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23.(本题10分)如图,正方形ABCD中,已知$AB=6\sqrt{2}$,对角线AC与BD交于点O,点E为射线OB上的一个动点(不与点B重合),点M为线段ED的中点,现将线段OM绕点M顺时针旋转$90°$得到线段MF,连结AE,EF,AF,OF。
(1)若点M在线段OD上且$MD=4$,求线段OF及EF的长;
(2)当点E在线段OB上运动时,请判断$△ AEF$的形状,并说明理由;
(3)在点E的运动过程中,当$AE=2OF$时,求线段BE的长。
(1)若点M在线段OD上且$MD=4$,求线段OF及EF的长;
(2)当点E在线段OB上运动时,请判断$△ AEF$的形状,并说明理由;
(3)在点E的运动过程中,当$AE=2OF$时,求线段BE的长。
答案
(1)在正方形ABCD中,$AD=AB=6\sqrt{2}$,$OA=OD$ 且$OA⊥OD$,所以$OA^2+OD^2=AD^2$,即$2OA^2=(6\sqrt{2})^2$,解得$OA=6$,所以$OD=OA=6$,所以$OM=OD-MD=6-4=2$。由旋转的性质可得$MF=OM=2$,$∠OMF=90°$,所以$OF=\sqrt{OM^2+MF^2}=2\sqrt{2}$。因为M是ED的中点,所以$ME=MD=4$,所以$EF=\sqrt{ME^2+MF^2}=2\sqrt{5}$；
(2)$△ AEF$是等腰直角三角形。
证法1:
,过点F作$FN⊥AO$交AO于点N,则可知四边形OMFN为正方形,因为$AN=AO-ON$,$EM=DM=OD-OM$,所以$AN=EM$,所以$△ ANF ≌ △ EMF$(SAS),所以$AF=EF$,$∠AFN=∠EFM$,所以$∠AFE=∠AFN+∠NFE=∠EFM+∠NFE=90°$,所以$△ AEF$是等腰直角三角形；证法2:
,连结DF,因为$MO=MF$,$∠OMF=90°$,所以$∠MOF=45°$,所以$∠AOF=∠MOF$。又因为$OA=OD$,所以OF所在直线垂直平分AD,所以$FA=FD$。因为$MD=ME$,$∠DMF=90°$,所以$FD=FE$,所以$FA=FE$。设$∠FAD=∠FDA=x°$,$∠FED=∠FDE=y°$,因为$∠ADO=45°$,所以$x+y=45$,所以$∠AFE=2x°+2y°=90°$,所以$△ AFE$是等腰直角三角形；(3)设$OM=x$,则$OF=\sqrt{2}x$,$AE=2\sqrt{2}x$,$AF=2x$,直线OF与AD交于点G,①
,当点E在线段OB上时,$FG=3\sqrt{2}-\sqrt{2}x$,$AG=3\sqrt{2}$,在$\mathrm{Rt}△ AFG$中,$(3\sqrt{2}-\sqrt{2}x)^2+(3\sqrt{2})^2=(2x)^2$,解得$x=-3±3\sqrt{3}$,所以$OM=3\sqrt{3}-3$,所以$BE=BD-DE=2OD-2MD=2(OD-MD)=2OM=6\sqrt{3}-6$；②
,当点E在线段OB的延长线上时,同理可得:$BE=6\sqrt{3}+6$,所以$BE=6\sqrt{3}-6$或$6\sqrt{3}+6$。解析
【分析】
先利用正方形性质求出对角线相关线段长度；对于（1），根据旋转性质得到线段关系，结合中点性质，用勾股定理计算OF和EF；对于（2），通过作辅助线构造全等三角形，证明AF=EF且∠AFE=90°，判断△AEF为等腰直角三角形；对于（3），设OM=x，结合AE=2OF的条件，分E在线段OB上和延长线上两种情况，用勾股定理列方程求解，进而得到BE的长度。
【解析】
（1）在正方形ABCD中，AB=6√2，故对角线BD=AC=√2 AB=12，因此OA=OD=6，且OA⊥OD。已知MD=4，M在线段OD上，得OM=OD-MD=6-4=2。由旋转性质：MF=OM=2，∠OMF=90°，在Rt△OMF中，OF=√(OM²+MF²)=√(2²+2²)=2√2；因M是ED中点，ME=MD=4，在Rt△EMF中，EF=√(ME²+MF²)=√(4²+2²)=2√5。
（2）△AEF是等腰直角三角形，理由：过F作FN⊥AO交AO于N，得∠ANF=∠EMF=90°。由旋转知MF=OM，∠OMF=90°，四边形OMFN为正方形，故ON=OM=MF，又M是ED中点，EM=MD，OA=OD，得AN=AO-ON=OD-OM=MD=EM。在△ANF和△EMF中，AN=EM，∠ANF=∠EMF，NF=MF，故△ANF≌△EMF（SAS），得AF=EF，∠AFN=∠EFM，因此∠AFE=∠OMF=90°，即△AEF是等腰直角三角形。
（3）设OM=x，则OF=√2 x，由AE=2OF得AE=2√2 x，因△AEF是等腰直角三角形，AF=EF=2x。分两种情况：①E在线段OB上时，直线OF与AD交于G，FG=3√2-√2 x，AG=3√2，在Rt△AFG中，(3√2)²+(3√2-√2 x)²=(2x)²，解得x=3√3-3，此时BE=6√3-6；②E在线段OB延长线上时，同理得BE=6√3+6。
【答案】
(1) OF=2√2，EF=2√5；
(2) △AEF是等腰直角三角形；
(3) BE的长为6√3 -6或6√3 +6。
【知识点】
正方形性质、旋转性质、全等三角形判定、勾股定理、等腰直角三角形判定
【点评】
本题综合考查正方形与旋转的几何知识，需运用对角线性质、旋转全等变换，结合勾股定理与分类讨论思想，对几何综合能力要求较高，难度适中。
【难度系数】
0.3
先利用正方形性质求出对角线相关线段长度；对于（1），根据旋转性质得到线段关系，结合中点性质，用勾股定理计算OF和EF；对于（2），通过作辅助线构造全等三角形，证明AF=EF且∠AFE=90°，判断△AEF为等腰直角三角形；对于（3），设OM=x，结合AE=2OF的条件，分E在线段OB上和延长线上两种情况，用勾股定理列方程求解，进而得到BE的长度。
【解析】
（1）在正方形ABCD中，AB=6√2，故对角线BD=AC=√2 AB=12，因此OA=OD=6，且OA⊥OD。已知MD=4，M在线段OD上，得OM=OD-MD=6-4=2。由旋转性质：MF=OM=2，∠OMF=90°，在Rt△OMF中，OF=√(OM²+MF²)=√(2²+2²)=2√2；因M是ED中点，ME=MD=4，在Rt△EMF中，EF=√(ME²+MF²)=√(4²+2²)=2√5。
（2）△AEF是等腰直角三角形，理由：过F作FN⊥AO交AO于N，得∠ANF=∠EMF=90°。由旋转知MF=OM，∠OMF=90°，四边形OMFN为正方形，故ON=OM=MF，又M是ED中点，EM=MD，OA=OD，得AN=AO-ON=OD-OM=MD=EM。在△ANF和△EMF中，AN=EM，∠ANF=∠EMF，NF=MF，故△ANF≌△EMF（SAS），得AF=EF，∠AFN=∠EFM，因此∠AFE=∠OMF=90°，即△AEF是等腰直角三角形。
（3）设OM=x，则OF=√2 x，由AE=2OF得AE=2√2 x，因△AEF是等腰直角三角形，AF=EF=2x。分两种情况：①E在线段OB上时，直线OF与AD交于G，FG=3√2-√2 x，AG=3√2，在Rt△AFG中，(3√2)²+(3√2-√2 x)²=(2x)²，解得x=3√3-3，此时BE=6√3-6；②E在线段OB延长线上时，同理得BE=6√3+6。
【答案】
(1) OF=2√2，EF=2√5；
(2) △AEF是等腰直角三角形；
(3) BE的长为6√3 -6或6√3 +6。
【知识点】
正方形性质、旋转性质、全等三角形判定、勾股定理、等腰直角三角形判定
【点评】
本题综合考查正方形与旋转的几何知识，需运用对角线性质、旋转全等变换，结合勾股定理与分类讨论思想，对几何综合能力要求较高，难度适中。
【难度系数】
0.3
