登录
1. 如图,四边形 $ABCD$ 的四条边都与$\odot O$相切,若$AB=10,BC=7,CD=8$,则$AD$的长度为 （
A.8
B.9
C.10
D.11
D
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
1.D
解析
【分析】
首先观察题目条件：四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，说明该四边形是圆的外切四边形。我们可以利用切线长定理推导外切四边形的边长关系：从四边形的四个顶点分别向圆引两条切线，同一点引出的两条切线长度相等，由此可以得到外切四边形两组对边的长度之和相等，即AB + CD = AD + BC。接下来将已知的AB=10、BC=7、CD=8代入该等式，就可以直接计算出AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，
∴ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形。
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可推导得到圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等，即：
$AB + CD = AD + BC$
将AB=10，BC=7，CD=8代入上述等式：
$10 + 8 = AD + 7$
整理计算得：$AD = 18 -7 =11$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形性质
【点评】
本题属于圆与四边形结合的基础题型，核心考察圆外切四边形的性质，只要区分开圆内接四边形（对角互补）和圆外切四边形（对边和相等）的不同性质，代入数值即可快速求解，计算量很小，是切线相关性质的常规应用。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件：四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，说明该四边形是圆的外切四边形。我们可以利用切线长定理推导外切四边形的边长关系：从四边形的四个顶点分别向圆引两条切线，同一点引出的两条切线长度相等，由此可以得到外切四边形两组对边的长度之和相等，即AB + CD = AD + BC。接下来将已知的AB=10、BC=7、CD=8代入该等式，就可以直接计算出AD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，
∴ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形。
根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可推导得到圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等，即：
$AB + CD = AD + BC$
将AB=10，BC=7，CD=8代入上述等式：
$10 + 8 = AD + 7$
整理计算得：$AD = 18 -7 =11$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形性质
【点评】
本题属于圆与四边形结合的基础题型，核心考察圆外切四边形的性质，只要区分开圆内接四边形（对角互补）和圆外切四边形（对边和相等）的不同性质，代入数值即可快速求解，计算量很小，是切线相关性质的常规应用。
【难度系数】
0.8
2. 如图,$PA,PB$是$\odot O$的切线,切点分别为$A,B,PO$交$AB$于点$C,PO$的延长线交$\odot O$于点$D$,下列结论不一定正确的是（
A.$△ BPA$为等腰三角形
B.$AB$与$PD$互相垂直平分
C.点$A,B$都在以$PO$为直径的圆上
D.$PC$为$△ BPA$的中线
B
）A.$△ BPA$为等腰三角形
B.$AB$与$PD$互相垂直平分
C.点$A,B$都在以$PO$为直径的圆上
D.$PC$为$△ BPA$的中线
答案
2.B
解析
【分析】
我们可以结合切线长定理、切线的性质、等腰三角形性质、圆周角相关推论逐一验证每个选项：
1. 先利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，先判断选项A是否成立；
2. 根据切线性质，PO必然垂直平分AB，再验证AB是否一定能平分PD，判断选项B；
3. 连接OA、OB，利用切线垂直于过切点的半径得到两个直角，结合90°圆周角所对的弦是直径的推论，判断选项C；
4. 结合等腰三角形三线合一的性质，判断点C是否为AB中点，验证选项D，最终选出不一定成立的结论。
【解析】
我们逐个对选项进行验证：
选项A：已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理可得PA=PB，因此△BPA是等腰三角形，该结论一定正确。
选项B：由切线长定理可知PO平分∠APB，结合PA=PB，可得PO⊥AB，且PO平分AB，即PD垂直平分AB；但一般情况下OC≠CD，AB无法平分PD，只有特殊情形下AB才能平分PD，因此AB与PD互相垂直平分的结论不一定正确。
选项C：连接OA、OB，因为PA是⊙O切线，所以OA⊥PA，即∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，根据圆周角定理的推论，直角所对的斜边为直径，因此点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定正确。
选项D：因为△BPA是等腰三角形，PC是顶角∠APB的角平分线，根据等腰三角形三线合一，C是AB的中点，因此PC是△BPA的中线，该结论一定正确。
综上，不一定正确的是B。
【答案】B
【知识点】切线长定理，等腰三角形性质，圆周角推论
【点评】本题是圆的切线相关性质的辨析题，易错点是混淆“一条线段垂直平分另一条线段”和“两条线段互相垂直平分”的差异，逐一排查每个选项的成立条件即可快速得到正确答案。
【难度系数】0.7
我们可以结合切线长定理、切线的性质、等腰三角形性质、圆周角相关推论逐一验证每个选项：
1. 先利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，先判断选项A是否成立；
2. 根据切线性质，PO必然垂直平分AB，再验证AB是否一定能平分PD，判断选项B；
3. 连接OA、OB，利用切线垂直于过切点的半径得到两个直角，结合90°圆周角所对的弦是直径的推论，判断选项C；
4. 结合等腰三角形三线合一的性质，判断点C是否为AB中点，验证选项D，最终选出不一定成立的结论。
【解析】
我们逐个对选项进行验证：
选项A：已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线长定理可得PA=PB，因此△BPA是等腰三角形，该结论一定正确。
选项B：由切线长定理可知PO平分∠APB，结合PA=PB，可得PO⊥AB，且PO平分AB，即PD垂直平分AB；但一般情况下OC≠CD，AB无法平分PD，只有特殊情形下AB才能平分PD，因此AB与PD互相垂直平分的结论不一定正确。
选项C：连接OA、OB，因为PA是⊙O切线，所以OA⊥PA，即∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，根据圆周角定理的推论，直角所对的斜边为直径，因此点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定正确。
选项D：因为△BPA是等腰三角形，PC是顶角∠APB的角平分线，根据等腰三角形三线合一，C是AB的中点，因此PC是△BPA的中线，该结论一定正确。
综上，不一定正确的是B。
【答案】B
【知识点】切线长定理，等腰三角形性质，圆周角推论
【点评】本题是圆的切线相关性质的辨析题，易错点是混淆“一条线段垂直平分另一条线段”和“两条线段互相垂直平分”的差异，逐一排查每个选项的成立条件即可快速得到正确答案。
【难度系数】0.7
3. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$外一点,$CA,CD$是$\odot O$的切线,$A,D$为切点,连接$BD,AD$.
若$∠ ACD=48^{ \circ }$,则$∠ DBA$的度数是
若$∠ ACD=48^{ \circ }$,则$∠ DBA$的度数是
$66°$
.答案
3.$66°$
解析
【分析】
首先观察题目给出的两条从点C出发的圆的切线，优先想到切线长定理，可得到CA=CD，构造出等腰△ACD，结合已知的∠ACD=48°就能算出底角∠CAD的度数。接着利用切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，CA是切线、AB是直径，因此CA⊥AB得到∠CAB=90°，进而求出∠DAB的度数。最后结合直径所对的圆周角是直角的性质，得到△ADB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的关系，就能顺利求出目标角∠DBA的度数，整个推导过程层层递进，都是围绕圆的切线相关性质展开。
【解析】
解：
1. 由CA、CD是⊙O的切线，根据切线长定理可得：$CA=CD$，即△ACD为等腰三角形。
已知$∠ ACD=48°$，因此等腰三角形底角：
$∠ CAD=∠ CDA=\frac{180° - 48°}{2}=66°$。
2. 因为CA是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$CA⊥ AB$，即$∠ CAB=90°$。
因此$∠ DAB=∠ CAB - ∠ CAD=90° - 66°=24°$。
3. 又因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$。
在Rt△ADB中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ DBA=90° - ∠ DAB=90° - 24°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，直径对直角
【点评】
本题是圆的角度计算基础题型，综合考查切线相关性质和圆周角定理，解题的核心是串联切线长定理、切线垂直半径、直径的圆周角性质三个知识点，逐步推导角度关系，难度不高，适合巩固圆切线相关的基础性质。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的两条从点C出发的圆的切线，优先想到切线长定理，可得到CA=CD，构造出等腰△ACD，结合已知的∠ACD=48°就能算出底角∠CAD的度数。接着利用切线的核心性质：切线垂直于过切点的半径，CA是切线、AB是直径，因此CA⊥AB得到∠CAB=90°，进而求出∠DAB的度数。最后结合直径所对的圆周角是直角的性质，得到△ADB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的关系，就能顺利求出目标角∠DBA的度数，整个推导过程层层递进，都是围绕圆的切线相关性质展开。
【解析】
解：
1. 由CA、CD是⊙O的切线，根据切线长定理可得：$CA=CD$，即△ACD为等腰三角形。
已知$∠ ACD=48°$，因此等腰三角形底角：
$∠ CAD=∠ CDA=\frac{180° - 48°}{2}=66°$。
2. 因为CA是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的直径，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$CA⊥ AB$，即$∠ CAB=90°$。
因此$∠ DAB=∠ CAB - ∠ CAD=90° - 66°=24°$。
3. 又因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$。
在Rt△ADB中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ DBA=90° - ∠ DAB=90° - 24°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，直径对直角
【点评】
本题是圆的角度计算基础题型，综合考查切线相关性质和圆周角定理，解题的核心是串联切线长定理、切线垂直半径、直径的圆周角性质三个知识点，逐步推导角度关系，难度不高，适合巩固圆切线相关的基础性质。
【难度系数】
0.7
4. 如图,正方形$ABCD$的边长为$4\ \mathrm{cm}$,以正方形的一边$BC$为直径在正方形$ABCD$内作半圆,过点$A$作半圆的切线,与半圆相切于点$F$,与$DC$相交于点$E$,则$△ ADE$的面积为 （
A.$12\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$8\ \mathrm{cm}^2$
D.$6\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$12\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$8\ \mathrm{cm}^2$
D.$6\ \mathrm{cm}^2$
答案
4.D
解析
【分析】
我们首先梳理已知条件：正方形边长为4，以BC为直径作半圆，AE是半圆的切线。首先根据正方形的性质，AB⊥BC、EC⊥BC，因此AB、EC本身就是半圆的切线，结合AE是半圆的切线，就可以用切线长定理得到两组相等的线段：AF=AB，EF=EC。接下来我们设EC的长度为未知数x，就可以把Rt△ADE的三条边都用含x的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程求解出x，最后代入三角形面积公式就能算出△ADE的面积，整个过程用方程思想把几何线段关系转化为代数方程，推导逻辑清晰。
【解析】
解：已知正方形ABCD边长为4 cm，因此AB=BC=CD=DA=4 cm，∠B=∠C=∠D=90°。
1. 判定切线：
因为BC是半圆的直径，AB⊥BC，EC⊥BC，因此AB是半圆的切线（切点为B），EC是半圆的切线（切点为C）。
又已知AE是半圆的切线，切点为F，根据切线长定理可得：
AF = AB = 4 cm，EF = EC。
2. 设未知数列方程：
设EC = x cm，则EF = x cm，
DE = CD - EC = (4 - x) cm，
AE = AF + EF = (4 + x) cm。
在Rt△ADE中，∠D=90°，由勾股定理AD² + DE² = AE²，代入数值：
4² + (4 - x)² = (4 + x)²
展开计算：
16 + 16 - 8x + x² = 16 + 8x + x²
消去同类项后化简得：16 = 16x，解得x=1。
3. 计算面积：
DE = 4 - 1 = 3 cm，
因此S△ADE = 1/2 × AD × DE = 1/2 × 4 × 3 = 6 cm²。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题核心考查切线长定理的应用，结合方程思想求解线段长度，避免了复杂的辅助线构造。解题的关键是发现AB、EC天然是半圆的切线，得到两组切线长相等的关系，部分同学容易忽略这个隐含条件，导致找不到等量关系无法解题。
【难度系数】
0.6
我们首先梳理已知条件：正方形边长为4，以BC为直径作半圆，AE是半圆的切线。首先根据正方形的性质，AB⊥BC、EC⊥BC，因此AB、EC本身就是半圆的切线，结合AE是半圆的切线，就可以用切线长定理得到两组相等的线段：AF=AB，EF=EC。接下来我们设EC的长度为未知数x，就可以把Rt△ADE的三条边都用含x的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程求解出x，最后代入三角形面积公式就能算出△ADE的面积，整个过程用方程思想把几何线段关系转化为代数方程，推导逻辑清晰。
【解析】
解：已知正方形ABCD边长为4 cm，因此AB=BC=CD=DA=4 cm，∠B=∠C=∠D=90°。
1. 判定切线：
因为BC是半圆的直径，AB⊥BC，EC⊥BC，因此AB是半圆的切线（切点为B），EC是半圆的切线（切点为C）。
又已知AE是半圆的切线，切点为F，根据切线长定理可得：
AF = AB = 4 cm，EF = EC。
2. 设未知数列方程：
设EC = x cm，则EF = x cm，
DE = CD - EC = (4 - x) cm，
AE = AF + EF = (4 + x) cm。
在Rt△ADE中，∠D=90°，由勾股定理AD² + DE² = AE²，代入数值：
4² + (4 - x)² = (4 + x)²
展开计算：
16 + 16 - 8x + x² = 16 + 8x + x²
消去同类项后化简得：16 = 16x，解得x=1。
3. 计算面积：
DE = 4 - 1 = 3 cm，
因此S△ADE = 1/2 × AD × DE = 1/2 × 4 × 3 = 6 cm²。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题核心考查切线长定理的应用，结合方程思想求解线段长度，避免了复杂的辅助线构造。解题的关键是发现AB、EC天然是半圆的切线，得到两组切线长相等的关系，部分同学容易忽略这个隐含条件，导致找不到等量关系无法解题。
【难度系数】
0.6
5. (2025·常熟月考)如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在$\odot O$上，若$∠ E=68°$，则$∠ BAE+∠ BCD$的度数为（
A.$202°$
B.$236°$
C.$240°$
D.$248°$
B
）A.$202°$
B.$236°$
C.$240°$
D.$248°$
答案
5.B
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步推导：1. 首先根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可知EA=ED，△EAD是等腰三角形，结合已知的∠E=68°，就能算出等腰三角形的两个底角∠EAD的度数。2. 观察所求的∠BAE，可将其拆分为∠EAD + ∠BAD，这样所求的∠BAE+∠BCD就转化为∠EAD + ∠BAD + ∠BCD。3. 最后利用圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD和∠BCD是圆内接四边形ABCD的一组对角，二者之和为180°，代入数值即可直接算出最终结果，避免复杂的圆周角、圆心角推导。
【解析】
解：
∵ EA，ED是$\odot O$的切线，
∴ 根据切线长定理可得 $EA = ED$，即$△ EAD$为等腰三角形。
已知$∠ E = 68°$，由等腰三角形内角和性质：
$∠ EAD = ∠ EDA = \frac{180° - 68°}{2} = 56°$。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
又
∵ $∠ BAE = ∠ EAD + ∠ BAD$，
代入得：
$∠ BAE + ∠ BCD = ∠ EAD + ∠ BAD + ∠ BCD = 56° + 180° = 236°$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的性质综合基础题，解题的核心是通过拆分所求角，把已知条件和圆内接四边形的互补性质关联起来，跳过了计算圆心角、弧度数的繁琐步骤，只要能发现角之间的和差关系就能快速得到结果，是切线性质和圆内接四边形性质的典型应用。
【难度系数】
0.6
我们可以按照以下思路逐步推导：1. 首先根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可知EA=ED，△EAD是等腰三角形，结合已知的∠E=68°，就能算出等腰三角形的两个底角∠EAD的度数。2. 观察所求的∠BAE，可将其拆分为∠EAD + ∠BAD，这样所求的∠BAE+∠BCD就转化为∠EAD + ∠BAD + ∠BCD。3. 最后利用圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD和∠BCD是圆内接四边形ABCD的一组对角，二者之和为180°，代入数值即可直接算出最终结果，避免复杂的圆周角、圆心角推导。
【解析】
解：
∵ EA，ED是$\odot O$的切线，
∴ 根据切线长定理可得 $EA = ED$，即$△ EAD$为等腰三角形。
已知$∠ E = 68°$，由等腰三角形内角和性质：
$∠ EAD = ∠ EDA = \frac{180° - 68°}{2} = 56°$。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
又
∵ $∠ BAE = ∠ EAD + ∠ BAD$，
代入得：
$∠ BAE + ∠ BCD = ∠ EAD + ∠ BAD + ∠ BCD = 56° + 180° = 236°$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆的性质综合基础题，解题的核心是通过拆分所求角，把已知条件和圆内接四边形的互补性质关联起来，跳过了计算圆心角、弧度数的繁琐步骤，只要能发现角之间的和差关系就能快速得到结果，是切线性质和圆内接四边形性质的典型应用。
【难度系数】
0.6
6. 如图,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC,CA,AB$分别相切于点$D,E,F$,若$AB=9\ \mathrm{cm},BC=14\ \mathrm{cm},$$CA=13\ \mathrm{cm}$,则$AF$的长为
4
$\mathrm{cm}.$答案
6.4
解析
【分析】
这道题是三角形内切圆相关的边长计算，首先我们可以联想到切线长定理：从圆外一点向圆引两条切线，两条切线的长度相等。我们设要求的AF长度为未知数x，根据切线长相等的性质，依次用x表示出AE、BF、CE的长度，再利用BD+CD=BC的已知边长条件建立一元一次方程，解方程就能直接得到AF的长度，解题思路清晰直接。
【解析】
解：设AF的长为$x\ \mathrm{cm}$，
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$、$AC$分别相切于点$F$、$E$，
∴ 由切线长定理可得：$AE = AF = x\ \mathrm{cm}$，
已知$AB=9\ \mathrm{cm}$，$AC=13\ \mathrm{cm}$，
因此$BF = AB - AF = (9 - x)\ \mathrm{cm}$，$CE = AC - AE = (13 - x)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ 内切圆与$BC$相切于点$D$，同理可得$BD = BF$，$CD = CE$，
结合$BD + CD = BC = 14\ \mathrm{cm}$，代入线段表达式得：
$(9 - x) + (13 - x) = 14$
整理得$22 - 2x = 14$，移项计算得$2x=8$，解得$x=4$。
即$AF$的长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题是三角形内切圆相关计算的经典基础题型，核心考察切线长定理的基础应用，通过设未知数列一元一次方程即可快速求解，解题时只要对应好不同顶点引出的两条相等切线的对应关系，不混淆线段长度就可以轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题是三角形内切圆相关的边长计算，首先我们可以联想到切线长定理：从圆外一点向圆引两条切线，两条切线的长度相等。我们设要求的AF长度为未知数x，根据切线长相等的性质，依次用x表示出AE、BF、CE的长度，再利用BD+CD=BC的已知边长条件建立一元一次方程，解方程就能直接得到AF的长度，解题思路清晰直接。
【解析】
解：设AF的长为$x\ \mathrm{cm}$，
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$、$AC$分别相切于点$F$、$E$，
∴ 由切线长定理可得：$AE = AF = x\ \mathrm{cm}$，
已知$AB=9\ \mathrm{cm}$，$AC=13\ \mathrm{cm}$，
因此$BF = AB - AF = (9 - x)\ \mathrm{cm}$，$CE = AC - AE = (13 - x)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ 内切圆与$BC$相切于点$D$，同理可得$BD = BF$，$CD = CE$，
结合$BD + CD = BC = 14\ \mathrm{cm}$，代入线段表达式得：
$(9 - x) + (13 - x) = 14$
整理得$22 - 2x = 14$，移项计算得$2x=8$，解得$x=4$。
即$AF$的长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题是三角形内切圆相关计算的经典基础题型，核心考察切线长定理的基础应用，通过设未知数列一元一次方程即可快速求解，解题时只要对应好不同顶点引出的两条相等切线的对应关系，不混淆线段长度就可以轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
7.(2025·鼓楼区三模)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC,AB⊥ BC$,$AD$,$CD$分别与扇形$BAF$相切于点$A$与点$E$.当$AB=15$,$BC=17$时,$AD$的长为
9
.答案
7.9
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先确定扇形BAF的圆心为点B，半径等于AB=15。由AD//BC、AB⊥BC，可得AB⊥AD，刚好符合AD与扇形相切于点A的切线性质（切线垂直于过切点的半径）。
2. 已知CD与扇形相切于点E，连接半径BE，根据切线性质可得BE⊥CD，且BE=15。在Rt△BEC中，已知斜边BC=17，直角边BE=15，用勾股定理就能算出CE的长度。
3. 点D是圆B外一点，从D引出两条切线DA、DE，根据切线长定理，两条切线长度相等，即AD=DE。
4. 过点D作DG⊥BC于G，可证四边形ABGD是矩形，得到DG=AB=15，AD=BG。设AD=x，就可以用x表示出CD的总长度为DE+CE=x+8，同时GC=BC-BG=17-x。
5. 最后在Rt△DGC中利用勾股定理列方程，就能解出x也就是AD的长度。
【解析】
解：连接BE，
∵ 扇形BAF的圆心为B，AB=15，
∴ 扇形半径r=AB=BE=BF=15。
∵ CD与扇形相切于点E，
∴ BE⊥CD，即∠BEC=90°。
在Rt△BEC中，BC=17，BE=15，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$
∵ AD与扇形相切于点A，AB⊥AD，
∴ 从点D引圆B的两条切线分别为DA、DE，根据切线长定理得：AD=DE。
过D作DG⊥BC于G，
∵ AD//BC，AB⊥BC，DG⊥BC，
∴ 四边形ABGD是矩形，
∴ DG=AB=15，AD=BG。
设AD=x，则DE=x，CD=DE+CE=x+8，GC=BC-BG=17-x。
在Rt△DGC中，由勾股定理得：
$DG^2+GC^2=CD^2$
代入数值：
$15^2+(17-x)^2=(x+8)^2$
展开计算：
$225+289-34x+x^2=x^2+16x+64$
消去同类项整理得：
$50x=450$
解得x=9，即AD=9。
【答案】
9
【知识点】
切线性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的中档题，易错点是误将线段CF当作点C到圆的切线，混淆切线长与割线段的概念。解题核心是利用切线性质先求出CE的长度，再通过构造矩形转化边长，结合勾股定理列方程求解，对切线相关性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先确定扇形BAF的圆心为点B，半径等于AB=15。由AD//BC、AB⊥BC，可得AB⊥AD，刚好符合AD与扇形相切于点A的切线性质（切线垂直于过切点的半径）。
2. 已知CD与扇形相切于点E，连接半径BE，根据切线性质可得BE⊥CD，且BE=15。在Rt△BEC中，已知斜边BC=17，直角边BE=15，用勾股定理就能算出CE的长度。
3. 点D是圆B外一点，从D引出两条切线DA、DE，根据切线长定理，两条切线长度相等，即AD=DE。
4. 过点D作DG⊥BC于G，可证四边形ABGD是矩形，得到DG=AB=15，AD=BG。设AD=x，就可以用x表示出CD的总长度为DE+CE=x+8，同时GC=BC-BG=17-x。
5. 最后在Rt△DGC中利用勾股定理列方程，就能解出x也就是AD的长度。
【解析】
解：连接BE，
∵ 扇形BAF的圆心为B，AB=15，
∴ 扇形半径r=AB=BE=BF=15。
∵ CD与扇形相切于点E，
∴ BE⊥CD，即∠BEC=90°。
在Rt△BEC中，BC=17，BE=15，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$
∵ AD与扇形相切于点A，AB⊥AD，
∴ 从点D引圆B的两条切线分别为DA、DE，根据切线长定理得：AD=DE。
过D作DG⊥BC于G，
∵ AD//BC，AB⊥BC，DG⊥BC，
∴ 四边形ABGD是矩形，
∴ DG=AB=15，AD=BG。
设AD=x，则DE=x，CD=DE+CE=x+8，GC=BC-BG=17-x。
在Rt△DGC中，由勾股定理得：
$DG^2+GC^2=CD^2$
代入数值：
$15^2+(17-x)^2=(x+8)^2$
展开计算：
$225+289-34x+x^2=x^2+16x+64$
消去同类项整理得：
$50x=450$
解得x=9，即AD=9。
【答案】
9
【知识点】
切线性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何图形结合的中档题，易错点是误将线段CF当作点C到圆的切线，混淆切线长与割线段的概念。解题核心是利用切线性质先求出CE的长度，再通过构造矩形转化边长，结合勾股定理列方程求解，对切线相关性质的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
