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9. 如图,一个长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别为12cm,8cm,30cm.在AA'的中点P处有一滴蜜糖,一只小虫从点C处爬到点P处去吃蜜糖,则它爬行的最短路程为多少？
答案
本题可通过将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，结合勾股定理来求解小虫爬行的最短路程。
步骤一：分析小虫爬行的不同展开情况
因为小虫是从点$C$处爬到点$P$处，所以可将长方体的不同侧面展开，得到不同的平面图形，再根据勾股定理求出$CP$的长度，最后比较大小，取最小值。
已知长方体盒子无盖，长、宽、高分别为$12cm$，$8cm$，$30cm$，$P$是$AA'$的中点，则$AP = 15cm$。
情况一：将面$CDD'C'$和面$C'D'A'P$展开在同一平面
此时$CD = 12cm$，$DP=DA + AP=8 + 15 = 23cm$。
在直角三角形$CDP$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$CP=\sqrt{12^{2}+23^{2}}=\sqrt{144 + 529}=\sqrt{673}\approx25.94cm$。
情况二：将面$BCC'B'$和面$B'C'A'P$展开在同一平面
此时$BC = 8cm$，$BP=BA + AP=12 + 15 = 27cm$。
在直角三角形$BCP$中，根据勾股定理可得$CP=\sqrt{8^{2}+27^{2}}=\sqrt{64 + 729}=\sqrt{793}\approx28.16cm$。
情况三：将面$ABB'A'$和面$A'B'C'P$展开在同一平面
此时$C$到$P$的水平距离为$12 + 8 = 20cm$，垂直距离为$30 - 15 = 15cm$。
在直角三角形中，根据勾股定理可得$CP=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=\sqrt{400 + 225}=\sqrt{625}=25cm$。
步骤二：比较三种情况的结果
因为$25\lt25.94\lt28.16$，所以小虫爬行的最短路程为$25cm$。
答：它爬行的最短路程为$25cm$。
步骤一：分析小虫爬行的不同展开情况
因为小虫是从点$C$处爬到点$P$处，所以可将长方体的不同侧面展开，得到不同的平面图形，再根据勾股定理求出$CP$的长度，最后比较大小，取最小值。
已知长方体盒子无盖，长、宽、高分别为$12cm$，$8cm$，$30cm$，$P$是$AA'$的中点，则$AP = 15cm$。
情况一：将面$CDD'C'$和面$C'D'A'P$展开在同一平面
此时$CD = 12cm$，$DP=DA + AP=8 + 15 = 23cm$。
在直角三角形$CDP$中，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$CP=\sqrt{12^{2}+23^{2}}=\sqrt{144 + 529}=\sqrt{673}\approx25.94cm$。
情况二：将面$BCC'B'$和面$B'C'A'P$展开在同一平面
此时$BC = 8cm$，$BP=BA + AP=12 + 15 = 27cm$。
在直角三角形$BCP$中，根据勾股定理可得$CP=\sqrt{8^{2}+27^{2}}=\sqrt{64 + 729}=\sqrt{793}\approx28.16cm$。
情况三：将面$ABB'A'$和面$A'B'C'P$展开在同一平面
此时$C$到$P$的水平距离为$12 + 8 = 20cm$，垂直距离为$30 - 15 = 15cm$。
在直角三角形中，根据勾股定理可得$CP=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=\sqrt{400 + 225}=\sqrt{625}=25cm$。
步骤二：比较三种情况的结果
因为$25\lt25.94\lt28.16$，所以小虫爬行的最短路程为$25cm$。
答：它爬行的最短路程为$25cm$。
10. 如图,长方体的高为9dm,底面是边长为6dm的正方形.一只蚂蚁从顶点A爬向顶点B,则它爬行的最短路程为
15dm
.答案
15dm
解析
将长方体展开，使面$AEHD$和面$EFGH$在同一平面上，则$A$，$B$两点所在直角三角形的两边长分别为$6 + 6 = 12dm$和$9dm$，根据勾股定理，$AB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15dm$；
将长方体展开，使面$ADHE$和面$CDHG$在同一平面上，则$A$，$B$两点所在直角三角形的两边长分别为$9+6 = 15dm$和$6dm$，根据勾股定理，$AB=\sqrt{15^{2}+6^{2}}=\sqrt{225+36}=\sqrt{261}dm$；
将长方体展开，使面$ABCD$和面$CDHG$在同一平面上，则$A$，$B$两点所在直角三角形的两边长分别为$9 + 6=15dm$和$6dm$（与上一种展开情况本质相同）。
比较$15$和$\sqrt{261}\approx16.16$的大小，可得$15\lt\sqrt{261}$，所以最短路程是$15dm$。
将长方体展开，使面$ADHE$和面$CDHG$在同一平面上，则$A$，$B$两点所在直角三角形的两边长分别为$9+6 = 15dm$和$6dm$，根据勾股定理，$AB=\sqrt{15^{2}+6^{2}}=\sqrt{225+36}=\sqrt{261}dm$；
将长方体展开，使面$ABCD$和面$CDHG$在同一平面上，则$A$，$B$两点所在直角三角形的两边长分别为$9 + 6=15dm$和$6dm$（与上一种展开情况本质相同）。
比较$15$和$\sqrt{261}\approx16.16$的大小，可得$15\lt\sqrt{261}$，所以最短路程是$15dm$。
11. 如图,桌上有一个圆柱形盒子(盒子厚度忽略不计),高为10cm,底面周长为12cm,在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁,在盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜,蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜,则蚂蚁爬行的最短距离为
10
.答案
10
解析
将圆柱侧面展开为矩形，底面周长12cm（矩形长），高10cm（矩形宽）。蚂蚁在A点（外壁离上沿2cm），蜂蜜在B点（内壁离底部4cm）。因盒子有上下底，蚂蚁需经上沿或下沿进入内壁。
路径分析：蚂蚁经上沿爬行，A到上沿距离2cm，B到上沿距离10-4=6cm，垂直总距离2+6=8cm；水平距离为底面半周长12÷2=6cm。
最短距离：由勾股定理，距离=√(6²+8²)=10cm。
路径分析：蚂蚁经上沿爬行，A到上沿距离2cm，B到上沿距离10-4=6cm，垂直总距离2+6=8cm；水平距离为底面半周长12÷2=6cm。
最短距离：由勾股定理，距离=√(6²+8²)=10cm。
12. 如图,长方体的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点B与点C的距离是5cm,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B,求蚂蚁需要爬行的最短路程.
答案
$5\sqrt{34}\ cm$
解析
情况一：展开下底面与后面
将长方体下底面（长15cm，宽10cm）与后面（长15cm，高20cm）展开成平面，点A与点B在该平面内形成直角三角形。
直角边1：下底面的长 = 15cm
直角边2：下底面的宽 + 点B距离下底面的高度 = 10cm + (20cm - 5cm) = 25cm
距离：$\sqrt{15^2 + 25^2} = \sqrt{225 + 625} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}\ cm$
情况二：展开前面与右侧面
将长方体前面（长15cm，高20cm）与右侧面（宽10cm，高20cm）展开成平面，点A与点B在该平面内形成直角三角形。
直角边1：前面的长 + 右侧面的宽 = 15cm + 10cm = 25cm
直角边2：点B距离前面底部的高度 = 20cm - 5cm = 15cm
距离：$\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{625 + 225} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}\ cm$
结论
两种展开方式距离相同，最短路程为$5\sqrt{34}\ cm$。
将长方体下底面（长15cm，宽10cm）与后面（长15cm，高20cm）展开成平面，点A与点B在该平面内形成直角三角形。
直角边1：下底面的长 = 15cm
直角边2：下底面的宽 + 点B距离下底面的高度 = 10cm + (20cm - 5cm) = 25cm
距离：$\sqrt{15^2 + 25^2} = \sqrt{225 + 625} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}\ cm$
情况二：展开前面与右侧面
将长方体前面（长15cm，高20cm）与右侧面（宽10cm，高20cm）展开成平面，点A与点B在该平面内形成直角三角形。
直角边1：前面的长 + 右侧面的宽 = 15cm + 10cm = 25cm
直角边2：点B距离前面底部的高度 = 20cm - 5cm = 15cm
距离：$\sqrt{25^2 + 15^2} = \sqrt{625 + 225} = \sqrt{850} = 5\sqrt{34}\ cm$
结论
两种展开方式距离相同，最短路程为$5\sqrt{34}\ cm$。
