2. 【题目背景】
仿生学研究发现，蝴蝶翅膀展开时为矩形，折叠时通过沿某条直线对折，能形成稳定的平行四边形结构.
【问题解决】
(1) 如图①，将矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B'$ 处，$B'C$ 与 $AD$ 交于点 $E$，求证：$△ AEC$ 是等腰三角形；
【继续探究】
(2) 如图②，$O$ 是矩形纸片 $ABCD$ 对角线的交点，将该纸片沿过点 $O$ 的线段 $EF$ 折叠，使点 $A$ 的对应点为 $A'$，点 $B$ 与点 $D$ 重合，连接 $BF$，求证：四边形 $FBED$ 是菱形；
【拓展应用】
(3) 如图③，在平行四边形纸片 $ABCD$ 中，$O$ 是其对角线的交点. 将该纸片沿过点 $O$ 的线段 $EF$ 进行折叠，点 $A,B$ 的对应点分别为 $A',B'$，$B'F$ 与 $CD$ 交于点 $G$，$A'B'$ 分别与 $AD$，$CD$ 交于点 $I$，$H$，若 $ED = 4$，$ID = 2$，求 $FG$ 的长.

2.(1)证明:
∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'处，
∴∠ECA=∠ACB.
∵AD//BC,
∴∠EAC=∠ACB,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,
∴△AEC是等腰三角形.
(2)证明:如答图①,连接BD,必过点O.

∵将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A',点B与点D重合，
∴OB=OD,BD⊥EF.
∵DF//BE,
∴∠DFE=∠BEF.
∵∠DOF=∠BOE,
∴△DOF≌△BOE(AAS),
∴DF=BE,
∴四边形FBED是平行四边形,
又BD⊥EF,
∴四边形FBED是菱形.
(3)解:如答图②,连接AC;

∵对角线AC,BD相交于点O,
∴AC经过点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE//CF,
∴∠EAO=∠FCO.
∵AO=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,AE=CF.
由折叠可知,AE=A'E=CF,∠A'=∠BAE=∠BCD.
∵∠A'IE=∠DIH,∠IDH=∠B',∠IHD=∠B'HG,
∴∠DIH=∠B'GH.
∵∠B'GH=∠CGF,
∴∠A'IE=∠CGF,
∴△A'IE≌△CGF(AAS),
∴FG=EI.
∵ED=4,ID=2,
∴FG=EI=4 - 2=2.