1. 已知 $△ ABC$ 三个顶点的坐标为 $A(1,2),B(4,3),C(3,-4)$，则三角形的形状为 （）

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

1. C

2. (2025·宜春期末)在平面直角坐标系中,已知点$A(2,3)$,点$B(4,1)$,在坐标轴上有一点$P$,且点$P$到$A$点和到$B$点的距离相等,则点$P$的坐标为（）

A.$P(1,0)$或$P(0,-1)$
B.$P(-1,0)$或$P(0,1)$
C.$P(0,3)$或$P(4,0)$
D.$P(2,0)$或$P(0,1)$

2. A

3. (2025·黔东南期中)在平面直角坐标系中,已知点$P(2,5)$,点$Q$在$y$轴上,$△ PQO$是等腰三角形,则满足条件的点$Q$的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.

3. $(0,10),(0,\sqrt{29}),(0,-\sqrt{29})$和$(0,\dfrac{29}{10})$

4. （2025·白银期中）如图,在平面直角坐标系中,点$A(0,3)$,点$B(4,1)$,点$P$是$x$轴正半轴上一动点.给出下列结论:①线段$AB$的长为$5$;②当点$P$坐标为$(3,0)$时,$△ APB$是直角三角形;③在$△ APB$中,若$AP=\sqrt{13}$,则$△ APB$的面积是$\sqrt{18}$;④设点$P$的坐标为$(x,0)$,则$\sqrt{9+x^2}+\sqrt{(4-x)^2+1^2}$的最小值为$\sqrt{32}$.其中正确的有________.(填序号)

4. ②④

5. 在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(a,0),B(0,b)$分别在$x$轴负半轴和$y$轴正半轴上,且实数$a$,$b$满足$a=\sqrt{b-4}+\sqrt{4-b}-4$.
(1)直接写出$a,b$的值以及线段$AB$的长.
(2)若$P(m,0)$为线段$OA$上一点(不含端点),过点$P$作$x$轴垂线交直线$AB$于点$Q$.
①求点$Q$的坐标(用含$m$的代数式表示);
②若点$P$到$AB$的距离为$\sqrt{2}$,求$m$的值.

5. (1)$a=-4,b=4$,线段$AB$长为$\sqrt{32}$. 解析:$\because a= \sqrt{b-4}+\sqrt{4-b}-4,\therefore b-4≥ 0,4-b≥ 0$,解得$b=4,a=-4,\therefore A(-4,0)$,$B(0,4),\therefore AB=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}$.
(2)①如图,$\because OA=OB=4,\therefore ∠ OAB=45°$.又$\because P(m,0),PQ ⊥ x$轴,$\therefore PQ=PA=m-(-4)=m+4$,$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(m,m+4)$.
②$\because$ 点$P$到$AB$的距离为$\sqrt{2}$,$△ APQ$是等腰直角三角形,$\therefore AP=2.\therefore AP=m+4=2$,解得$m=-2$.