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1. 计算$(-\frac{2}{5})^{2026} × (-\frac{5}{2})^{2027}$的结果是 （）
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-\frac{2}{5}$
D.$-\frac{5}{2}$
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$-\frac{2}{5}$
D.$-\frac{5}{2}$
答案
D
解析
先逆用同底数幂乘法法则，将$(-\frac{5}{2})^{2027}$拆分为$(-\frac{5}{2})^{2026} × (-\frac{5}{2})$，再逆用积的乘方法则计算：
$\begin{aligned}原式&= (-\frac{2}{5})^{2026} × (-\frac{5}{2})^{2026} × (-\frac{5}{2})\\&= [(-\frac{2}{5}) × (-\frac{5}{2})]^{2026} × (-\frac{5}{2})\\&= 1^{2026} × (-\frac{5}{2})\\&= -\frac{5}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}原式&= (-\frac{2}{5})^{2026} × (-\frac{5}{2})^{2026} × (-\frac{5}{2})\\&= [(-\frac{2}{5}) × (-\frac{5}{2})]^{2026} × (-\frac{5}{2})\\&= 1^{2026} × (-\frac{5}{2})\\&= -\frac{5}{2}\end{aligned}$
2. 下列选项中，结果等于$a^{2n}$的是 （）
A.$a^n + a^n$
B.$(a^n)^2$
C.$(a^n)^n$
D.$a^n · a^2$
A.$a^n + a^n$
B.$(a^n)^2$
C.$(a^n)^n$
D.$a^n · a^2$
答案
B
解析
分别计算各选项：
A. $a^n + a^n = 2a^n$，不等于$a^{2n}$；
B. 根据幂的乘方法则：$(a^n)^2 = a^{n×2}=a^{2n}$，符合要求；
C. 根据幂的乘方法则：$(a^n)^n = a^{n× n}=a^{n^2}$，不等于$a^{2n}$；
D. 根据同底数幂乘法法则：$a^n · a^2 = a^{n+2}$，不等于$a^{2n}$。
A. $a^n + a^n = 2a^n$，不等于$a^{2n}$；
B. 根据幂的乘方法则：$(a^n)^2 = a^{n×2}=a^{2n}$，符合要求；
C. 根据幂的乘方法则：$(a^n)^n = a^{n× n}=a^{n^2}$，不等于$a^{2n}$；
D. 根据同底数幂乘法法则：$a^n · a^2 = a^{n+2}$，不等于$a^{2n}$。
3. 若$a=(-\dfrac{3}{4})^{-2}$，$b=(-\dfrac{1}{2})^{0}$，$c=0.75^{-1}$，则$a,b,c$三个数的大小关系是（）
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞c＞b$
D.$c＞b＞a$
A.$a＞b＞c$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞c＞b$
D.$c＞b＞a$
答案
C
解析
分别计算a、b、c的值：
1. 根据负整数指数幂运算法则：$a=(-\frac{3}{4})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{3}{4})^2}=\frac{1}{\frac{9}{16}}=\frac{16}{9}$
2. 根据零指数幂运算法则：非零数的0次幂等于1，得$b=(-\frac{1}{2})^0=1$
3. 计算c：$c=0.75^{-1}=(\frac{3}{4})^{-1}=\frac{4}{3}$
比较大小：$\frac{16}{9}＞\frac{4}{3}＞1$，即$a＞c＞b$
1. 根据负整数指数幂运算法则：$a=(-\frac{3}{4})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{3}{4})^2}=\frac{1}{\frac{9}{16}}=\frac{16}{9}$
2. 根据零指数幂运算法则：非零数的0次幂等于1，得$b=(-\frac{1}{2})^0=1$
3. 计算c：$c=0.75^{-1}=(\frac{3}{4})^{-1}=\frac{4}{3}$
比较大小：$\frac{16}{9}＞\frac{4}{3}＞1$，即$a＞c＞b$
4.若$2×4^m×8^m=2^{31}$，则$m$的值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
先将等式中各幂统一为底数为2的形式：
因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，
所以左边$2×4^m×8^m=2×2^{2m}×2^{3m}=2^{1+2m+3m}=2^{1+5m}$。
已知$2×4^m×8^m=2^{31}$，底数相同则指数相等，可得方程：
$1+5m=31$，
解得$5m=30$，$m=6$。
因为$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，
所以左边$2×4^m×8^m=2×2^{2m}×2^{3m}=2^{1+2m+3m}=2^{1+5m}$。
已知$2×4^m×8^m=2^{31}$，底数相同则指数相等，可得方程：
$1+5m=31$，
解得$5m=30$，$m=6$。
5. 若$3^m = 2, 3^n = 5$，则$3^{m+n}$的值是（）
A.7
B.10
C.15
D.90
A.7
B.10
C.15
D.90
答案
B
解析
根据同底数幂的乘法运算法则：$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得$3^{m+n}=3^m×3^n$，将$3^m=2$，$3^n=5$代入计算，得$3^{m+n}=2×5=10$。
6. 已知 $3^m = 6$，$(\dfrac{1}{3})^n = 2$，则 $3^{m-n} = $（）
A.3
B.4
C.8
D.12
A.3
B.4
C.8
D.12
答案
D
解析
根据同底数幂的除法法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得$3^{m-n}=3^m ÷ 3^n$。
由$(\frac{1}{3})^n=2$，变形得$3^{-n}=2$，即$\frac{1}{3^n}=2$，因此$3^n=\frac{1}{2}$。
将$3^m=6$、$3^n=\frac{1}{2}$代入计算：$3^{m-n}=6÷ \frac{1}{2}=12$。
由$(\frac{1}{3})^n=2$，变形得$3^{-n}=2$，即$\frac{1}{3^n}=2$，因此$3^n=\frac{1}{2}$。
将$3^m=6$、$3^n=\frac{1}{2}$代入计算：$3^{m-n}=6÷ \frac{1}{2}=12$。
7. 2024年6月4日,嫦娥六号携带的由玄武岩磨粉、融化后经高科技拉成直径约为0.000 016 7 m的丝线织布制作而成的五星红旗,在月球背面冉冉升起,此五星红旗经受恶劣环境也能万年不朽,彰显了大国实力。数据0.000 016 7用科学记数法可表示为
()
A.$1.67×10^{5}$
B.$0.167×10^{-4}$
C.$1.67×10^{-5}$
D.$16.7×10^{-6}$
()
A.$1.67×10^{5}$
B.$0.167×10^{-4}$
C.$1.67×10^{-5}$
D.$16.7×10^{-6}$
答案
C
解析
用科学记数法表示绝对值小于1的数，形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$等于原数左起第一个非零数字前0的个数。
对于0.0000167，取$a=1.67$，左起第一个非零数字1前共有5个0，即$n=5$，因此$0.0000167=1.67×10^{-5}$，对应选项C。
对于0.0000167，取$a=1.67$，左起第一个非零数字1前共有5个0，即$n=5$，因此$0.0000167=1.67×10^{-5}$，对应选项C。
8. 如图,在数学兴趣活动中,小聪将两根长度相同的铁丝分别做成甲、乙两个长方形,其面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1-S_2$的值是 ()
A.$16m$
B.$16m+27$
C.$27$
D.$3$
A.$16m$
B.$16m+27$
C.$27$
D.$3$
答案
D
解析
先计算甲长方形的周长：$2[(m+5)+(m+3)]=4m+16$，由两根铁丝长度相等，可知乙长方形周长也为$4m+16$，因此乙的长为$\frac{4m+16}{2}-(m+2)=m+6$。
分别计算两个长方形的面积：
$S_1=(m+3)(m+5)=m^2+8m+15$，
$S_2=(m+6)(m+2)=m^2+8m+12$，
作差得：$S_1-S_2=(m^2+8m+15)-(m^2+8m+12)=3$。
分别计算两个长方形的面积：
$S_1=(m+3)(m+5)=m^2+8m+15$，
$S_2=(m+6)(m+2)=m^2+8m+12$，
作差得：$S_1-S_2=(m^2+8m+15)-(m^2+8m+12)=3$。
