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1. 计算:
(1)$-\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ 2\sqrt{\dfrac{5}{54}}$；
(2)$\sqrt{96} ÷ 2\sqrt{3} × \sqrt{2}$；
(3)$2\sqrt{8} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ \sqrt{24}$；
(4)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 10\sqrt{2}$；
(5)$\sqrt{\dfrac{b}{a}} ÷ \sqrt{ab} × \sqrt{\dfrac{a^3}{b}} \ (a＞0,b＞0)$；
(6)$\dfrac{1}{4}\sqrt{8} ÷ 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} × (-2\sqrt{2})$。
(1)$-\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ 2\sqrt{\dfrac{5}{54}}$；
(2)$\sqrt{96} ÷ 2\sqrt{3} × \sqrt{2}$；
(3)$2\sqrt{8} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ \sqrt{24}$；
(4)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 10\sqrt{2}$；
(5)$\sqrt{\dfrac{b}{a}} ÷ \sqrt{ab} × \sqrt{\dfrac{a^3}{b}} \ (a＞0,b＞0)$；
(6)$\dfrac{1}{4}\sqrt{8} ÷ 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} × (-2\sqrt{2})$。
答案
(1)原式$=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$；
(2)原式$=4$；
(3)原式$=\dfrac{1}{2}$；
(4)原式$=\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；
(5)原式$=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$；
(6)原式$=-\sqrt{2}$。
(2)原式$=4$；
(3)原式$=\dfrac{1}{2}$；
(4)原式$=\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；
(5)原式$=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$；
(6)原式$=-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解决二次根式乘除混合运算的思路如下：1. 先将算式中的带分数化为假分数，明确各部分的系数和二次根式部分；2. 把系数归为一组，按照有理数乘除运算法则计算；3. 把所有被开方数归为一组，按照二次根式乘除法则（$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）计算；4. 将系数运算结果和二次根式运算结果相乘，最终化为最简二次根式即可，运算过程中注意符号不要出错，涉及字母的运算需结合给定的取值范围保证根式有意义。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=-\sqrt{\dfrac{5}{3}} ÷ 2\sqrt{\dfrac{5}{54}} = (-1÷2) × \sqrt{\dfrac{5}{3} ÷ \dfrac{5}{54}} = -\dfrac{1}{2} × \sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{54}{5}} = -\dfrac{1}{2} × \sqrt{18} = -\dfrac{1}{2} × 3\sqrt{2} = -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
(2) 拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=(1÷2×1) × \sqrt{96÷3×2} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{64} = \dfrac{1}{2} × 8 = 4$
(3) 拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=(2×\dfrac{1}{4}÷1) × \sqrt{8×3÷24} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{1} = \dfrac{1}{2} × 1 = \dfrac{1}{2}$
(4) 拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=(2×\dfrac{1}{4}÷10) × \sqrt{12×3÷2} = \dfrac{1}{20} × \sqrt{18} = \dfrac{1}{20} × 3\sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{20}$
(5) 已知$a＞0,b＞0$，拆分二次根式运算：
原式$=\sqrt{\dfrac{b}{a} ÷ ab × \dfrac{a^3}{b}} = \sqrt{\dfrac{b}{a} × \dfrac{1}{ab} × \dfrac{a^3}{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
(6) 拆分系数和二次根式分别运算，注意符号：
原式$=(\dfrac{1}{4}÷2×(-2)) × \sqrt{8÷\dfrac{1}{2}×2} = -\dfrac{1}{4} × \sqrt{32} = -\dfrac{1}{4} × 4\sqrt{2} = -\sqrt{2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$；(2)$4$；(3)$\dfrac{1}{2}$；(4)$\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；(5)$\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$；(6)$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心考察运算规则的掌握程度，运算时注意分开计算系数和二次根式部分能有效降低出错率，最终结果必须化为最简二次根式，同时要注意运算过程中的符号处理，涉及字母的运算要注意题干给出的取值范围。
【难度系数】
0.7
解决二次根式乘除混合运算的思路如下：1. 先将算式中的带分数化为假分数，明确各部分的系数和二次根式部分；2. 把系数归为一组，按照有理数乘除运算法则计算；3. 把所有被开方数归为一组，按照二次根式乘除法则（$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）计算；4. 将系数运算结果和二次根式运算结果相乘，最终化为最简二次根式即可，运算过程中注意符号不要出错，涉及字母的运算需结合给定的取值范围保证根式有意义。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=-\sqrt{\dfrac{5}{3}} ÷ 2\sqrt{\dfrac{5}{54}} = (-1÷2) × \sqrt{\dfrac{5}{3} ÷ \dfrac{5}{54}} = -\dfrac{1}{2} × \sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{54}{5}} = -\dfrac{1}{2} × \sqrt{18} = -\dfrac{1}{2} × 3\sqrt{2} = -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
(2) 拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=(1÷2×1) × \sqrt{96÷3×2} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{64} = \dfrac{1}{2} × 8 = 4$
(3) 拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=(2×\dfrac{1}{4}÷1) × \sqrt{8×3÷24} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{1} = \dfrac{1}{2} × 1 = \dfrac{1}{2}$
(4) 拆分系数和二次根式分别运算：
原式$=(2×\dfrac{1}{4}÷10) × \sqrt{12×3÷2} = \dfrac{1}{20} × \sqrt{18} = \dfrac{1}{20} × 3\sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{20}$
(5) 已知$a＞0,b＞0$，拆分二次根式运算：
原式$=\sqrt{\dfrac{b}{a} ÷ ab × \dfrac{a^3}{b}} = \sqrt{\dfrac{b}{a} × \dfrac{1}{ab} × \dfrac{a^3}{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$
(6) 拆分系数和二次根式分别运算，注意符号：
原式$=(\dfrac{1}{4}÷2×(-2)) × \sqrt{8÷\dfrac{1}{2}×2} = -\dfrac{1}{4} × \sqrt{32} = -\dfrac{1}{4} × 4\sqrt{2} = -\sqrt{2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$；(2)$4$；(3)$\dfrac{1}{2}$；(4)$\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；(5)$\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$；(6)$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；最简二次根式；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心考察运算规则的掌握程度，运算时注意分开计算系数和二次根式部分能有效降低出错率，最终结果必须化为最简二次根式，同时要注意运算过程中的符号处理，涉及字母的运算要注意题干给出的取值范围。
【难度系数】
0.7
2. 计算:
(1)$\sqrt{12} × \frac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2}$；
(2)$4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ (-\sqrt{6}) × \frac{1}{3}\sqrt{12}$；
(3)$\sqrt{27} × \frac{1}{3}\sqrt{108} ÷ 2\sqrt{3}$；
(4)$\sqrt{3} ÷ \sqrt{2} × 3\sqrt{2} ÷ 6\sqrt{3}$。
(1)$\sqrt{12} × \frac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2}$；
(2)$4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ (-\sqrt{6}) × \frac{1}{3}\sqrt{12}$；
(3)$\sqrt{27} × \frac{1}{3}\sqrt{108} ÷ 2\sqrt{3}$；
(4)$\sqrt{3} ÷ \sqrt{2} × 3\sqrt{2} ÷ 6\sqrt{3}$。
答案
(1)原式$=\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；
(2)原式$=-\dfrac{4}{3}$；
(3)原式$=3\sqrt{3}$；
(4)原式$=\dfrac{1}{2}$。
(2)原式$=-\dfrac{4}{3}$；
(3)原式$=3\sqrt{3}$；
(4)原式$=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
二次根式乘除混合运算遵循从左到右的运算顺序，解题时可将系数和二次根式分开处理：系数部分按有理数乘除法则计算，同时注意符号；二次根式部分按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算，最后将两部分结果相乘，再化简为最简二次根式即可，也可先把除法转化为乘法后再统一运算，降低出错率。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再分别计算系数和二次根式部分：
原式$=\sqrt{12}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{5\sqrt{2}}$
系数部分：$1×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=\frac{1}{20}$
二次根式部分：$\sqrt{12}×\sqrt{3}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{12×3}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
两部分相乘得：$\frac{1}{20}×3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{20}$
(2) 先处理符号，再分开计算系数和二次根式：
原式$=4÷(-1)×\frac{1}{3}×(\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{6}×\sqrt{12})$
系数部分：$4×(-1)×\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$
二次根式部分：$\sqrt{\frac{1}{2}÷6×12}=\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×12}=\sqrt{1}=1$
两部分相乘得：$-\frac{4}{3}×1=-\frac{4}{3}$
(3) 先化简二次根式再计算：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
原式$=3\sqrt{3}×\frac{1}{3}×6\sqrt{3}÷2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}×2\sqrt{3}÷2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
(4) 分开计算系数和二次根式，直接约分简化：
系数部分：$1÷1×3÷6=\frac{1}{2}$
二次根式部分：$\sqrt{3}÷\sqrt{2}×\sqrt{2}÷\sqrt{3}=1$
两部分相乘得：$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；(2)$-\dfrac{4}{3}$；(3)$3\sqrt{3}$；(4)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式乘除法则，最简二次根式，乘除运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是掌握系数与二次根式分开运算的技巧，注意运算顺序和符号，最终结果必须化为最简二次根式，熟练后可通过直接约分化简计算过程，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
二次根式乘除混合运算遵循从左到右的运算顺序，解题时可将系数和二次根式分开处理：系数部分按有理数乘除法则计算，同时注意符号；二次根式部分按照$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算，最后将两部分结果相乘，再化简为最简二次根式即可，也可先把除法转化为乘法后再统一运算，降低出错率。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再分别计算系数和二次根式部分：
原式$=\sqrt{12}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{5\sqrt{2}}$
系数部分：$1×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=\frac{1}{20}$
二次根式部分：$\sqrt{12}×\sqrt{3}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{12×3}{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
两部分相乘得：$\frac{1}{20}×3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{20}$
(2) 先处理符号，再分开计算系数和二次根式：
原式$=4÷(-1)×\frac{1}{3}×(\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{6}×\sqrt{12})$
系数部分：$4×(-1)×\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$
二次根式部分：$\sqrt{\frac{1}{2}÷6×12}=\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×12}=\sqrt{1}=1$
两部分相乘得：$-\frac{4}{3}×1=-\frac{4}{3}$
(3) 先化简二次根式再计算：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
原式$=3\sqrt{3}×\frac{1}{3}×6\sqrt{3}÷2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}×2\sqrt{3}÷2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
(4) 分开计算系数和二次根式，直接约分简化：
系数部分：$1÷1×3÷6=\frac{1}{2}$
二次根式部分：$\sqrt{3}÷\sqrt{2}×\sqrt{2}÷\sqrt{3}=1$
两部分相乘得：$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{3\sqrt{2}}{20}$；(2)$-\dfrac{4}{3}$；(3)$3\sqrt{3}$；(4)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次根式乘除法则，最简二次根式，乘除运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是掌握系数与二次根式分开运算的技巧，注意运算顺序和符号，最终结果必须化为最简二次根式，熟练后可通过直接约分化简计算过程，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
