3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+9$的图象与$y$轴相交于点$A$,与$x$轴相交于点$C$,并与直线$y=\frac{5}{3}x$相交于点$B$,其中点$B$的横坐标为3.
(1)求点$B$的坐标和$k$的值;
(2)$Q$为直线$y=kx+9$上一动点,当点$Q$运动到何位置时,$△ OBQ$的面积等于$\frac{27}{4}$? 请求出点$Q$的坐标.

(1) 把$x=3$代入$y=\frac{5}{3}x$，得$y=5$，
∴点$B$的坐标为$(3,5)$。
∵点$B$在一次函数$y=kx+9$的图象上，
∴$5=3k+9$，解得$k=-\frac{4}{3}$；
(2) 把$x=0$代入$y=-\frac{4}{3}x+9$，得$y=9$，
∴点$A$的坐标为$(0,9)$，即$OA=9$。设点$Q$的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m+9)$，则$S_{△ OBQ}=\frac{1}{2}OA·|x_Q-x_B|=\frac{1}{2}×9×|m-3|=\frac{27}{4}$，解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{3}{2}$，
∴点$Q$的坐标为$(\frac{9}{2},3)$或$(\frac{3}{2},7)$。

【分析】
(1) 已知点B在直线$y=\frac{5}{3}x$上，且横坐标为3，将横坐标代入正比例函数解析式即可求出纵坐标，得到B点坐标；再将B点坐标代入一次函数$y=kx+9$，即可解出k的值。
(2) 先求出一次函数与y轴的交点A的坐标，△OBQ的面积可通过割补法转化为以OA为公共底，Q、B两点横坐标差的绝对值为高的三角形面积，据此列含绝对值的方程求解，注意绝对值对应两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y=\frac{5}{3}x$，得$y=\frac{5}{3}×3=5$，
∴点B的坐标为$(3,5)$。
∵点$B(3,5)$在一次函数$y=kx+9$的图象上，
将点B坐标代入解析式得$5=3k+9$，
解得$k=-\frac{4}{3}$。
(2) 对于一次函数$y=-\frac{4}{3}x+9$，令$x=0$，得$y=9$，
∴点A的坐标为$(0,9)$，即$OA=9$。
设点Q的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m+9)$，
则$S_{△OBQ}=\frac{1}{2}·OA·|x_Q - x_B|$，
代入面积条件得$\frac{1}{2}×9×|m-3|=\frac{27}{4}$，
化简得$|m-3|=\frac{3}{2}$，
即$m-3=\frac{3}{2}$或$m-3=-\frac{3}{2}$，
解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{3}{2}$。
当$m=\frac{9}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×\frac{9}{2}+9=3$；
当$m=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{4}{3}×\frac{3}{2}+9=7$。
【答案】
(1) 点B的坐标为$(3,5)$，$k=-\frac{4}{3}$；
(2) 点Q的坐标为$(\frac{9}{2},3)$或$(\frac{3}{2},7)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数图象交点，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，第一问侧重考察函数图象上点的坐标特征和待定系数法的应用，难度较低；第二问考察一次函数与几何面积的结合，需要掌握割补法求坐标系中三角形面积的技巧，解题时注意绝对值的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4.如图,已知在平面直角坐标系中,直线$l$经过$A(4,0),B(0,2)$两点.
(1)求直线$l$的解析式;
(2)已知点$C(1,0)$,在直线$l$上是否存在一点$P$,使得$S_{△ AOB}=2S_{△ POC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，把$A(4,0)$，$B(0,2)$代入，得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
∴直线$l$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$；
(2) 存在，理由：
∵$A(4,0)$，$B(0,2)$，$C(1,0)$，
∴$OA=4$，$OB=2$，$OC=1$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×4×2=4$。
∵$S_{△ AOB}=2S_{△ POC}$，
∴$S_{△ POC}=2$。设$P(x,-\frac{1}{2}x+2)$，则$\frac{1}{2}×1×|-\frac{1}{2}x+2|=2$，解得$x=-4$或$x=12$，
∴点$P$的坐标为$(-4,4)$或$(12,-4)$。

【分析】
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法：先设直线解析式为$y=kx+b$，将A、B两点的坐标分别代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可确定直线$l$的解析式。
(2) 先利用A、B的坐标求出$△ AOB$的面积，再根据面积关系求出$△ POC$的面积；$△ POC$的底$OC$长度可由C点坐标直接得到，高为点P纵坐标的绝对值，设点P的坐标为$(x,y)$，其中y满足直线$l$的解析式，结合三角形面积公式列含绝对值的方程求解，即可得到P点的横坐标，进而求出对应纵坐标，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 设直线$l$的解析式为$y=kx+b$，把$A(4,0)$，$B(0,2)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=2\end{cases}$
将$b=2$代入第一个方程，得$4k+2=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
∴直线$l$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2) 存在这样的点P，理由如下：
由点坐标可知$OA=4$，$OB=2$，$OC=1$，
先计算$△ AOB$的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×4×2=4$。
根据$S_{△ AOB}=2S_{△ POC}$，可得$S_{△ POC}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=2$。
设点$P$的坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+2)$，$△ POC$的高为点P纵坐标的绝对值，根据面积公式：
$\frac{1}{2}×OC×|y_P|=2$，即$\frac{1}{2}×1×|-\frac{1}{2}x+2|=2$，
化简得$|-\frac{1}{2}x+2|=4$，
则有$-\frac{1}{2}x+2=4$或$-\frac{1}{2}x+2=-4$，
分别解得：当$-\frac{1}{2}x+2=4$时，$x=-4$，代入解析式得$y=-\frac{1}{2}×(-4)+2=4$；
当$-\frac{1}{2}x+2=-4$时，$x=12$，代入解析式得$y=-\frac{1}{2}×12+2=-4$。
∴点$P$的坐标为$(-4,4)$或$(12,-4)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x+2$；
(2) 存在，点$P$的坐标为$(-4,4)$或$(12,-4)$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数与几何面积结合的常规题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，处理面积问题时要注意坐标与线段长度的转换，绝对值方程的求解要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7