1. (2025·徐州月考)已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=$\frac{1}{3}∠COD$，OE平分∠COD，设∠AOB=α，则∠BOE=（）

A.$\frac{5}{16}α$或$\frac{1}{8}α$
B.$\frac{5}{16}α$或$\frac{1}{6}α$
C.$\frac{1}{8}α$或$\frac{1}{6}α$
D.$\frac{1}{6}α$

1. A
【解析】如图①,当OD位于∠BOC内部时,因为∠AOB=α,OC是∠AOB的平分线,所以∠COB=$\frac{1}{2}α$.因为∠BOD=$\frac{1}{3}∠COD$,所以∠BOD=$\frac{1}{4}∠COB=\frac{1}{8}α$,∠COD=$\frac{3}{8}α$.因为OE平分∠COD,所以∠EOD=$\frac{1}{2}∠COD=\frac{3}{16}α$,所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=$\frac{3}{16}α+\frac{1}{8}α=\frac{5}{16}α$;

如图②,当OD位于∠BOC外部时,因为∠AOB=α,OC是∠AOB的平分线,所以∠COB=$\frac{1}{2}α$.因为∠BOD=$\frac{1}{3}∠COD$,所以∠BOD=$\frac{1}{2}∠COB=\frac{1}{4}α$,∠COD=$\frac{3}{4}α$.因为OE平分∠COD,所以∠EOD=$\frac{1}{2}∠COD=\frac{3}{8}α$,所以∠BOE=∠EOD-∠BOD=$\frac{3}{8}α-\frac{1}{4}α=\frac{1}{8}α$.综上可知∠BOE=$\frac{5}{16}α$或$\frac{1}{8}α$.故选A.

2. (2025·南京期末)如图,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,OE 平分∠BOD.
(1)若$∠BOE=41°36'$,则$∠COB=$.
(2)若 OF 平分$∠COE,∠FOB$的度数为$30°$.
①求$∠AOC$的度数;
②作射线$OG⊥OE$,请直接写出$∠FOG$的度数.

2. (1)96°48'
【解析】因为OE平分∠BOD,∠BOE=41°36',所以∠BOD=2∠BOE=83°12',所以∠COB=180°-∠BOD=180°-83°12'=96°48'.
(2)①因为OE平分∠BOD,所以∠EOD=∠BOE.设∠EOD=∠BOE=x°,因为∠FOB=30°,所以∠FOE=∠FOB+∠BOE=(30+x)°.因为OF平分∠COE,所以∠COE=2∠FOE=(60+2x)°.因为∠COE+∠EOD=180°,所以60+2x+x=180,解得x=40,所以∠BOD=2×40°=80°,所以∠AOC=∠BOD=80°.
②∠FOG的度数为20°或160°
【解析】由①知∠FOE=∠FOB+∠BOE=30°+40°=70°.由题意知,当OG⊥OE时,∠GOE=90°.分两种情况:当OG在OE上方时,如图①,∠GOF=∠GOE-∠FOE=90°-70°=20°;当OG在OE下方时,如图②,∠GOF=∠GOE+∠FOE=90°+70°=160°.综上可知,∠FOG的度数为20°或160°.

3. 已知∠AOB=m°，与∠AOC互为余角，与∠BOD互为补角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.
(1)如图，当m=36时：
①求∠BOM的度数；
②请你补全图形，并求∠MON的度数.
(2)当∠AOB为大于30°的锐角，且∠AOC与∠AOB有重合部分时，求∠MON的度数.(用含有m的式子表示)

＞＞进一步挑战进阶专题:P131 专题16~P137 专题21

3. (1)①因为∠AOB=m°,且与∠AOC互为余角,所以∠AOC=90°-m°.因为OM平分∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}∠AOC=\frac{90°-m°}{2}$,所以∠BOM=∠AOM+∠AOB =$\frac{90°-m°}{2}+m°=\frac{90°+m°}{2}$.当m=36时,∠BOM=$\frac{90°+36°}{2}=63°$.
②分两种情况:
(ⅰ)当∠AOB和∠BOD没有重合部分时,补全图形如图①所示,因为∠BOD与∠AOB互为补角,所以∠BOD=180°-36°=144°.因为ON平分∠BOD,所以∠BON=72°,所以∠MON=∠BOM+∠BON=63°+72°=135°.

(ⅱ)当∠AOB和∠BOD有重合部分时,补全图形如图②所示,∠MON=∠BON-∠BOM=72°-63°=9°.综上,∠MON的度数是135°或9°.
(2)①当30°＜m°≤45°时,分两种情况:
(ⅰ)如图③,当∠AOB和∠BOD没有重合部分时,因为OM平分∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}∠AOC=\frac{90°-m°}{2}$.因为ON平分∠BOD,所以∠DON=$\frac{180°-m°}{2}$,所以∠MON=180°-∠DON-∠AOM=180°-$\frac{180°-m°}{2}-\frac{90°-m°}{2}=45°+m°$.

(ⅱ)如图④,当∠AOB和∠BOD有重合部分时,∠AON=∠BOD-∠AOB-∠NOD=180°-m°-m°-$\frac{180°-m°}{2}=90°-\frac{3}{2}m°$,所以∠MON=∠AON+∠AOM= 90° - $\frac{3}{2}$ m° + $\frac{90°-m°}{2}=135°-2m°$.

②当45°＜m°＜90°时,分三种情况:
(ⅰ)如图⑤,当45°＜m°＜67.5°时,∠AOB和∠BOD有重合部分时,∠MON=∠BON-∠BOC-∠COM = $\frac{1}{2}$∠BOD - (m°-∠AOC) - $\frac{1}{2}∠AOC$ = $\frac{1}{2}$∠BOD - m° + $\frac{1}{2}∠AOC$ = $\frac{1}{2}(180°-m°)-m°+\frac{1}{2}(90°-m°)=135°-2m°$.

(ⅱ)如图⑥,当∠AOB和∠BOD没有重合部分时,∠MON = 180° - ∠AOM - ∠DON = 180° - $\frac{90°-m°}{2}$ - $\frac{180°-m°}{2}=45°+m°$.
(ⅲ)如图⑦,当67.5°＜m°＜90°时,∠AOB和∠BOD有重合部分时,∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=m°-$\frac{90°-m°}{2}$-$\frac{180°-m°}{2}=2m°-135°$.综上所述,∠MON的度数为45°+m°或135°-2m°或2m°-135°.