x=5k-\frac{24k + 9}{11}$
$x=\frac{55k-(24k + 9)}{11}$
$x=\frac{55k - 24k - 9}{11}=\frac{31k - 9}{11}$
因为$3x - 2y = 4$，将$x=\frac{31k - 9}{11}$，$y=\frac{8k + 3}{11}$代入可得：
$3×\frac{31k - 9}{11}-2×\frac{8k + 3}{11}=4$
$\frac{93k - 27-(16k + 6)}{11}=4$
$93k - 27 - 16k - 6 = 44$
$77k-33 = 44$
$77k=77$
$k = 1$
综上，$k$的值为$1$。
$2(x + 3y) - (2x - 5y) = 2×5k - (2k - 3)$
$2x+6y - 2x + 5y = 10k - 2k + 3$
$11y = 8k + 3$
$y=\frac{8k + 3}{11}$
把$y=\frac{8k + 3}{11}$代入方程②可得：
$x + 3×\frac{8k + 3}{11} = 5k$
$x=5k-\frac{24k + 9}{11}$
$x=\frac{55k-(24k + 9)}{11}$
$x=\frac{55k - 24k - 9}{11}=\frac{31k - 9}{11}$
因为$3x - 2y = 4$，将$x=\frac{31k - 9}{11}$，$y=\frac{8k + 3}{11}$代入可得：
$3×\frac{31k - 9}{11}-2×\frac{8k + 3}{11}=4$
$\frac{93k - 27-(16k + 6)}{11}=4$
$93k - 27 - 16k - 6 = 44$
$77k-33 = 44$
$77k=77$
$k = 1$
综上，$k$的值为$1$。
10. 提升题 甲、乙两名同学在解方程组 $\begin{cases}ax + 3y = 12, ① \\ bx - 4y = 4 ②\end{cases}$ 时，甲把字母 $a$ 看错了得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 4, \\ y = 1,\end{cases}$ 乙把字母 $b$ 看错了得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$
(1) 求 $a$，$b$ 的值；
(2) 求该方程组正确的解。
(1) 求 $a$，$b$ 的值；
(2) 求该方程组正确的解。
答案
(1)
把$\begin{cases}x = 4, \\ y = 1.\end{cases}$代入$bx - 4y = 4$，可得$4b - 4 = 4$，
移项可得$4b=4 + 4 = 8$，
解得$b = 2$。
把$\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$代入$ax + 3y = 12$，可得$3a+9 = 12$，
移项可得$3a=12 - 9 = 3$，
解得$a = 1$。
(2)
原方程组为$\begin{cases}x + 3y = 12, ① \\ 2x - 4y = 4 ②.\end{cases}$
由$①×2$得$2x + 6y = 24 ③$，
$③ - ②$得：$(2x + 6y)-(2x - 4y)=24 - 4$，
$2x + 6y-2x + 4y = 20$，
$10y = 20$，
解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$①$得$x+3×2 = 12$，
$x+6 = 12$，
解得$x = 6$。
所以方程组正确的解为$\begin{cases}x = 6, \\ y = 2.\end{cases}$
把$\begin{cases}x = 4, \\ y = 1.\end{cases}$代入$bx - 4y = 4$，可得$4b - 4 = 4$，
移项可得$4b=4 + 4 = 8$，
解得$b = 2$。
把$\begin{cases}x = 3, \\ y = 3.\end{cases}$代入$ax + 3y = 12$，可得$3a+9 = 12$，
移项可得$3a=12 - 9 = 3$，
解得$a = 1$。
(2)
原方程组为$\begin{cases}x + 3y = 12, ① \\ 2x - 4y = 4 ②.\end{cases}$
由$①×2$得$2x + 6y = 24 ③$，
$③ - ②$得：$(2x + 6y)-(2x - 4y)=24 - 4$，
$2x + 6y-2x + 4y = 20$，
$10y = 20$，
解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$①$得$x+3×2 = 12$，
$x+6 = 12$，
解得$x = 6$。
所以方程组正确的解为$\begin{cases}x = 6, \\ y = 2.\end{cases}$
