1. 下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是()
A.$3cm$,$4cm$,$5cm$
B.$4cm$,$3cm$,$\sqrt{7}cm$
C.$6cm$,$8cm$,$9cm$
D.$1cm$,$\sqrt{2}cm$,$\sqrt{3}cm$

C

要判断三条线段是否可以组成直角三角形，需验证是否满足勾股定理，即最长边的平方等于其他两边的平方和。
A. $3cm$,$4cm$,$5cm$：
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，满足勾股定理，能组成直角三角形。
B. $4cm$,$3cm$,$\sqrt{7}cm$：
$3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$，$4^2 = 16$，满足勾股定理，能组成直角三角形。
C. $6cm$,$8cm$,$9cm$：
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$9^2 = 81$，不满足勾股定理，不能组成直角三角形。
D. $1cm$,$\sqrt{2}cm$,$\sqrt{3}cm$：
$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，满足勾股定理，能组成直角三角形。

2. 如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC的三个顶点A$,$B$,$C$都在网格的格点上,则下列结论错误的是()

A.$AB= \sqrt{5}$
B.$AC = 5$
C.$BC= 2\sqrt{5}$
D.$\angle ACB = 30^{\circ}$

D

根据网格图，计算各边长：
$AB$的水平距离为1，垂直距离为2，根据勾股定理，$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，故A正确。
$AC$的水平距离为2，垂直距离为4，根据勾股定理，$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}× \sqrt{1}=5× \frac{2\sqrt{5}× \sqrt{5}}{5}= 5$（或根据网格直接数出$AC$为5个单位长度），故B正确。
$BC$的水平距离为2，垂直距离为4（与$AC$形成直角三角形，但$BC$为斜边），根据勾股定理，$BC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，故C正确。
考虑$\triangle ABC$中的角度：
由于$BC = 2\sqrt{5}$，$AB = \sqrt{5}$，$AC=5$，可以发现$BC^2 + AB^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = AC^2$，
这说明$\triangle ABC$是一个直角三角形，且直角在B点，并非在$C$点，
因此，$\angle ACB$并非$30°$（在直角三角形中，只有当较短的直角边是斜边的一半时，对应的角才是$30°$），故D错误。

3. 已知$Rt\triangle ABC$的一直角边长为1,斜边长为$\sqrt{5}$,则它的另一直角边长为。

$2$

根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。设另一直角边长为$x$，已知一直角边长为$1$，斜边长为$\sqrt{5}$，则可列出$1^{2}+x^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，即$1 + x^{2}=5$，移项可得$x^{2}=4$，因为$x$为直角边长，为正数，所以$x = 2$。

4. 如图,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中$AE = 10$,$BE = 24$,则$EF= $。

14

根据题意，四个直角三角形全等。
已知$AE = 10$，$BE = 24$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AE^{2} + BE^{2}} =\sqrt{10^{2} + 24^{2}} = 26$。
因为四个直角三角形全等，所以$AF = BE = 24$，$BF = AE = 10$。
则$EF=AF - AE=24 - 10 = 14$（在$Rt\triangle AEF$中通过线段关系计算，也可根据全等三角形性质，大正方形边长减去对应直角边长度）。

5. 靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离为梯子长度的$\frac{1}{3}$,则梯子比较稳定。(结果保留根号)
(1)在梯子稳定摆放的情况下,3米的梯子能达到多高的墙头？
(2)要达到4米高的墙头,梯子至少要多长？

(1)
设梯子能达到墙的高度为$x$米，已知梯子长度为$3$米，因为梯子底端离墙的距离为梯子长度的$\frac{1}{3}$，所以梯子底端离墙$3×\frac{1}{3}=1$米。
根据勾股定理$x^{2}+1^{2}=3^{2}$，即$x^{2}=3^{2}-1^{2}=9 - 1 = 8$，解得$x = \sqrt{8}=2\sqrt{2}$（米）（$x\gt0$）。
(2)
设梯子至少要$y$米长，梯子底端离墙的距离为$\frac{1}{3}y$米。
根据勾股定理$(\frac{1}{3}y)^{2}+4^{2}=y^{2}$，
即$\frac{1}{9}y^{2}+16 = y^{2}$，
移项可得$y^{2}-\frac{1}{9}y^{2}=16$，
$\frac{8}{9}y^{2}=16$，
$y^{2}=16×\frac{9}{8}=18$，
解得$y=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$（米）（$y\gt0$）。
答：(1) $3$米的梯子能达到$2\sqrt{2}$米高的墙头；(2) 梯子至少要$3\sqrt{2}$米长。

6. 如图,某居民小区有块长方形绿地$ABCD$,其长$BC = 8\sqrt{3}$米,宽$AB= \sqrt{98}$米,现要在绿地中修建一个长为$(\sqrt{13}+1)$米,宽为$(\sqrt{13}-1)$米的长方形花坛(即图中阴影部分)。(结果化为最简二次根式)
(1)长方形$ABCD$的周长是多少？
(2)绿地除修建花坛的地方外全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖,若要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元？

（1）长方形$ABCD$的周长为：
$2(AB + BC) = 2(\sqrt{98} + 8\sqrt{3}) = 2(7\sqrt{2} + 8\sqrt{3}) = 14\sqrt{2} + 16\sqrt{3}$（米）。
所以周长为$(16\sqrt{3} + 14\sqrt{2})$米。
（2）长方形绿地的面积为：
$AB × BC = \sqrt{98} × 8\sqrt{3} = 7\sqrt{2} × 8\sqrt{3} = 56\sqrt{6}$（平方米），
长方形花坛的面积为：
$(\sqrt{13} + 1) × (\sqrt{13} - 1) = 13 - 1 = 12$（平方米），
通道的面积为：
$56\sqrt{6} - 12$（平方米），
地砖的总费用为：
$(56\sqrt{6} - 12) × 6 = 336\sqrt{6} - 72 = (336\sqrt{6} - 72)$（元）。
所以需要花费$(336\sqrt{6} - 72)$元。

7. 如图,一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板,蚂蚁甲从点$A$出发,沿$a$,$b$,$d三个面走最短路径到点B$；同时蚂蚁乙以相同的速度从点$B$出发,沿$d$,$c两个面走最短路径到点A$。请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？

两只蚂蚁同时到达目的地。

设正方体棱长为$2\,cm$。
蚂蚁甲路径：将$a$、$b$、$d$三个面展开，形成长$2 + 2 + 2=6\,cm$，宽$2\,cm$的长方形，最短路径为对角线长，$\sqrt{6^2 + 2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\,cm$。
蚂蚁乙路径：将$d$、$c$两个面展开，形成长$2 + 2=4\,cm$，宽$2\,cm$的长方形，最短路径为对角线长，$\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\,cm$。
因为$2\sqrt{10} ＞ 2\sqrt{5}$，且速度相同，所以蚂蚁乙先到达目的地。
蚂蚁乙先到达目的地。