1. 一个长方形的周长为 28 厘米,长比宽的 3 倍少 6 厘米,则这个长方形的面积是()
A.45 平方厘米
B.35 平方厘米
C.25 平方厘米
D.20 平方厘米

A

设长方形的宽为$x$厘米，长为$y$厘米。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases}2(x + y) = 28 ,\\y = 3x - 6.\end{cases}$
化简第一个方程得：$x + y = 14$，
将第二个方程代入第一个方程：$x + (3x - 6) = 14$，
解得：$4x - 6 = 14$，$4x = 20$，$x = 5$，
代入$y = 3x - 6$得：$y = 3 × 5 - 6 = 9$，
长方形的面积：$5 × 9 = 45$（平方厘米）。

2. 《孙子算经》中有一道题,意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余 4.5 尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余 1 尺,问长木多少尺? 若设长木长 $ x $ 尺,绳长 $ y $ 尺,则可列方程组为()
A.$\begin{cases}y - x = 4.5\frac{1}{2}y - x = 1\end{cases} $
B.$\begin{cases}x - y = 4.5\frac{1}{2}y - x = 1\end{cases} $
C.$\begin{cases}x - y = 4.5\\x - \frac{1}{2}y = 1\end{cases} $
D.$\begin{cases}y - x = 4.5\\x - \frac{1}{2}y = 1\end{cases} $

D

设长木长 $ x $ 尺，绳长 $ y $ 尺。
根据题意：
1. 绳子量长木剩余 4.5 尺，即 $ y - x = 4.5 $。
2. 绳子对折后量长木，长木剩余 1 尺，即 $ x - \frac{1}{2}y = 1 $。
列方程组为：
$\begin{cases} y - x = 4.5 \\ x - \frac{1}{2}y = 1 \end{cases}$

3. 某车间有 2 个小组,甲组人数是乙组的 2 倍,若从甲组调 8 人到乙组,则甲组人数比乙组的一半还多 6,那么原来乙组的人数为()
A.6
B.8
C.10
D.12

D

设乙组原有$x$人，则甲组有$2x$人。
从甲组调8人到乙组后，甲组剩余$2x - 8$人，乙组变为$x + 8$人。
根据题意，调整后甲组人数比乙组的一半多6，列方程：
$2x - 8 = \frac{1}{2}(x + 8) + 6$
去分母得：
$2(2x - 8) = x + 8 + 12$
$4x - 16 = x + 20$
$3x = 36$
$x = 12$

4. 某果园现有桃树和杏树共 500 棵,计划一年后桃树棵树增加 $ 3\% $,杏树棵树增加 $ 4\% $,这样果园里这两种果树的总棵树将增加 $ 3.6\% $,设该果园现有桃树 $ x $ 棵,杏树 $ y $ 棵,则可列方程组为.

$\begin{cases}x + y = 500 \\ 3\%x + 4\%y = 3.6\%×500\end{cases}$

根据桃树和杏树共500棵，可得方程$x + y = 500$；根据桃树增加$3\%$、杏树增加$4\%$后总棵树增加$3.6\%$，可得方程$3\%x + 4\%y = 3.6\%×500$。

5. 某停车场的收费标准为:中型汽车的停车费为 15 元/辆,小型汽车的停车费为 8 元/辆.现在停车场内停有 30 辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费 324 元,则小型汽车比中型汽车多辆.

6

设中型汽车有 $x$ 辆，小型汽车有 $y$ 辆。
根据题意，列出以下方程组：
$\begin{cases}x + y = 30 \quad (1) \\15x + 8y = 324 \quad (2)\end{cases}$
从方程(1)中，可以得到 $y = 30 - x$ (3)
将方程(3)代入方程(2)中，得到：
$15x + 8(30 - x) = 324$
$15x + 240 - 8x = 324$
$7x = 84$
$x = 12$
将 $x = 12$ 代入方程(3)中，得到 ：
$y = 30 - 12 = 18$
所以，小型汽车比中型汽车多 $18 - 12 = 6(辆)$。

6. 在当地农业技术部门指导下,小明家种植的菠萝喜获丰收. 去年菠萝的收入结余 12000 元,今年菠萝的收入比去年增加了 $ 20\% $,支出减少 $ 10\% $,预计今年结余比去年多 11400 元. 则:
(1)今年结余元;
(2)若设去年的收入为 $ x $ 元,支出为 $ y $ 元,则今年的收入为元,支出为元;(用含 $ x,y $ 的代数式表示)
(3)列方程组计算小明家今年种植菠萝的收入和支出.

(1)
因为去年结余12000元，今年结余比去年多11400元，所以今年结余$12000 + 11400=23400$元。
(2)
设去年的收入为$x$元，支出为$y$元，今年收入比去年增加$20\%$，则今年收入为$(1 + 20\%)x=1.2x$元；支出比去年减少$10\%$，则今年支出为$(1-10\%)y = 0.9y$元。
(3)
根据题意可得方程组$\begin{cases}x - y=12000\\1.2x-0.9y = 23400\end{cases}$
由$x - y=12000$可得$x=12000 + y$，将其代入$1.2x-0.9y = 23400$中：
$1.2(12000 + y)-0.9y=23400$
$14400+1.2y-0.9y=23400$
$1.2y-0.9y=23400 - 14400$
$0.3y=9000$
$y = 30000$
把$y = 30000$代入$x=12000 + y$，得$x=12000+30000=42000$。
今年收入$1.2x=1.2×42000 = 50400$（元）
今年支出$0.9y=0.9×30000 = 27000$（元）
答：(1)今年结余$23400$元；(2)今年收入为$1.2x$元，支出为$0.9y$元；(3)小明家今年种植菠萝的收入是$50400$元，支出是$27000$元。

7. 某兴趣小组进行活动,每个男生都头戴蓝色帽子,每个女生都头戴红色帽子. 帽子戴好后,每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的 2 倍少 1,而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的 $ \frac{3}{5} $. 问该兴趣小组男生、女生各有多少人?

设男生有$x$人，女生有$y$人。
每个男生看到的戴蓝色帽子人数为$x-1$（不含自己），戴红色帽子人数为$y$，依题意得：$y=2(x-1)-1$。
每个女生看到的戴红色帽子人数为$y-1$（不含自己），戴蓝色帽子人数为$x$，依题意得：$x=\frac{3}{5}(y-1)$。
联立方程组：
$\begin{cases}y=2(x-1)-1 \\x=\frac{3}{5}(y-1)\end{cases}$
化简第一个方程：$y=2x-3$。
将$y=2x-3$代入第二个方程：$x=\frac{3}{5}((2x-3)-1)$，即$x=\frac{3}{5}(2x-4)$。
两边乘5：$5x=6x-12$，解得$x=12$。
将$x=12$代入$y=2x-3$：$y=2×12-3=21$。
检验：男生12人，女生21人。男生看：蓝帽11人，红帽21人，$2×11-1=21$；女生看：红帽20人，蓝帽12人，$20×\frac{3}{5}=12$，均符合题意。
答：男生有12人，女生有21人。